Номер 584, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии. Параграф 9. Арифметическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 584, страница 166.

Условие.

584. Укажите наибольшее число членов арифметической прогрессии 17, 14, 11, … , при сложении которых получается положительное число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Дана арифметическая прогрессия $a_n$. Найдем ее параметры на основе предоставленных данных: 17, 14, 11, ...

Первый член прогрессии $a_1 = 17$.

Разность прогрессии $d$ можно найти, вычтя из второго члена первый:

$d = a_2 - a_1 = 14 - 17 = -3$.

Нам необходимо найти наибольшее натуральное число $n$ (количество членов), для которого сумма первых $n$ членов прогрессии, $S_n$, будет положительной. То есть, мы должны решить неравенство $S_n > 0$.

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии выглядит так:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим в эту формулу известные значения $a_1 = 17$ и $d = -3$ и решим неравенство:

$\frac{2 \cdot 17 + (-3)(n-1)}{2} \cdot n > 0$

Выполним преобразования:

$\frac{34 - 3n + 3}{2} \cdot n > 0$

$\frac{37 - 3n}{2} \cdot n > 0$

Так как $n$ — это количество членов, оно должно быть положительным целым числом ($n \ge 1$). Мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $\frac{n}{2}$, не меняя знака неравенства:

$37 - 3n > 0$

Теперь решим это линейное неравенство:

$37 > 3n$

$n < \frac{37}{3}$

$n < 12\frac{1}{3}$

Поскольку $n$ должно быть наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому условию, то $n=12$.

Проверим для $n=12$ и $n=13$:

$S_{12} = \frac{2 \cdot 17 + (-3)(12-1)}{2} \cdot 12 = \frac{34 - 3 \cdot 11}{2} \cdot 12 = \frac{34-33}{2} \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$. Так как $6 > 0$, условие выполняется.

$S_{13} = \frac{2 \cdot 17 + (-3)(13-1)}{2} \cdot 13 = \frac{34 - 3 \cdot 12}{2} \cdot 13 = \frac{34-36}{2} \cdot 13 = \frac{-2}{2} \cdot 13 = -13$. Так как $-13 < 0$, условие не выполняется.

Таким образом, наибольшее число членов, сумма которых положительна, равно 12.

Ответ: 12