Номер 3, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 9. Арифметическая прогрессия. Контрольные вопросы и задания - номер 3, страница 166.

Условие.

3. Как выражается любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, через предыдущий и последующий члены?

Решение 1.

Решение 8.

Это свойство является одним из ключевых для арифметической прогрессии и называется её характеристическим свойством. Давайте выведем соответствующую формулу.

Пусть у нас есть арифметическая прогрессия $(a_n)$, где $a_n$ — это $n$-й член прогрессии. По определению, разность между любым последующим и предыдущим членом постоянна и равна разности прогрессии $d$.

Для любого члена $a_n$ (где $n \ge 2$) мы можем записать:
1. Связь с предыдущим членом $a_{n-1}$: $a_n = a_{n-1} + d$.
2. Связь со следующим членом $a_{n+1}$: $a_{n+1} = a_n + d$.

Выразим разность прогрессии $d$ из каждого уравнения:
Из первого уравнения получаем: $d = a_n - a_{n-1}$.
Из второго уравнения получаем: $d = a_{n+1} - a_n$.

Так как левые части этих равенств равны (это одна и та же разность $d$), мы можем приравнять их правые части: $a_n - a_{n-1} = a_{n+1} - a_n$

Теперь наша цель — выразить $a_n$. Для этого сгруппируем все члены, содержащие $a_n$, в одной части уравнения: $a_n + a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$
$2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$

Разделив обе части уравнения на 2, мы получим итоговую формулу: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Таким образом, любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим своего предыдущего и последующего членов.

Ответ: Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, выражается через предыдущий и последующий члены как их среднее арифметическое по формуле: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$.