Номер 600, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

600. Между числами 2 и 162 вставьте такие три числа, которые вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию.

Пусть искомые три числа вместе с данными числами 2 и 162 образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$. В этой прогрессии будет 5 членов, так как мы вставляем 3 числа между двумя данными ($1+3+1=5$).

Таким образом, мы имеем геометрическую прогрессию, в которой первый член $b_1 = 2$, а пятый член $b_5 = 162$. Нам необходимо найти второй ($b_2$), третий ($b_3$) и четвертый ($b_4$) члены этой прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Используя эту формулу для пятого члена, мы можем найти знаменатель $q$:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$
$162 = 2 \cdot q^4$

Теперь решим полученное уравнение относительно $q$:
$q^4 = \frac{162}{2}$
$q^4 = 81$

Так как степень показателя (4) четная, уравнение имеет два действительных корня: $q = \sqrt[4]{81} = 3$ и $q = -\sqrt[4]{81} = -3$. Это означает, что существуют два возможных набора чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Случай 1: знаменатель $q = 3$
Найдем искомые члены прогрессии, последовательно умножая предыдущий член на 3:
$b_2 = b_1 \cdot q = 2 \cdot 3 = 6$
$b_3 = b_2 \cdot q = 6 \cdot 3 = 18$
$b_4 = b_3 \cdot q = 18 \cdot 3 = 54$
В этом случае искомые числа: 6, 18, 54. Полученная прогрессия: 2, 6, 18, 54, 162.

Случай 2: знаменатель $q = -3$
Найдем искомые члены прогрессии, последовательно умножая предыдущий член на -3:
$b_2 = b_1 \cdot q = 2 \cdot (-3) = -6$
$b_3 = b_2 \cdot q = (-6) \cdot (-3) = 18$
$b_4 = b_3 \cdot q = 18 \cdot (-3) = -54$
В этом случае искомые числа: -6, 18, -54. Полученная прогрессия: 2, -6, 18, -54, 162.

Ответ: 6, 18, 54 или -6, 18, -54.