Номер 575, страница 165 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 9. Арифметическая прогрессия. 28. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии - номер 575, страница 165.

Условие.

575. Найдите сумму:

а) всех натуральных чисел, не превосходящих 150;

б) всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно;

в) всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300;

г) всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Требуется найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150, то есть сумму чисел от 1 до 150. Эта последовательность чисел является арифметической прогрессией.

Первый член прогрессии $a_1 = 1$.

Последний член прогрессии $a_n = 150$.

Количество членов в этой прогрессии $n = 150$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим значения в формулу:

$S_{150} = \frac{1 + 150}{2} \cdot 150 = \frac{151}{2} \cdot 150 = 151 \cdot 75 = 11325$.

Ответ: 11325.

б) Требуется найти сумму всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно. Эта последовательность также является арифметической прогрессией.

Первый член прогрессии $a_1 = 20$.

Последний член прогрессии $a_n = 120$.

Разность прогрессии $d = 1$.

Сначала определим количество членов в этой прогрессии по формуле $n = a_n - a_1 + 1$ (для случая, когда разность $d=1$) или по общей формуле $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$.

$n = \frac{120 - 20}{1} + 1 = 100 + 1 = 101$.

Теперь вычислим сумму, используя формулу $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

$S_{101} = \frac{20 + 120}{2} \cdot 101 = \frac{140}{2} \cdot 101 = 70 \cdot 101 = 7070$.

Ответ: 7070.

в) Требуется найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300. Эти числа (4, 8, 12, ...) образуют арифметическую прогрессию.

Первый член прогрессии $a_1 = 4$.

Последний член прогрессии, кратный 4 и не превосходящий 300, это $a_n = 300$, так как $300$ делится на $4$ без остатка ($300 = 4 \cdot 75$).

Разность прогрессии $d = 4$.

Найдем количество членов прогрессии. Так как $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$300 = 4 + (n-1) \cdot 4$

$296 = (n-1) \cdot 4$

$n-1 = \frac{296}{4} = 74$

$n = 75$.

Теперь вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

$S_{75} = \frac{4 + 300}{2} \cdot 75 = \frac{304}{2} \cdot 75 = 152 \cdot 75 = 11400$.

Ответ: 11400.

г) Требуется найти сумму всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130. Эти числа (7, 14, 21, ...) образуют арифметическую прогрессию.

Первый член прогрессии $a_1 = 7$.

Разность прогрессии $d = 7$.

Найдем последний член прогрессии, который кратен 7 и не превышает 130. Для этого разделим 130 на 7:

$130 \div 7 = 18$ (остаток 4).

Следовательно, наибольшее число, кратное 7 и не превосходящее 130, это $7 \cdot 18 = 126$. Итак, $a_n = 126$.

Количество членов прогрессии равно $n = 18$.

Вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

$S_{18} = \frac{7 + 126}{2} \cdot 18 = \frac{133}{2} \cdot 18 = 133 \cdot 9 = 1197$.

Ответ: 1197.