Страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

583. Укажите наибольшее число членов арифметической прогрессии

3, 5, 7, … ,

сумма которых не превосходит 120.

В задаче дана арифметическая прогрессия, первыми членами которой являются 3, 5, 7, ...

Определим параметры этой прогрессии. Первый член прогрессии $a_1 = 3$. Разность прогрессии $d$ — это разница между любым членом прогрессии и предыдущим. $d = a_2 - a_1 = 5 - 3 = 2$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии $(S_n)$ вычисляется по формуле: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Согласно условию, сумма членов прогрессии не должна превосходить 120, что можно записать в виде неравенства: $S_n \le 120$

Подставим в это неравенство значения $a_1 = 3$ и $d = 2$: $\frac{2 \cdot 3 + 2(n-1)}{2} \cdot n \le 120$

Теперь решим это неравенство относительно $n$. Сначала упростим левую часть: $\frac{6 + 2n - 2}{2} \cdot n \le 120$ $\frac{4 + 2n}{2} \cdot n \le 120$ $(2 + n)n \le 120$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство: $n^2 + 2n \le 120$ $n^2 + 2n - 120 \le 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 + 2n - 120 = 0$. Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$ $\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$

Корни уравнения: $n_1 = \frac{-2 - 22}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12$ $n_2 = \frac{-2 + 22}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

Графиком функции $y = n^2 + 2n - 120$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции меньше или равны нулю на отрезке между корнями. Таким образом, решение неравенства: $-12 \le n \le 10$

Поскольку $n$ — это количество членов прогрессии, оно должно быть натуральным числом, то есть $n \ge 1$. Объединяя два условия ($-12 \le n \le 10$ и $n \ge 1$), получаем: $1 \le n \le 10$

Наибольшее целое число $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 10.

Проверим: Сумма 10 членов: $S_{10} = (2+10) \cdot 10 = 120$. Условие $120 \le 120$ выполняется. Сумма 11 членов: $S_{11} = (2+11) \cdot 11 = 13 \cdot 11 = 143$. Условие $143 \le 120$ не выполняется. Следовательно, наибольшее возможное число членов — 10.

Ответ: 10

584. Укажите наибольшее число членов арифметической прогрессии 17, 14, 11, … , при сложении которых получается положительное число.

Дана арифметическая прогрессия $a_n$. Найдем ее параметры на основе предоставленных данных: 17, 14, 11, ...

Первый член прогрессии $a_1 = 17$.

Разность прогрессии $d$ можно найти, вычтя из второго члена первый:

$d = a_2 - a_1 = 14 - 17 = -3$.

Нам необходимо найти наибольшее натуральное число $n$ (количество членов), для которого сумма первых $n$ членов прогрессии, $S_n$, будет положительной. То есть, мы должны решить неравенство $S_n > 0$.

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии выглядит так:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим в эту формулу известные значения $a_1 = 17$ и $d = -3$ и решим неравенство:

$\frac{2 \cdot 17 + (-3)(n-1)}{2} \cdot n > 0$

Выполним преобразования:

$\frac{34 - 3n + 3}{2} \cdot n > 0$

$\frac{37 - 3n}{2} \cdot n > 0$

Так как $n$ — это количество членов, оно должно быть положительным целым числом ($n \ge 1$). Мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $\frac{n}{2}$, не меняя знака неравенства:

$37 - 3n > 0$

Теперь решим это линейное неравенство:

$37 > 3n$

$n < \frac{37}{3}$

$n < 12\frac{1}{3}$

Поскольку $n$ должно быть наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому условию, то $n=12$.

Проверим для $n=12$ и $n=13$:

$S_{12} = \frac{2 \cdot 17 + (-3)(12-1)}{2} \cdot 12 = \frac{34 - 3 \cdot 11}{2} \cdot 12 = \frac{34-33}{2} \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$. Так как $6 > 0$, условие выполняется.

$S_{13} = \frac{2 \cdot 17 + (-3)(13-1)}{2} \cdot 13 = \frac{34 - 3 \cdot 12}{2} \cdot 13 = \frac{34-36}{2} \cdot 13 = \frac{-2}{2} \cdot 13 = -13$. Так как $-13 < 0$, условие не выполняется.

Таким образом, наибольшее число членов, сумма которых положительна, равно 12.

Ответ: 12

585. В арифметической прогрессии a₇ = 8 и a₁₁ = 12,8. Найдите a₁ и d.

Для решения этой задачи используется формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — это первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию мы знаем седьмой и одиннадцатый члены прогрессии:

$a_7 = 8$

$a_{11} = 12,8$

Используя эти данные, мы можем составить систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $a_1$ и $d$.

$\begin{cases} a_7 = a_1 + (7-1)d \\ a_{11} = a_1 + (11-1)d \end{cases}$

Подставим известные значения членов прогрессии в систему:

$\begin{cases} 8 = a_1 + 6d & \text{(1)} \\ 12,8 = a_1 + 10d & \text{(2)} \end{cases}$

Теперь решим эту систему. Удобнее всего вычесть первое уравнение из второго, чтобы найти разность $d$:

$(a_1 + 10d) - (a_1 + 6d) = 12,8 - 8$

$a_1 + 10d - a_1 - 6d = 4,8$

$4d = 4,8$

$d = \frac{4,8}{4}$

$d = 1,2$

Мы нашли разность прогрессии. Теперь найдем первый член $a_1$, подставив значение $d = 1,2$ в первое уравнение системы:

$8 = a_1 + 6d$

$8 = a_1 + 6 \cdot 1,2$

$8 = a_1 + 7,2$

$a_1 = 8 - 7,2$

$a_1 = 0,8$

Таким образом, мы нашли оба искомых значения. Для проверки можно подставить найденные $a_1$ и $d$ во второе уравнение:

$12,8 = 0,8 + 10 \cdot 1,2 \implies 12,8 = 0,8 + 12 \implies 12,8 = 12,8$.

Равенство верное, значит, решение правильное.

Ответ: $a_1 = 0,8; d = 1,2$.

586. Является ли членом арифметической прогрессии 20,7; 18,3; … число:

а) –1,3;

б) –3,3?

Для того чтобы определить, является ли число членом арифметической прогрессии, необходимо найти ее первый член и разность. Затем, используя формулу n-го члена, нужно проверить, будет ли номер искомого члена $n$ натуральным числом (т.е. целым и положительным).

Дана арифметическая прогрессия, у которой первые члены $a_1 = 20,7$ и $a_2 = 18,3$.

1. Найдем разность арифметической прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 18,3 - 20,7 = -2,4$.

2. Вспомним формулу n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим в эту формулу значения $a_1$ и $d$ для нашей прогрессии:

$a_n = 20,7 + (n-1)(-2,4)$.

Теперь мы можем проверить, являются ли предложенные числа членами этой прогрессии.

а) Проверим, является ли число $-1,3$ членом прогрессии.

Для этого предположим, что существует такой номер $n$, что $a_n = -1,3$. Подставим это значение в формулу и решим уравнение относительно $n$:

$-1,3 = 20,7 + (n-1)(-2,4)$

$(n-1)(-2,4) = -1,3 - 20,7$

$(n-1)(-2,4) = -22$

$n-1 = \frac{-22}{-2,4}$

$n-1 = \frac{220}{24} = \frac{110}{12} = \frac{55}{6}$

$n = \frac{55}{6} + 1 = \frac{55}{6} + \frac{6}{6} = \frac{61}{6} = 10\frac{1}{6}$

Порядковый номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом. Поскольку мы получили дробное число, $-1,3$ не является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: не является.

б) Проверим, является ли число $-3,3$ членом прогрессии.

Аналогично пункту а), предположим, что $a_n = -3,3$ для некоторого натурального $n$.

$-3,3 = 20,7 + (n-1)(-2,4)$

$(n-1)(-2,4) = -3,3 - 20,7$

$(n-1)(-2,4) = -24$

$n-1 = \frac{-24}{-2,4}$

$n-1 = 10$

$n = 10 + 1$

$n = 11$

Поскольку мы получили натуральное число $n = 11$, число $-3,3$ является 11-м членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: является.

587. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 9x^2 + 9y^2 = 13, \\ 3xy = 2; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $xy$: $xy = \frac{2}{3}$.

Преобразуем первое уравнение, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности. Для этого нам понадобится значение $18xy$. Умножим второе уравнение на 6:

$6 \cdot 3xy = 6 \cdot 2 \implies 18xy = 12$.

Теперь сложим $18xy$ с первым уравнением и вычтем $18xy$ из первого уравнения:

1) $9x^2 + 9y^2 + 18xy = 13 + 12$

$(3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (3y) + (3y)^2 = 25$

$(3x + 3y)^2 = 25$

Отсюда $3x + 3y = 5$ или $3x + 3y = -5$.

2) $9x^2 + 9y^2 - 18xy = 13 - 12$

$(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (3y) + (3y)^2 = 1$

$(3x - 3y)^2 = 1$

Отсюда $3x - 3y = 1$ или $3x - 3y = -1$.

Теперь решим четыре системы линейных уравнений:

1) $ \begin{cases} 3x + 3y = 5 \\ 3x - 3y = 1 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $6x = 6 \implies x = 1$. Подставив $x=1$ в первое уравнение: $3(1) + 3y = 5 \implies 3y = 2 \implies y = \frac{2}{3}$. Решение: $(1; \frac{2}{3})$.

2) $ \begin{cases} 3x + 3y = 5 \\ 3x - 3y = -1 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $6x = 4 \implies x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Подставив $x=\frac{2}{3}$ в первое уравнение: $3(\frac{2}{3}) + 3y = 5 \implies 2 + 3y = 5 \implies 3y = 3 \implies y = 1$. Решение: $(\frac{2}{3}; 1)$.

3) $ \begin{cases} 3x + 3y = -5 \\ 3x - 3y = 1 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $6x = -4 \implies x = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$. Подставив $x=-\frac{2}{3}$ в первое уравнение: $3(-\frac{2}{3}) + 3y = -5 \implies -2 + 3y = -5 \implies 3y = -3 \implies y = -1$. Решение: $(-\frac{2}{3}; -1)$.

4) $ \begin{cases} 3x + 3y = -5 \\ 3x - 3y = -1 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $6x = -6 \implies x = -1$. Подставив $x=-1$ в первое уравнение: $3(-1) + 3y = -5 \implies -3 + 3y = -5 \implies 3y = -2 \implies y = -\frac{2}{3}$. Решение: $(-1; -\frac{2}{3})$.

Ответ: $(1; \frac{2}{3}), (\frac{2}{3}; 1), (-\frac{2}{3}; -1), (-1; -\frac{2}{3})$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 29, \\ y^2 - 4x^2 = 9; \end{cases} $

Это система линейных уравнений относительно $x^2$ и $y^2$. Вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 + y^2) - (y^2 - 4x^2) = 29 - 9$

$x^2 + y^2 - y^2 + 4x^2 = 20$

$5x^2 = 20$

$x^2 = 4$

Отсюда $x = \pm 2$.

Подставим значение $x^2 = 4$ в первое уравнение системы:

$4 + y^2 = 29$

$y^2 = 25$

Отсюда $y = \pm 5$.

Комбинируя возможные значения $x$ и $y$, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(2; 5), (2; -5), (-2; 5), (-2; -5)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^2 + xy = 6, \\ 3x^2 + xy - x = 6; \end{cases} $

Поскольку правые части обоих уравнений равны 6, мы можем приравнять их левые части:

$2x^2 + xy = 3x^2 + xy - x$

Вычтем $xy$ из обеих частей:

$2x^2 = 3x^2 - x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$3x^2 - 2x^2 - x = 0$

$x^2 - x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x=0$ или $x=1$.

Проверим каждое значение:

1) Если $x=0$, подставим его в первое уравнение системы: $2(0)^2 + (0)y = 6 \implies 0 = 6$. Это неверное равенство, значит $x=0$ не является решением.

2) Если $x=1$, подставим его в первое уравнение системы: $2(1)^2 + (1)y = 6 \implies 2 + y = 6 \implies y = 4$.

Проверим пару $(1; 4)$ во втором уравнении: $3(1)^2 + (1)(4) - 1 = 3 + 4 - 1 = 6$. Равенство верное.

Таким образом, система имеет единственное решение.

Ответ: $(1; 4)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x^2 - 2y^2 = 25, \\ x^2 - y^2 + y = 5; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x^2$:

$x^2 = 5 + y^2 - y$

Подставим это выражение для $x^2$ в первое уравнение:

$3(5 + y^2 - y) - 2y^2 = 25$

$15 + 3y^2 - 3y - 2y^2 = 25$

Приведем подобные члены:

$y^2 - 3y + 15 - 25 = 0$

$y^2 - 3y - 10 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни легко находятся: $y_1 = 5$ и $y_2 = -2$ (т.к. $5 \cdot (-2) = -10$ и $5 + (-2) = 3$).

Теперь для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$:

1) Если $y = 5$:

$x^2 = 5 + (5)^2 - 5 = 5 + 25 - 5 = 25$

$x^2 = 25 \implies x = \pm 5$.

Получаем два решения: $(5; 5)$ и $(-5; 5)$.

2) Если $y = -2$:

$x^2 = 5 + (-2)^2 - (-2) = 5 + 4 + 2 = 11$

$x^2 = 11 \implies x = \pm \sqrt{11}$.

Получаем еще два решения: $(\sqrt{11}; -2)$ и $(-\sqrt{11}; -2)$.

Ответ: $(5; 5), (-5; 5), (\sqrt{11}; -2), (-\sqrt{11}; -2)$.

588. Покажите штриховкой множество точек, которое задаёт на координатной плоскости система неравенств

Чтобы найти множество точек, которое задает данная система неравенств, необходимо рассмотреть каждое неравенство отдельно, а затем найти пересечение (общую часть) полученных областей на координатной плоскости.

Анализ неравенства $y \ge x^2$

Сначала построим границу области — график функции $y = x^2$. Это стандартная парабола, вершина которой находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх. Неравенство является нестрогим ($ \ge $), поэтому точки, лежащие на самой параболе, являются частью решения. Чтобы определить, какая из областей (внутри или снаружи параболы) является решением, выберем контрольную точку, не лежащую на параболе, например, $(0, 1)$. Подставим ее координаты в неравенство: $1 \ge 0^2$, что является верным утверждением ($1 \ge 0$). Следовательно, решением этого неравенства является множество всех точек, лежащих на параболе $y = x^2$ и над ней (то есть, "внутри" параболы).

Анализ неравенства $2y + x \le 5$

Теперь рассмотрим второе неравенство. Его границей является прямая, заданная уравнением $2y + x = 5$. Для удобства построения выразим $y$ через $x$: $2y = 5 - x$ $y = -\frac{1}{2}x + 2.5$ Это уравнение прямой. Для ее построения найдем две точки. Если $x = 0$, то $y = 2.5$, получаем точку $(0, 2.5)$. Если $y=0$, то $x=5$, получаем точку $(5, 0)$. Проведем через эти две точки прямую. Неравенство также нестрогое ($ \le $), поэтому сама прямая включается в решение. Чтобы определить, какая из двух полуплоскостей, на которые прямая делит плоскость, является решением, возьмем контрольную точку $(0, 0)$. Подставим в неравенство: $2(0) + 0 \le 5$, что дает $0 \le 5$. Это верное утверждение, поэтому решением является полуплоскость, содержащая начало координат, то есть область под прямой $y = -\frac{1}{2}x + 2.5$.

Нахождение итогового множества точек

Решением системы неравенств является пересечение найденных областей. То есть, нам нужно найти все точки, которые одновременно удовлетворяют условию $y \ge x^2$ и условию $2y + x \le 5$. Геометрически это область, которая находится выше или на параболе и одновременно ниже или на прямой. Эта область представляет собой замкнутую фигуру, ограниченную снизу дугой параболы, а сверху — отрезком прямой. Для точного определения границ этой фигуры найдем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $2y + x = 5$. Для этого решим систему уравнений: $y = x^2$ $2y + x = 5$ Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе: $2(x^2) + x = 5$ $2x^2 + x - 5 = 0$ Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 1 + 40 = 41$ Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{4}$ Соответствующие значения $y$ равны $y=x^2$. Таким образом, парабола и прямая пересекаются в двух точках, которые и являются границами искомой заштрихованной области.

Ответ: Искомое множество точек — это замкнутая область на координатной плоскости, ограниченная снизу дугой параболы $y = x^2$ и сверху отрезком прямой $2y + x = 5$. Границы области (парабола и прямая) включаются в это множество. На графике эта область должна быть заштрихована.

1. Приведите пример последовательности, заданной:

а) формулой n-го члена;

б) рекуррентной формулой.

Найдите пять первых членов этой последовательности.

а) формулой n-го члена

Последовательность задана формулой n-го члена, если указана формула (или правило), по которой для любого натурального номера $n$ можно вычислить соответствующий член последовательности $a_n$, не зная при этом предыдущих членов.

В качестве примера рассмотрим последовательность, заданную формулой $a_n = 2n + 3$. Эта формула представляет собой арифметическую прогрессию. Она позволяет напрямую найти значение любого члена последовательности.

Найдем пять первых членов этой последовательности, последовательно подставляя вместо $n$ значения 1, 2, 3, 4 и 5:

При $n=1$: $a_1 = 2 \cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5$

При $n=2$: $a_2 = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$

При $n=3$: $a_3 = 2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9$

При $n=4$: $a_4 = 2 \cdot 4 + 3 = 8 + 3 = 11$

При $n=5$: $a_5 = 2 \cdot 5 + 3 = 10 + 3 = 13$

Таким образом, первые пять членов данной последовательности: 5, 7, 9, 11, 13.

Ответ: последовательность задана формулой $a_n = 2n + 3$; ее первые пять членов: 5, 7, 9, 11, 13.

б) рекуррентной формулой

Последовательность задана рекуррентной (от латинского recurrere — возвращаться) формулой, если для нее указан один или несколько первых членов, а также формула, которая позволяет найти любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие члены.

В качестве примера возьмем последовательность, где первый член $b_1 = 4$, а каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на 2. Это пример геометрической прогрессии. Рекуррентная формула для такой последовательности выглядит так: $b_1 = 4$ и $b_n = b_{n-1} \cdot 2$ для всех $n \ge 2$.

Найдем пять первых членов этой последовательности:

Первый член задан: $b_1 = 4$

Второй член находим через первый: $b_2 = b_1 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8$

Третий член находим через второй: $b_3 = b_2 \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16$

Четвертый член находим через третий: $b_4 = b_3 \cdot 2 = 16 \cdot 2 = 32$

Пятый член находим через четвертый: $b_5 = b_4 \cdot 2 = 32 \cdot 2 = 64$

Таким образом, первые пять членов данной последовательности: 4, 8, 16, 32, 64.

Ответ: последовательность задана рекуррентно: $b_1 = 4$, $b_n = b_{n-1} \cdot 2$; ее первые пять членов: 4, 8, 16, 32, 64.

2. Сформулируйте определение арифметической прогрессии. Какое число называют разностью арифметической прогрессии?

Сформулируйте определение арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это постоянное число называется разностью прогрессии.

Если обозначить члены последовательности как $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$, а разность — буквой $d$, то определение можно записать с помощью рекуррентной формулы:

$a_{n+1} = a_n + d$

Эта формула верна для любого натурального $n$. Чтобы однозначно задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член $a_1$ и разность $d$.

Пример: последовательность 2, 5, 8, 11, 14, ... является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 2$ и разностью $d = 3$.

Ответ: Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же постоянного числа.

Какое число называют разностью арифметической прогрессии?

Число, которое постоянно прибавляется к каждому члену арифметической прогрессии для получения следующего, называется разностью арифметической прогрессии. Обычно разность обозначают буквой $d$.

Разность прогрессии можно найти, если из любого её члена (начиная со второго) вычесть предыдущий:

$d = a_{n+1} - a_n$

В зависимости от значения разности $d$, арифметическая прогрессия бывает:

• Возрастающей, если $d > 0$. Пример: 1, 3, 5, 7, ... (здесь $d = 2$).
• Убывающей, если $d < 0$. Пример: 15, 10, 5, 0, ... (здесь $d = -5$).
• Стационарной (или постоянной), если $d = 0$. Пример: 6, 6, 6, 6, ... (здесь $d = 0$).

Ответ: Разностью арифметической прогрессии называют постоянное число $d$, на которое каждый следующий член этой прогрессии отличается от предыдущего.

3. Как выражается любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, через предыдущий и последующий члены?

Это свойство является одним из ключевых для арифметической прогрессии и называется её характеристическим свойством. Давайте выведем соответствующую формулу.

Пусть у нас есть арифметическая прогрессия $(a_n)$, где $a_n$ — это $n$-й член прогрессии. По определению, разность между любым последующим и предыдущим членом постоянна и равна разности прогрессии $d$.

Для любого члена $a_n$ (где $n \ge 2$) мы можем записать:
1. Связь с предыдущим членом $a_{n-1}$: $a_n = a_{n-1} + d$.
2. Связь со следующим членом $a_{n+1}$: $a_{n+1} = a_n + d$.

Выразим разность прогрессии $d$ из каждого уравнения:
Из первого уравнения получаем: $d = a_n - a_{n-1}$.
Из второго уравнения получаем: $d = a_{n+1} - a_n$.

Так как левые части этих равенств равны (это одна и та же разность $d$), мы можем приравнять их правые части: $a_n - a_{n-1} = a_{n+1} - a_n$

Теперь наша цель — выразить $a_n$. Для этого сгруппируем все члены, содержащие $a_n$, в одной части уравнения: $a_n + a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$
$2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$

Разделив обе части уравнения на 2, мы получим итоговую формулу: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Таким образом, любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим своего предыдущего и последующего членов.

Ответ: Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, выражается через предыдущий и последующий члены как их среднее арифметическое по формуле: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$.

4. Запишите формулы n-го члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Формула n-го члена

Арифметическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой каждый последующий член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным числом $d$. Это число $d$ называется разностью прогрессии. Для нахождения любого (n-го) члена прогрессии ($a_n$) используется формула, которая напрямую следует из этого определения.

Если $a_1$ — первый член, то второй член $a_2 = a_1 + d$, третий $a_3 = a_1 + 2d$, и так далее. Чтобы найти n-й член, необходимо к первому члену $a_1$ прибавить разность $d$ ровно $(n-1)$ раз. Это приводит к общей формуле:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Здесь $a_n$ — искомый n-й член, $a_1$ — первый член, $n$ — порядковый номер члена, а $d$ — разность прогрессии.

Ответ: $a_n = a_1 + (n-1)d$

Формула суммы первых n членов

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии ($S_n$) — это результат сложения всех её членов с первого по n-й. Для её вычисления существуют две основные, взаимозаменяемые формулы.

Первая формула удобна, когда известны первый ($a_1$) и последний ($a_n$) из суммируемых членов. Сумма в этом случае равна среднему арифметическому первого и последнего членов, умноженному на их количество $n$:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Вторая формула используется, когда известен первый член ($a_1$) и разность прогрессии ($d$), но неизвестен последний член $a_n$. Она выводится из первой путем подстановки в нее формулы n-го члена ($a_n = a_1 + (n-1)d$):

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

В этих формулах $S_n$ — искомая сумма, $a_1$ — первый член, $a_n$ — n-й член, $d$ — разность, а $n$ — количество членов.

Ответ: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ и $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$