Номер 572, страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 9. Арифметическая прогрессия. 28. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии - номер 572, страница 164.

Условие.

572. Найдите сумму первых пятидесяти, ста, n членов последовательности (xₙ), если:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Все представленные последовательности $(x_n)$ являются арифметическими прогрессиями, так как их n-й член задан линейной функцией вида $x_n = An + B$. Сумму первых $k$ членов арифметической прогрессии $(x_n)$ будем находить по формуле:

$S_k = \frac{k(x_1 + x_k)}{2}$, где $x_1$ — первый член, а $x_k$ — k-й член последовательности.

а) $x_n = 4n + 2$

Первый член последовательности: $x_1 = 4(1) + 2 = 6$.
1. Сумма первых 50 членов ($S_{50}$):
$x_{50} = 4(50) + 2 = 202$.
$S_{50} = \frac{50(x_1 + x_{50})}{2} = \frac{50(6 + 202)}{2} = \frac{50 \cdot 208}{2} = 25 \cdot 208 = 5200$.
2. Сумма первых 100 членов ($S_{100}$):
$x_{100} = 4(100) + 2 = 402$.
$S_{100} = \frac{100(x_1 + x_{100})}{2} = \frac{100(6 + 402)}{2} = 50 \cdot 408 = 20400$.
3. Сумма первых $n$ членов ($S_n$):
$S_n = \frac{n(x_1 + x_n)}{2} = \frac{n(6 + 4n + 2)}{2} = \frac{n(4n + 8)}{2} = \frac{4n(n + 2)}{2} = 2n(n + 2)$.

Ответ: $S_{50} = 5200$; $S_{100} = 20400$; $S_n = 2n(n + 2)$.

б) $x_n = 2n + 3$

Первый член последовательности: $x_1 = 2(1) + 3 = 5$.
1. Сумма первых 50 членов ($S_{50}$):
$x_{50} = 2(50) + 3 = 103$.
$S_{50} = \frac{50(x_1 + x_{50})}{2} = \frac{50(5 + 103)}{2} = \frac{50 \cdot 108}{2} = 25 \cdot 108 = 2700$.
2. Сумма первых 100 членов ($S_{100}$):
$x_{100} = 2(100) + 3 = 203$.
$S_{100} = \frac{100(x_1 + x_{100})}{2} = \frac{100(5 + 203)}{2} = 50 \cdot 208 = 10400$.
3. Сумма первых $n$ членов ($S_n$):
$S_n = \frac{n(x_1 + x_n)}{2} = \frac{n(5 + 2n + 3)}{2} = \frac{n(2n + 8)}{2} = \frac{2n(n + 4)}{2} = n(n + 4)$.

Ответ: $S_{50} = 2700$; $S_{100} = 10400$; $S_n = n(n + 4)$.

в) $x_n = n - 4$

Первый член последовательности: $x_1 = 1 - 4 = -3$.
1. Сумма первых 50 членов ($S_{50}$):
$x_{50} = 50 - 4 = 46$.
$S_{50} = \frac{50(x_1 + x_{50})}{2} = \frac{50(-3 + 46)}{2} = \frac{50 \cdot 43}{2} = 25 \cdot 43 = 1075$.
2. Сумма первых 100 членов ($S_{100}$):
$x_{100} = 100 - 4 = 96$.
$S_{100} = \frac{100(x_1 + x_{100})}{2} = \frac{100(-3 + 96)}{2} = 50 \cdot 93 = 4650$.
3. Сумма первых $n$ членов ($S_n$):
$S_n = \frac{n(x_1 + x_n)}{2} = \frac{n(-3 + n - 4)}{2} = \frac{n(n - 7)}{2}$.

Ответ: $S_{50} = 1075$; $S_{100} = 4650$; $S_n = \frac{n(n - 7)}{2}$.

г) $x_n = 3n - 1$

Первый член последовательности: $x_1 = 3(1) - 1 = 2$.
1. Сумма первых 50 членов ($S_{50}$):
$x_{50} = 3(50) - 1 = 149$.
$S_{50} = \frac{50(x_1 + x_{50})}{2} = \frac{50(2 + 149)}{2} = \frac{50 \cdot 151}{2} = 25 \cdot 151 = 3775$.
2. Сумма первых 100 членов ($S_{100}$):
$x_{100} = 3(100) - 1 = 299$.
$S_{100} = \frac{100(x_1 + x_{100})}{2} = \frac{100(2 + 299)}{2} = 50 \cdot 301 = 15050$.
3. Сумма первых $n$ членов ($S_n$):
$S_n = \frac{n(x_1 + x_n)}{2} = \frac{n(2 + 3n - 1)}{2} = \frac{n(3n + 1)}{2}$.

Ответ: $S_{50} = 3775$; $S_{100} = 15050$; $S_n = \frac{n(3n + 1)}{2}$.