Номер 598, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 598, страница 172.

Условие.

598. Последовательность (xₙ) — геометрическая прогрессия. Найдите:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$, где $x_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии.

По условию задачи нам даны $x_6 = 0,32$ и $q = 0,2$. Подставим эти значения в формулу для $n=6$:

$x_6 = x_1 \cdot q^{6-1}$

$0,32 = x_1 \cdot (0,2)^5$

Сначала вычислим $(0,2)^5$:

$(0,2)^5 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,00032$

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

$0,32 = x_1 \cdot 0,00032$

Выразим $x_1$:

$x_1 = \frac{0,32}{0,00032} = \frac{32000}{32} = 1000$

Ответ: $x_1 = 1000$.

б)

Для связи двух любых членов геометрической прогрессии $x_n$ и $x_k$ можно использовать формулу: $x_n = x_k \cdot q^{n-k}$.

По условию нам даны $x_3 = -162$ и $x_5 = -18$. Подставим эти значения в формулу, взяв $n=5$ и $k=3$:

$x_5 = x_3 \cdot q^{5-3}$

$-18 = -162 \cdot q^2$

Теперь выразим $q^2$:

$q^2 = \frac{-18}{-162} = \frac{18}{162}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 18:

$q^2 = \frac{1}{9}$

Чтобы найти $q$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что уравнение имеет два решения, так как в квадрат можно возводить как положительное, так и отрицательное число.

$q = \pm\sqrt{\frac{1}{9}} = \pm\frac{1}{3}$

Следовательно, знаменатель прогрессии может быть равен как $\frac{1}{3}$, так и $-\frac{1}{3}$.

Ответ: $q = \frac{1}{3}$ или $q = -\frac{1}{3}$.