Номер 588, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

588. Покажите штриховкой множество точек, которое задаёт на координатной плоскости система неравенств

Чтобы найти множество точек, которое задает данная система неравенств, необходимо рассмотреть каждое неравенство отдельно, а затем найти пересечение (общую часть) полученных областей на координатной плоскости.

Анализ неравенства $y \ge x^2$

Сначала построим границу области — график функции $y = x^2$. Это стандартная парабола, вершина которой находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх. Неравенство является нестрогим ($ \ge $), поэтому точки, лежащие на самой параболе, являются частью решения. Чтобы определить, какая из областей (внутри или снаружи параболы) является решением, выберем контрольную точку, не лежащую на параболе, например, $(0, 1)$. Подставим ее координаты в неравенство: $1 \ge 0^2$, что является верным утверждением ($1 \ge 0$). Следовательно, решением этого неравенства является множество всех точек, лежащих на параболе $y = x^2$ и над ней (то есть, "внутри" параболы).

Анализ неравенства $2y + x \le 5$

Теперь рассмотрим второе неравенство. Его границей является прямая, заданная уравнением $2y + x = 5$. Для удобства построения выразим $y$ через $x$: $2y = 5 - x$ $y = -\frac{1}{2}x + 2.5$ Это уравнение прямой. Для ее построения найдем две точки. Если $x = 0$, то $y = 2.5$, получаем точку $(0, 2.5)$. Если $y=0$, то $x=5$, получаем точку $(5, 0)$. Проведем через эти две точки прямую. Неравенство также нестрогое ($ \le $), поэтому сама прямая включается в решение. Чтобы определить, какая из двух полуплоскостей, на которые прямая делит плоскость, является решением, возьмем контрольную точку $(0, 0)$. Подставим в неравенство: $2(0) + 0 \le 5$, что дает $0 \le 5$. Это верное утверждение, поэтому решением является полуплоскость, содержащая начало координат, то есть область под прямой $y = -\frac{1}{2}x + 2.5$.

Нахождение итогового множества точек

Решением системы неравенств является пересечение найденных областей. То есть, нам нужно найти все точки, которые одновременно удовлетворяют условию $y \ge x^2$ и условию $2y + x \le 5$. Геометрически это область, которая находится выше или на параболе и одновременно ниже или на прямой. Эта область представляет собой замкнутую фигуру, ограниченную снизу дугой параболы, а сверху — отрезком прямой. Для точного определения границ этой фигуры найдем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $2y + x = 5$. Для этого решим систему уравнений: $y = x^2$ $2y + x = 5$ Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе: $2(x^2) + x = 5$ $2x^2 + x - 5 = 0$ Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 1 + 40 = 41$ Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{4}$ Соответствующие значения $y$ равны $y=x^2$. Таким образом, парабола и прямая пересекаются в двух точках, которые и являются границами искомой заштрихованной области.

Ответ: Искомое множество точек — это замкнутая область на координатной плоскости, ограниченная снизу дугой параболы $y = x^2$ и сверху отрезком прямой $2y + x = 5$. Границы области (парабола и прямая) включаются в это множество. На графике эта область должна быть заштрихована.