Номер 587, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии. Параграф 9. Арифметическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 587, страница 166.

Условие.

587. Решите систему уравнений:

Решение 1.

Решение 8.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 9x^2 + 9y^2 = 13, \\ 3xy = 2; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $xy$: $xy = \frac{2}{3}$.

Преобразуем первое уравнение, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности. Для этого нам понадобится значение $18xy$. Умножим второе уравнение на 6:

$6 \cdot 3xy = 6 \cdot 2 \implies 18xy = 12$.

Теперь сложим $18xy$ с первым уравнением и вычтем $18xy$ из первого уравнения:

1) $9x^2 + 9y^2 + 18xy = 13 + 12$

$(3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (3y) + (3y)^2 = 25$

$(3x + 3y)^2 = 25$

Отсюда $3x + 3y = 5$ или $3x + 3y = -5$.

2) $9x^2 + 9y^2 - 18xy = 13 - 12$

$(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (3y) + (3y)^2 = 1$

$(3x - 3y)^2 = 1$

Отсюда $3x - 3y = 1$ или $3x - 3y = -1$.

Теперь решим четыре системы линейных уравнений:

1) $ \begin{cases} 3x + 3y = 5 \\ 3x - 3y = 1 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $6x = 6 \implies x = 1$. Подставив $x=1$ в первое уравнение: $3(1) + 3y = 5 \implies 3y = 2 \implies y = \frac{2}{3}$. Решение: $(1; \frac{2}{3})$.

2) $ \begin{cases} 3x + 3y = 5 \\ 3x - 3y = -1 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $6x = 4 \implies x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Подставив $x=\frac{2}{3}$ в первое уравнение: $3(\frac{2}{3}) + 3y = 5 \implies 2 + 3y = 5 \implies 3y = 3 \implies y = 1$. Решение: $(\frac{2}{3}; 1)$.

3) $ \begin{cases} 3x + 3y = -5 \\ 3x - 3y = 1 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $6x = -4 \implies x = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$. Подставив $x=-\frac{2}{3}$ в первое уравнение: $3(-\frac{2}{3}) + 3y = -5 \implies -2 + 3y = -5 \implies 3y = -3 \implies y = -1$. Решение: $(-\frac{2}{3}; -1)$.

4) $ \begin{cases} 3x + 3y = -5 \\ 3x - 3y = -1 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $6x = -6 \implies x = -1$. Подставив $x=-1$ в первое уравнение: $3(-1) + 3y = -5 \implies -3 + 3y = -5 \implies 3y = -2 \implies y = -\frac{2}{3}$. Решение: $(-1; -\frac{2}{3})$.

Ответ: $(1; \frac{2}{3}), (\frac{2}{3}; 1), (-\frac{2}{3}; -1), (-1; -\frac{2}{3})$.

---

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 29, \\ y^2 - 4x^2 = 9; \end{cases} $

Это система линейных уравнений относительно $x^2$ и $y^2$. Вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 + y^2) - (y^2 - 4x^2) = 29 - 9$

$x^2 + y^2 - y^2 + 4x^2 = 20$

$5x^2 = 20$

$x^2 = 4$

Отсюда $x = \pm 2$.

Подставим значение $x^2 = 4$ в первое уравнение системы:

$4 + y^2 = 29$

$y^2 = 25$

Отсюда $y = \pm 5$.

Комбинируя возможные значения $x$ и $y$, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(2; 5), (2; -5), (-2; 5), (-2; -5)$.

---

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^2 + xy = 6, \\ 3x^2 + xy - x = 6; \end{cases} $

Поскольку правые части обоих уравнений равны 6, мы можем приравнять их левые части:

$2x^2 + xy = 3x^2 + xy - x$

Вычтем $xy$ из обеих частей:

$2x^2 = 3x^2 - x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$3x^2 - 2x^2 - x = 0$

$x^2 - x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x=0$ или $x=1$.

Проверим каждое значение:

1) Если $x=0$, подставим его в первое уравнение системы: $2(0)^2 + (0)y = 6 \implies 0 = 6$. Это неверное равенство, значит $x=0$ не является решением.

2) Если $x=1$, подставим его в первое уравнение системы: $2(1)^2 + (1)y = 6 \implies 2 + y = 6 \implies y = 4$.

Проверим пару $(1; 4)$ во втором уравнении: $3(1)^2 + (1)(4) - 1 = 3 + 4 - 1 = 6$. Равенство верное.

Таким образом, система имеет единственное решение.

Ответ: $(1; 4)$.

---

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x^2 - 2y^2 = 25, \\ x^2 - y^2 + y = 5; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x^2$:

$x^2 = 5 + y^2 - y$

Подставим это выражение для $x^2$ в первое уравнение:

$3(5 + y^2 - y) - 2y^2 = 25$

$15 + 3y^2 - 3y - 2y^2 = 25$

Приведем подобные члены:

$y^2 - 3y + 15 - 25 = 0$

$y^2 - 3y - 10 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни легко находятся: $y_1 = 5$ и $y_2 = -2$ (т.к. $5 \cdot (-2) = -10$ и $5 + (-2) = 3$).

Теперь для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$:

1) Если $y = 5$:

$x^2 = 5 + (5)^2 - 5 = 5 + 25 - 5 = 25$

$x^2 = 25 \implies x = \pm 5$.

Получаем два решения: $(5; 5)$ и $(-5; 5)$.

2) Если $y = -2$:

$x^2 = 5 + (-2)^2 - (-2) = 5 + 4 + 2 = 11$

$x^2 = 11 \implies x = \pm \sqrt{11}$.

Получаем еще два решения: $(\sqrt{11}; -2)$ и $(-\sqrt{11}; -2)$.

Ответ: $(5; 5), (-5; 5), (\sqrt{11}; -2), (-\sqrt{11}; -2)$.