Номер 583, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии. Параграф 9. Арифметическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 583, страница 166.

Условие.

583. Укажите наибольшее число членов арифметической прогрессии

3, 5, 7, … ,

сумма которых не превосходит 120.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

В задаче дана арифметическая прогрессия, первыми членами которой являются 3, 5, 7, ...

Определим параметры этой прогрессии. Первый член прогрессии $a_1 = 3$. Разность прогрессии $d$ — это разница между любым членом прогрессии и предыдущим. $d = a_2 - a_1 = 5 - 3 = 2$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии $(S_n)$ вычисляется по формуле: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Согласно условию, сумма членов прогрессии не должна превосходить 120, что можно записать в виде неравенства: $S_n \le 120$

Подставим в это неравенство значения $a_1 = 3$ и $d = 2$: $\frac{2 \cdot 3 + 2(n-1)}{2} \cdot n \le 120$

Теперь решим это неравенство относительно $n$. Сначала упростим левую часть: $\frac{6 + 2n - 2}{2} \cdot n \le 120$ $\frac{4 + 2n}{2} \cdot n \le 120$ $(2 + n)n \le 120$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство: $n^2 + 2n \le 120$ $n^2 + 2n - 120 \le 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 + 2n - 120 = 0$. Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$ $\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$

Корни уравнения: $n_1 = \frac{-2 - 22}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12$ $n_2 = \frac{-2 + 22}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

Графиком функции $y = n^2 + 2n - 120$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями. Таким образом, решение неравенства: $-12 \le n \le 10$

Поскольку $n$ — это количество членов прогрессии, оно должно быть натуральным числом, то есть $n \ge 1$. Объединяя два условия ($-12 \le n \le 10$ и $n \ge 1$), получаем: $1 \le n \le 10$

Наибольшее целое число $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 10.

Проверим: Сумма 10 членов: $S_{10} = (2+10) \cdot 10 = 120$. Условие $120 \le 120$ выполняется. Сумма 11 членов: $S_{11} = (2+11) \cdot 11 = 13 \cdot 11 = 143$. Условие $143 \le 120$ не выполняется. Следовательно, наибольшее возможное число членов — 10.

Ответ: 10