Номер 1, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 9. Арифметическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 1, страница 166.

Условие.

1. Приведите пример последовательности, заданной:

а) формулой n-го члена;

б) рекуррентной формулой.

Найдите пять первых членов этой последовательности.

Решение 1.

Решение 8.

а) формулой n-го члена

Последовательность задана формулой n-го члена, если указана формула (или правило), по которой для любого натурального номера $n$ можно вычислить соответствующий член последовательности $a_n$, не зная при этом предыдущих членов.

В качестве примера рассмотрим последовательность, заданную формулой $a_n = 2n + 3$. Эта формула представляет собой арифметическую прогрессию. Она позволяет напрямую найти значение любого члена последовательности.

Найдем пять первых членов этой последовательности, последовательно подставляя вместо $n$ значения 1, 2, 3, 4 и 5:

При $n=1$: $a_1 = 2 \cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5$

При $n=2$: $a_2 = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$

При $n=3$: $a_3 = 2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9$

При $n=4$: $a_4 = 2 \cdot 4 + 3 = 8 + 3 = 11$

При $n=5$: $a_5 = 2 \cdot 5 + 3 = 10 + 3 = 13$

Таким образом, первые пять членов данной последовательности: 5, 7, 9, 11, 13.

Ответ: последовательность задана формулой $a_n = 2n + 3$; ее первые пять членов: 5, 7, 9, 11, 13.

б) рекуррентной формулой

Последовательность задана рекуррентной (от латинского recurrere — возвращаться) формулой, если для нее указан один или несколько первых членов, а также формула, которая позволяет найти любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие члены.

В качестве примера возьмем последовательность, где первый член $b_1 = 4$, а каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на 2. Это пример геометрической прогрессии. Рекуррентная формула для такой последовательности выглядит так: $b_1 = 4$ и $b_n = b_{n-1} \cdot 2$ для всех $n \ge 2$.

Найдем пять первых членов этой последовательности:

Первый член задан: $b_1 = 4$

Второй член находим через первый: $b_2 = b_1 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8$

Третий член находим через второй: $b_3 = b_2 \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16$

Четвертый член находим через третий: $b_4 = b_3 \cdot 2 = 16 \cdot 2 = 32$

Пятый член находим через четвертый: $b_5 = b_4 \cdot 2 = 32 \cdot 2 = 64$

Таким образом, первые пять членов данной последовательности: 4, 8, 16, 32, 64.

Ответ: последовательность задана рекуррентно: $b_1 = 4$, $b_n = b_{n-1} \cdot 2$; ее первые пять членов: 4, 8, 16, 32, 64.