Номер 585, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 9. Арифметическая прогрессия. 28. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии - номер 585, страница 166.

Условие.

585. В арифметической прогрессии a₇ = 8 и a₁₁ = 12,8. Найдите a₁ и d.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи используется формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — это первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию мы знаем седьмой и одиннадцатый члены прогрессии:

$a_7 = 8$

$a_{11} = 12,8$

Используя эти данные, мы можем составить систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $a_1$ и $d$.

$\begin{cases} a_7 = a_1 + (7-1)d \\ a_{11} = a_1 + (11-1)d \end{cases}$

Подставим известные значения членов прогрессии в систему:

$\begin{cases} 8 = a_1 + 6d & \text{(1)} \\ 12,8 = a_1 + 10d & \text{(2)} \end{cases}$

Теперь решим эту систему. Удобнее всего вычесть первое уравнение из второго, чтобы найти разность $d$:

$(a_1 + 10d) - (a_1 + 6d) = 12,8 - 8$

$a_1 + 10d - a_1 - 6d = 4,8$

$4d = 4,8$

$d = \frac{4,8}{4}$

$d = 1,2$

Мы нашли разность прогрессии. Теперь найдем первый член $a_1$, подставив значение $d = 1,2$ в первое уравнение системы:

$8 = a_1 + 6d$

$8 = a_1 + 6 \cdot 1,2$

$8 = a_1 + 7,2$

$a_1 = 8 - 7,2$

$a_1 = 0,8$

Таким образом, мы нашли оба искомых значения. Для проверки можно подставить найденные $a_1$ и $d$ во второе уравнение:

$12,8 = 0,8 + 10 \cdot 1,2 \implies 12,8 = 0,8 + 12 \implies 12,8 = 12,8$.

Равенство верное, значит, решение правильное.

Ответ: $a_1 = 0,8; d = 1,2$.