Номер 578, страница 165 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

578. Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии (cₙ), если c₇ = 18,5 и c₁₇ = –26,5.

Для того чтобы найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии $(c_n)$, нам сначала нужно определить её первый член $c_1$ и разность $d$.

Из условия задачи мы знаем, что $c_7 = 18,5$ и $c_{17} = -26,5$.

1. Найдём разность прогрессии $d$.
Формула, связывающая два любых члена арифметической прогрессии, выглядит так: $c_m = c_n + (m-n)d$.
Применим эту формулу для известных нам членов $c_{17}$ и $c_7$:
$c_{17} = c_7 + (17-7)d$
Подставим числовые значения:
$-26,5 = 18,5 + 10d$
Теперь решим это уравнение относительно $d$:
$10d = -26,5 - 18,5$
$10d = -45$
$d = -4,5$

2. Теперь найдём первый член прогрессии $c_1$.
Используем формулу n-го члена прогрессии $c_n = c_1 + (n-1)d$.
Возьмём $n=7$:
$c_7 = c_1 + (7-1)d$
Подставим известные значения $c_7 = 18,5$ и $d = -4,5$:
$18,5 = c_1 + 6 \cdot (-4,5)$
$18,5 = c_1 - 27$
Отсюда найдём $c_1$:
$c_1 = 18,5 + 27$
$c_1 = 45,5$

3. Наконец, вычислим сумму первых двадцати членов $S_{20}$.
Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2c_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$
Подставим $n=20$, а также найденные значения $c_1 = 45,5$ и $d = -4,5$:
$S_{20} = \frac{2 \cdot 45,5 + (20-1) \cdot (-4,5)}{2} \cdot 20$
Упростим выражение, сократив 2 и 20:
$S_{20} = (2 \cdot 45,5 + 19 \cdot (-4,5)) \cdot 10$
$S_{20} = (91 - 85,5) \cdot 10$
$S_{20} = 5,5 \cdot 10$
$S_{20} = 55$

Ответ: 55