Номер 581, страница 165 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 9. Арифметическая прогрессия. 28. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии - номер 581, страница 165.

Условие.

581. (Для работы в парах.) Какое расстояние пройдёт свободно падающее тело:

а) за пятую секунду после начала падения;

б) за пять секунд после начала падения?

1) Обсудите, какое известное вам из курса физики свойство надо использовать для решения задачи.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данной задачи необходимо использовать законы равноускоренного движения. Свободное падение является частным случаем такого движения, когда тело движется только под действием силы тяжести. При этом мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, считаем начальную скорость тела равной нулю ($v_0 = 0$), а ускорение постоянным и равным ускорению свободного падения $g$. В расчетах будем использовать стандартное значение $g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$.

Расстояние $h$, которое проходит тело при свободном падении за время $t$, определяется формулой:

$h(t) = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$

Поскольку начальная скорость $v_0 = 0$, формула для нашего случая упрощается:

$h(t) = \frac{gt^2}{2}$

а) за пятую секунду после начала падения;

Расстояние, пройденное телом за пятую секунду, — это разность между расстоянием, которое тело пролетело за полные пять секунд, и расстоянием, которое оно пролетело за первые четыре секунды. Обозначим искомое расстояние как $\Delta h_5$.

$\Delta h_5 = h(t_2) - h(t_1)$, где $t_2 = 5$ с, а $t_1 = 4$ с.

1. Сначала вычислим полное расстояние, пройденное за 5 секунд:

$h(5) = \frac{g \cdot (5\,\text{с})^2}{2} = \frac{9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 25 \, \text{с}^2}{2} = \frac{245 \, \text{м}}{2} = 122,5 \, \text{м}$

2. Затем вычислим полное расстояние, пройденное за 4 секунды:

$h(4) = \frac{g \cdot (4\,\text{с})^2}{2} = \frac{9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 16 \, \text{с}^2}{2} = \frac{156,8 \, \text{м}}{2} = 78,4 \, \text{м}$

3. Теперь найдем разность, чтобы определить расстояние, пройденное именно за пятую секунду:

$\Delta h_5 = h(5) - h(4) = 122,5 \, \text{м} - 78,4 \, \text{м} = 44,1 \, \text{м}$

Ответ: 44,1 м.

б) за пять секунд после начала падения?

Расстояние, пройденное телом за пять секунд, — это общее расстояние, которое тело преодолело с момента начала падения ($t=0$) до момента времени $t=5$ с.

Для этого мы используем формулу $h(t) = \frac{gt^2}{2}$, подставляя значение времени $t = 5$ с. Этот расчет уже был выполнен в первом шаге пункта а).

$h(5) = \frac{g \cdot (5\,\text{с})^2}{2} = \frac{9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 25 \, \text{с}^2}{2} = \frac{245 \, \text{м}}{2} = 122,5 \, \text{м}$

Ответ: 122,5 м.