Номер 582, страница 165 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

582. Шары расположены в форме треугольника так, что в первом ряду 1 шар, во втором — 2, в третьем — 3 и т. д. (рис. 70). Во сколько рядов размещены шары, если их число равно 120? Сколько потребуется шаров для треугольника из 30 рядов?

В данной задаче расположение шаров описывается арифметической прогрессией. В первом ряду 1 шар, во втором — 2, в третьем — 3, и так далее. Это означает, что количество шаров в $n$-ом ряду равно $n$.

Общее количество шаров в $n$ рядах — это сумма первых $n$ членов этой прогрессии. Формула для суммы первых $n$ натуральных чисел (или суммы арифметической прогрессии, где $a_1=1$ и $d=1$) выглядит так:

$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$

Во сколько рядов размещены шары, если их число равно 120?

Нам известно общее количество шаров $S_n = 120$. Необходимо найти количество рядов $n$. Для этого подставим известное значение в формулу:

$\frac{n(n+1)}{2} = 120$

Умножим обе части уравнения на 2:

$n(n+1) = 240$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения $an^2+bn+c=0$:

$n^2 + n - 240 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$

$n_1 = \frac{-1 + 31}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$n_2 = \frac{-1 - 31}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку количество рядов $n$ должно быть положительным числом, то подходит только корень $n=15$.

Ответ: 15 рядов.

Сколько потребуется шаров для треугольника из 30 рядов?

В этом вопросе нам дано количество рядов $n = 30$. Необходимо найти общее число шаров $S_{30}$. Используем ту же формулу суммы:

$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$

Подставим $n=30$ в формулу:

$S_{30} = \frac{30(30+1)}{2} = \frac{30 \cdot 31}{2}$

Выполним вычисление:

$S_{30} = 15 \cdot 31 = 465$

Ответ: 465 шаров.