Номер 575, страница 165 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
28. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии. Параграф 9. Арифметическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 575, страница 165.
№575 (с. 165)
Условие. №575 (с. 165)
скриншот условия

575. Найдите сумму:
а) всех натуральных чисел, не превосходящих 150;
б) всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно;
в) всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300;
г) всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130.
Решение 1. №575 (с. 165)


Решение 2. №575 (с. 165)




Решение 3. №575 (с. 165)

Решение 4. №575 (с. 165)

Решение 5. №575 (с. 165)

Решение 7. №575 (с. 165)

Решение 8. №575 (с. 165)
а) Требуется найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150, то есть сумму чисел от 1 до 150. Эта последовательность чисел является арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии $a_1 = 1$.
Последний член прогрессии $a_n = 150$.
Количество членов в этой прогрессии $n = 150$.
Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим значения в формулу:
$S_{150} = \frac{1 + 150}{2} \cdot 150 = \frac{151}{2} \cdot 150 = 151 \cdot 75 = 11325$.
Ответ: 11325.
б) Требуется найти сумму всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно. Эта последовательность также является арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии $a_1 = 20$.
Последний член прогрессии $a_n = 120$.
Разность прогрессии $d = 1$.
Сначала определим количество членов в этой прогрессии по формуле $n = a_n - a_1 + 1$ (для случая, когда разность $d=1$) или по общей формуле $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$.
$n = \frac{120 - 20}{1} + 1 = 100 + 1 = 101$.
Теперь вычислим сумму, используя формулу $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{101} = \frac{20 + 120}{2} \cdot 101 = \frac{140}{2} \cdot 101 = 70 \cdot 101 = 7070$.
Ответ: 7070.
в) Требуется найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300. Эти числа (4, 8, 12, ...) образуют арифметическую прогрессию.
Первый член прогрессии $a_1 = 4$.
Последний член прогрессии, кратный 4 и не превосходящий 300, это $a_n = 300$, так как $300$ делится на $4$ без остатка ($300 = 4 \cdot 75$).
Разность прогрессии $d = 4$.
Найдем количество членов прогрессии. Так как $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$300 = 4 + (n-1) \cdot 4$
$296 = (n-1) \cdot 4$
$n-1 = \frac{296}{4} = 74$
$n = 75$.
Теперь вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{75} = \frac{4 + 300}{2} \cdot 75 = \frac{304}{2} \cdot 75 = 152 \cdot 75 = 11400$.
Ответ: 11400.
г) Требуется найти сумму всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130. Эти числа (7, 14, 21, ...) образуют арифметическую прогрессию.
Первый член прогрессии $a_1 = 7$.
Разность прогрессии $d = 7$.
Найдем последний член прогрессии, который кратен 7 и не превышает 130. Для этого разделим 130 на 7:
$130 \div 7 = 18$ (остаток 4).
Следовательно, наибольшее число, кратное 7 и не превосходящее 130, это $7 \cdot 18 = 126$. Итак, $a_n = 126$.
Количество членов прогрессии равно $n = 18$.
Вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{18} = \frac{7 + 126}{2} \cdot 18 = \frac{133}{2} \cdot 18 = 133 \cdot 9 = 1197$.
Ответ: 1197.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 575 расположенного на странице 165 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №575 (с. 165), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.