Номер 591, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. 29. Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии - номер 591, страница 171.

Условие.

591. Последовательность (xₙ) — геометрическая прогрессия. Найдите:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи используется формула n-го члена геометрической прогрессии $(x_n)$: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$, где $x_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

а) Найти $x_7$, если $x_1 = 16$, $q = \frac{1}{2}$.

Подставляем заданные значения в формулу:

$x_7 = x_1 \cdot q^{7-1} = 16 \cdot (\frac{1}{2})^6 = 16 \cdot \frac{1}{64} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) Найти $x_8$, если $x_1 = -810$, $q = \frac{1}{3}$.

Подставляем значения в формулу:

$x_8 = x_1 \cdot q^{8-1} = -810 \cdot (\frac{1}{3})^7 = -810 \cdot \frac{1}{2187}$.

Так как $810 = 81 \cdot 10 = 3^4 \cdot 10$ и $2187 = 3^7$, получаем:

$x_8 = - \frac{3^4 \cdot 10}{3^7} = - \frac{10}{3^{7-4}} = - \frac{10}{3^3} = - \frac{10}{27}$.

Ответ: $-\frac{10}{27}$.

в) Найти $x_{10}$, если $x_1 = \sqrt{2}$, $q = -\sqrt{2}$.

Подставляем значения в формулу:

$x_{10} = x_1 \cdot q^{10-1} = \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2})^9$.

Поскольку степень 9 нечетная, знак минус сохраняется: $(-\sqrt{2})^9 = -(\sqrt{2})^9$.

$x_{10} = \sqrt{2} \cdot (-(\sqrt{2})^9) = -(\sqrt{2})^{1+9} = -(\sqrt{2})^{10} = -((\sqrt{2})^2)^5 = -2^5 = -32$.

Ответ: $-32$.

г) Найти $x_6$, если $x_1 = -125$, $q = 0,2$.

Представим $q$ в виде обыкновенной дроби: $q = 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Подставляем значения в формулу:

$x_6 = x_1 \cdot q^{6-1} = -125 \cdot (\frac{1}{5})^5 = -5^3 \cdot \frac{1}{5^5} = -\frac{5^3}{5^5} = -\frac{1}{5^{5-3}} = -\frac{1}{5^2} = -\frac{1}{25}$.

Ответ: $-\frac{1}{25}$.

д) Найти $x_5$, если $x_1 = \frac{3}{4}$, $q = \frac{2}{3}$.

Подставляем значения в формулу:

$x_5 = x_1 \cdot q^{5-1} = \frac{3}{4} \cdot (\frac{2}{3})^4 = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{81} = \frac{3 \cdot 16}{4 \cdot 81} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 27} = \frac{4}{27}$.

Ответ: $\frac{4}{27}$.

е) Найти $x_4$, если $x_1 = 1,8$, $q = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Представим $x_1$ в виде обыкновенной дроби: $x_1 = 1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$.

Подставляем значения в формулу:

$x_4 = x_1 \cdot q^{4-1} = \frac{9}{5} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{3})^3 = \frac{9}{5} \cdot \frac{(\sqrt{3})^3}{3^3} = \frac{9}{5} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{27} = \frac{9 \cdot 3\sqrt{3}}{5 \cdot 27} = \frac{27\sqrt{3}}{135}$.

Сократим дробь на 27: $\frac{\sqrt{3}}{5}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{5}$.