Страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

558. Дана арифметическая прогрессия (aₙ), у которой a₁ = 32 и d = –1,5. Является ли членом этой прогрессии число: а) 0; б) –28?

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию, первый член прогрессии $a_1 = 32$, а разность $d = -1,5$.

Чтобы число было членом прогрессии, его номер $n$ должен быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

а)

Проверим, является ли число 0 членом данной прогрессии. Для этого предположим, что $a_n = 0$, и найдем соответствующий номер $n$.

Подставим известные значения в формулу:

$0 = 32 + (n-1) \cdot (-1,5)$

Перенесем слагаемое с $n$ в левую часть:

$1,5 \cdot (n-1) = 32$

Разделим обе части на 1,5:

$n-1 = \frac{32}{1,5}$

Представим 1,5 как обыкновенную дробь $\frac{3}{2}$:

$n-1 = \frac{32}{3/2} = 32 \cdot \frac{2}{3} = \frac{64}{3}$

Найдем $n$:

$n = \frac{64}{3} + 1 = \frac{64}{3} + \frac{3}{3} = \frac{67}{3} = 22\frac{1}{3}$

Поскольку $n$ не является натуральным числом, число 0 не является членом этой арифметической прогрессии.

Ответ: нет.

б)

Проверим, является ли число -28 членом данной прогрессии. Предположим, что $a_n = -28$, и найдем соответствующий номер $n$.

Подставим известные значения в формулу:

$-28 = 32 + (n-1) \cdot (-1,5)$

Перенесем 32 в левую часть:

$-28 - 32 = (n-1) \cdot (-1,5)$

$-60 = (n-1) \cdot (-1,5)$

Разделим обе части на -1,5:

$n-1 = \frac{-60}{-1,5} = \frac{60}{1,5}$

$n-1 = 40$

Найдем $n$:

$n = 40 + 1 = 41$

Поскольку $n = 41$ является натуральным числом, число -28 является 41-м членом этой арифметической прогрессии.

Ответ: да.

559. В арифметической прогрессии (xₙ) первый член равен 8,7, а разность равна –0,3. Для каких членов прогрессии выполняется условие:

а) xₙ ≥ 0;

б) xₙ ‹ 0?

Дана арифметическая прогрессия $(x_n)$, у которой первый член $x_1 = 8,7$, а разность $d = -0,3$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:

$x_n = x_1 + (n-1)d$

Подставим в эту формулу заданные значения $x_1$ и $d$:

$x_n = 8,7 + (n-1)(-0,3)$

Упростим выражение:

$x_n = 8,7 - 0,3n + 0,3$

$x_n = 9 - 0,3n$

Теперь, используя эту формулу, решим поставленные задачи.

а) $x_n \ge 0$

Нам нужно найти все номера членов прогрессии $n$, для которых выполняется условие $x_n \ge 0$. Составим и решим неравенство:

$9 - 0,3n \ge 0$

Перенесем $0,3n$ в правую часть:

$9 \ge 0,3n$

Разделим обе части неравенства на 0,3:

$n \le \frac{9}{0,3}$

$n \le 30$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ может быть только натуральным числом ($n \ge 1$), то условие выполняется для всех натуральных $n$ от 1 до 30 включительно.

Ответ: для $n \le 30$.

б) $x_n < 0$

Теперь найдем все номера членов прогрессии $n$, для которых выполняется условие $x_n < 0$. Составим и решим неравенство:

$9 - 0,3n < 0$

Перенесем $0,3n$ в правую часть:

$9 < 0,3n$

Разделим обе части неравенства на 0,3:

$n > \frac{9}{0,3}$

$n > 30$

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, то это условие выполняется для всех натуральных $n$, которые строго больше 30, то есть начиная с $n=31$.

Ответ: для $n > 30$.

560. Найдите номера отрицательных членов арифметической прогрессии –20,3; –18,7; … . Чему равен первый положительный член этой прогрессии?

Найдите номера отрицательных членов арифметической прогрессии –20,3; –18,7; …
Дана арифметическая прогрессия, обозначим ее члены как $a_n$. Из условия задачи имеем первые два члена прогрессии: Первый член $a_1 = -20.3$. Второй член $a_2 = -18.7$. Найдем разность арифметической прогрессии $d$, вычтя из второго члена первый: $d = a_2 - a_1 = -18.7 - (-20.3) = -18.7 + 20.3 = 1.6$. Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставив наши значения, получим: $a_n = -20.3 + (n-1) \cdot 1.6$. Чтобы найти номера отрицательных членов, нужно решить неравенство $a_n < 0$ относительно $n$, где $n$ — натуральное число. $-20.3 + (n-1) \cdot 1.6 < 0$ Перенесем $-20.3$ в правую часть неравенства: $1.6(n-1) < 20.3$ Разделим обе части на $1.6$: $n-1 < \frac{20.3}{1.6}$ $n-1 < \frac{203}{16}$ $n-1 < 12.6875$ Перенесем $-1$ в правую часть: $n < 12.6875 + 1$ $n < 13.6875$ Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, условию $n < 13.6875$ удовлетворяют целые числа от 1 до 13.
Ответ: номера отрицательных членов прогрессии: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

Чему равен первый положительный член этой прогрессии?
Из решения предыдущей части мы выяснили, что члены прогрессии являются отрицательными при $n < 13.6875$. Это означает, что член с номером 13 ($a_{13}$) — последний отрицательный член, а член с номером 14 ($a_{14}$) — первый, который не является отрицательным. Найдем значение члена прогрессии с номером $n=14$: $a_{14} = a_1 + (14-1)d$ $a_{14} = -20.3 + 13 \cdot 1.6$ Вычислим произведение: $13 \cdot 1.6 = 20.8$ Теперь подставим это значение в формулу: $a_{14} = -20.3 + 20.8 = 0.5$ Так как $a_{14} = 0.5$, что больше нуля, это и есть первый положительный член данной арифметической прогрессии.
Ответ: 0,5.

561. Докажите, что если числа a, b, c являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа a² + ab + b², a² + ac + c² и b² + bc + c² также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

По условию задачи числа $a$, $b$ и $c$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. Основное свойство трех последовательных членов арифметической прогрессии заключается в том, что средний член равен среднему арифметическому двух крайних. Для чисел $a$, $b$ и $c$ это свойство записывается в виде формулы:

$b = \frac{a+c}{2}$

Умножив обе части на 2, получим эквивалентное равенство, которое будет удобно использовать в дальнейшем:

$2b = a+c$

Теперь нам нужно доказать, что числа $x_1 = a^2 + ab + b^2$, $x_2 = a^2 + ac + c^2$ и $x_3 = b^2 + bc + c^2$ также образуют арифметическую прогрессию. Для этого достаточно доказать, что для этих трех чисел выполняется то же свойство, а именно, что второй член равен среднему арифметическому первого и третьего:

$x_2 = \frac{x_1 + x_3}{2}$

Или, в более удобной форме:

$2x_2 = x_1 + x_3$

Подставим в это равенство выражения для $x_1$, $x_2$ и $x_3$ и выполним преобразования.

Вычислим левую часть равенства:

$2x_2 = 2(a^2 + ac + c^2) = 2a^2 + 2ac + 2c^2$

Вычислим правую часть равенства:

$x_1 + x_3 = (a^2 + ab + b^2) + (b^2 + bc + c^2)$

$x_1 + x_3 = a^2 + ab + 2b^2 + bc + c^2$

Сгруппируем слагаемые:

$x_1 + x_3 = a^2 + c^2 + ab + bc + 2b^2 = a^2 + c^2 + b(a+c) + 2b^2$

Теперь приравняем левую и правую части и посмотрим, сведется ли равенство к тождеству, используя условие $2b = a+c$.

$2a^2 + 2ac + 2c^2 = a^2 + c^2 + b(a+c) + 2b^2$

Перенесем некоторые слагаемые из правой части в левую:

$(2a^2 - a^2) + 2ac + (2c^2 - c^2) = b(a+c) + 2b^2$

$a^2 + 2ac + c^2 = b(a+c) + 2b^2$

В левой части мы видим формулу квадрата суммы $(a+c)^2$:

$(a+c)^2 = b(a+c) + 2b^2$

Теперь используем исходное условие $a+c = 2b$, подставляя его в обе части нашего равенства:

$(2b)^2 = b(2b) + 2b^2$

$4b^2 = 2b^2 + 2b^2$

$4b^2 = 4b^2$

Мы получили верное тождество. Это означает, что равенство $2x_2 = x_1 + x_3$ истинно, если числа $a, b, c$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. Следовательно, числа $a^2 + ab + b^2$, $a^2 + ac + c^2$ и $b^2 + bc + c^2$ также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Ответ: Утверждение доказано.

562. Известно, что числа a², b², c² — последовательные члены арифметической прогрессии. Докажите, что числа $\frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b}$ также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Поскольку по условию числа $a^2$, $b^2$, $c^2$ являются последовательными членами арифметической прогрессии, то для них выполняется характеристическое свойство арифметической прогрессии: разность между последующим и предыдущим членами постоянна. Запишем это в виде равенства:

$b^2 - a^2 = c^2 - b^2$

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(b-a)(b+a) = (c-b)(c+b)$

Это основное соотношение, которое следует из условия задачи.

Теперь нам нужно доказать, что числа $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$, $\frac{1}{a+b}$ также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. Для этого достаточно показать, что для них выполняется аналогичное свойство, то есть:

$\frac{1}{a+c} - \frac{1}{b+c} = \frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+c}$

Преобразуем левую часть этого равенства, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{a+c} - \frac{1}{b+c} = \frac{(b+c) - (a+c)}{(a+c)(b+c)} = \frac{b-a}{(a+c)(b+c)}$

Теперь преобразуем правую часть равенства:

$\frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+c} = \frac{(a+c) - (a+b)}{(a+b)(a+c)} = \frac{c-b}{(a+b)(a+c)}$

Таким образом, равенство, которое нам нужно доказать, принимает вид:

$\frac{b-a}{(a+c)(b+c)} = \frac{c-b}{(a+b)(a+c)}$

Предполагая, что знаменатели не равны нулю (что необходимо для существования самих чисел последовательности), мы можем выполнить преобразования. Умножим обе части на $(a+c)(b+c)(a+b)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$(b-a)(a+b) = (c-b)(b+c)$

Снова применим формулу разности квадратов, но в обратном порядке:

$b^2 - a^2 = c^2 - b^2$

Мы получили исходное равенство, которое является верным по условию задачи. Поскольку все наши преобразования были эквивалентными, то и равенство, доказывающее, что числа $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$, $\frac{1}{a+b}$ образуют арифметическую прогрессию, также является верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Преобразование условия того, что числа $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$, $\frac{1}{a+b}$ являются членами арифметической прогрессии, приводит к равенству $b^2 - a^2 = c^2 - b^2$, которое является истинным по условию задачи.

563. Является ли арифметической прогрессией последовательность (aₙ), заданная формулой:

Последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией, если разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом постоянна. То есть, если существует такое число $d$, что для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{n+1} - a_n = d$. Число $d$ называют разностью арифметической прогрессии.

Проверим каждую из заданных последовательностей на соответствие этому определению.

а) $a_n = 3n + 1$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = 3(n+1) + 1 = 3n + 3 + 1 = 3n + 4$.

Теперь найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$: $d = (3n + 4) - (3n + 1) = 3n + 4 - 3n - 1 = 3$.

Разность $d=3$ является постоянной величиной (не зависит от $n$). Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: да, является.

б) $a_n = n^2 - 5$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = (n+1)^2 - 5 = (n^2 + 2n + 1) - 5 = n^2 + 2n - 4$.

Найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$: $d = (n^2 + 2n - 4) - (n^2 - 5) = n^2 + 2n - 4 - n^2 + 5 = 2n + 1$.

Разность $d = 2n + 1$ зависит от $n$, следовательно, она не является постоянной. Для проверки можно вычислить первые несколько членов: $a_1 = 1^2 - 5 = -4$, $a_2 = 2^2 - 5 = -1$, $a_3 = 3^2 - 5 = 4$. Разности соседних членов: $a_2 - a_1 = -1 - (-4) = 3$, $a_3 - a_2 = 4 - (-1) = 5$. Так как $3 \neq 5$, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: нет, не является.

в) $a_n = n + 4$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = (n+1) + 4 = n + 5$.

Найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$: $d = (n + 5) - (n + 4) = n + 5 - n - 4 = 1$.

Разность $d=1$ является постоянной величиной. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: да, является.

г) $a_n = \frac{1}{n+4}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)+4} = \frac{1}{n+5}$.

Найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$: $d = \frac{1}{n+5} - \frac{1}{n+4} = \frac{n+4 - (n+5)}{(n+5)(n+4)} = \frac{-1}{(n+5)(n+4)}$.

Разность $d = \frac{-1}{(n+5)(n+4)}$ зависит от $n$, следовательно, она не является постоянной. Например, $a_1 = \frac{1}{5}$, $a_2 = \frac{1}{6}$. Разность $a_2 - a_1 = \frac{1}{6} - \frac{1}{5} = -\frac{1}{30}$. А $a_3 = \frac{1}{7}$, разность $a_3 - a_2 = \frac{1}{7} - \frac{1}{6} = -\frac{1}{42}$. Так как $-\frac{1}{30} \neq -\frac{1}{42}$, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: нет, не является.

д) $a_n = -0,5n + 1$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = -0,5(n+1) + 1 = -0,5n - 0,5 + 1 = -0,5n + 0,5$.

Найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$: $d = (-0,5n + 0,5) - (-0,5n + 1) = -0,5n + 0,5 + 0,5n - 1 = -0,5$.

Разность $d=-0,5$ является постоянной величиной. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: да, является.

е) $a_n = 6n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = 6(n+1) = 6n + 6$.

Найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$: $d = (6n + 6) - 6n = 6$.

Разность $d=6$ является постоянной величиной. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: да, является.

564. Докажите, что последовательность сумм внутренних углов треугольника, выпуклого четырёхугольника, выпуклого пятиугольника и т. д. является арифметической прогрессией. Чему равна её разность?

Докажите, что последовательность сумм внутренних углов треугольника, выпуклого четырёхугольника, выпуклого пятиугольника и т. д. является арифметической прогрессией.

Сумма внутренних углов выпуклого $n$-угольника (многоугольника с $n$ сторонами) вычисляется по формуле $S_n = 180^\circ \cdot (n-2)$, где $n$ — количество сторон, и $n \ge 3$.

Рассматриваемая последовательность образована значениями $S_n$ для $n = 3, 4, 5, \dots$. Обозначим член последовательности, соответствующий многоугольнику с $n$ сторонами, как $a_n$. Таким образом, общий член последовательности имеет вид:

$a_n = S_n = 180^\circ \cdot (n-2)$.

Согласно определению, последовательность является арифметической прогрессией, если разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом является постоянной величиной (константой). Найдём эту разность $d$.

Возьмём два соседних члена последовательности: $a_n$ (для $n$-угольника) и $a_{n+1}$ (для $(n+1)$-угольника).

Сумма углов $(n+1)$-угольника: $a_{n+1} = 180^\circ \cdot ((n+1) - 2) = 180^\circ \cdot (n-1)$.

Сумма углов $n$-угольника: $a_n = 180^\circ \cdot (n-2)$.

Вычислим разность $d = a_{n+1} - a_n$:

$d = 180^\circ \cdot (n-1) - 180^\circ \cdot (n-2)$

$d = 180^\circ \cdot [(n-1) - (n-2)]$

$d = 180^\circ \cdot (n - 1 - n + 2)$

$d = 180^\circ \cdot 1 = 180^\circ$

Поскольку разность $d$ между любыми двумя последовательными членами постоянна и равна $180^\circ$, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Доказано.

Чему равна её разность?

Разностью арифметической прогрессии называется постоянное число, на которое каждый следующий член последовательности отличается от предыдущего. Как было вычислено в ходе доказательства выше, эта разность $d$ равна $180^\circ$.

Ответ: Разность прогрессии равна $180^\circ$.

565. Решите систему уравнений

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + y = 2, \\ x^2 - y^2 = -12. \end{cases} $

Для решения этой системы уравнений воспользуемся методом подстановки. Из первого, более простого (линейного) уравнения выразим переменную y через x.

$3x + y = 2 \implies y = 2 - 3x$

Теперь подставим полученное выражение для y во второе уравнение системы:

$x^2 - (2 - 3x)^2 = -12$

Раскроем скобки, применив формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - (2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3x + (3x)^2) = -12$

$x^2 - (4 - 12x + 9x^2) = -12$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4 + 12x - 9x^2 = -12$

$-8x^2 + 12x - 4 = -12$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$-8x^2 + 12x - 4 + 12 = 0$

$-8x^2 + 12x + 8 = 0$

Для упрощения дальнейших вычислений разделим обе части уравнения на -4:

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Мы нашли два значения для переменной x. Теперь для каждого из них найдем соответствующее значение y, подставив их в выражение $y = 2 - 3x$.

1. При $x_1 = 2$:

$y_1 = 2 - 3 \cdot 2 = 2 - 6 = -4$

Первая пара решений: $(2; -4)$.

2. При $x_2 = -\frac{1}{2}$:

$y_2 = 2 - 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$

Вторая пара решений: $(-\frac{1}{2}; \frac{7}{2})$.

Проведем проверку, подставив найденные пары чисел в исходную систему уравнений.
Для пары $(2; -4)$:
$3(2) + (-4) = 6 - 4 = 2$
$(2)^2 - (-4)^2 = 4 - 16 = -12$
Оба равенства верны, решение корректно.

Для пары $(-\frac{1}{2}; \frac{7}{2})$:
$3(-\frac{1}{2}) + \frac{7}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{7}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$(-\frac{1}{2})^2 - (\frac{7}{2})^2 = \frac{1}{4} - \frac{49}{4} = -\frac{48}{4} = -12$
Оба равенства верны, решение корректно.

Ответ: $(2; -4)$, $(-\frac{1}{2}; \frac{7}{2})$.

566. Решите уравнение:

а) x³ + 4x² – 32x = 0;

б) x³ – 10x² + 4x – 40 = 0.

а) $x^3 + 4x^2 - 32x = 0$

Для решения данного кубического уравнения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 + 4x - 32) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит нас к двум уравнениям:

1) $x_1 = 0$

2) $x^2 + 4x - 32 = 0$

Решим второе уравнение, которое является квадратным. Для этого найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_2 = \frac{-4 - 12}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8$

$x_3 = \frac{-4 + 12}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня: -8, 0 и 4.

Ответ: $-8; 0; 4$.

б) $x^3 - 10x^2 + 4x - 40 = 0$

Для решения этого уравнения применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(x^3 - 10x^2) + (4x - 40) = 0$

Из первой группы вынесем общий множитель $x^2$, а из второй — $4$:

$x^2(x - 10) + 4(x - 10) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(x - 10)$, который можно вынести за скобки:

$(x - 10)(x^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $x - 10 = 0 \implies x_1 = 10$

2) $x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4$

Второе уравнение $x^2 = -4$ не имеет решений в множестве действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, у исходного уравнения есть только один действительный корень.

Ответ: $10$.

567. Решите неравенство:

а) (2x – 1)(x + 8) › 0;

б) (33 – x)(16 + 2x) ≤ 0.

а) $(2x - 1)(x + 8) > 0$

Для решения этого квадратного неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения, приравняв левую часть к нулю:

$(2x - 1)(x + 8) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_1 = \frac{1}{2}$

2) $x + 8 = 0 \implies x_2 = -8$

Теперь отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут "выколотыми", то есть не будут входить в решение. Точки $-8$ и $\frac{1}{2}$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}; +\infty)$.

Определим знак выражения $(2x - 1)(x + 8)$ на каждом из интервалов, выбрав пробную точку из каждого интервала:

• При $x \in (-\infty; -8)$, например $x = -10$: $(2(-10) - 1)(-10 + 8) = (-21)(-2) = 42 > 0$. Знак "+".
• При $x \in (-8; \frac{1}{2})$, например $x = 0$: $(2(0) - 1)(0 + 8) = (-1)(8) = -8 < 0$. Знак "-".
• При $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$, например $x = 1$: $(2(1) - 1)(1 + 8) = (1)(9) = 9 > 0$. Знак "+".

Поскольку мы решаем неравенство $(2x - 1)(x + 8) > 0$, нас интересуют интервалы, где выражение положительно. Это интервалы $(-\infty; -8)$ и $(\frac{1}{2}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

б) $(33 - x)(16 + 2x) \le 0$

Решим это неравенство также методом интервалов. Найдем корни, приравняв левую часть к нулю:

$(33 - x)(16 + 2x) = 0$

1) $33 - x = 0 \implies x_1 = 33$

2) $16 + 2x = 0 \implies 2x = -16 \implies x_2 = -8$

Отметим точки $-8$ и $33$ на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки будут "закрашенными", то есть они включаются в решение. Эти точки разбивают прямую на интервалы.

Чтобы не запутаться со знаками, преобразуем неравенство так, чтобы коэффициенты при $x$ в каждом множителе были положительными. Вынесем $-1$ из первой скобки и $2$ из второй:

$-(x - 33) \cdot 2(x + 8) \le 0$

$-2(x - 33)(x + 8) \le 0$

Разделим обе части на $-2$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$(x - 33)(x + 8) \ge 0$

Теперь определим знаки выражения $(x - 33)(x + 8)$ на интервалах, образованных корнями $-8$ и $33$.

• При $x \in (-\infty; -8)$, например $x = -10$: $(-10 - 33)(-10 + 8) = (-43)(-2) = 86 > 0$. Знак "+".
• При $x \in (-8; 33)$, например $x = 0$: $(0 - 33)(0 + 8) = (-33)(8) = -264 < 0$. Знак "-".
• При $x \in (33; +\infty)$, например $x = 40$: $(40 - 33)(40 + 8) = (7)(48) = 336 > 0$. Знак "+".

Мы ищем решения неравенства $(x - 33)(x + 8) \ge 0$, то есть интервалы, где выражение положительно или равно нулю. Это интервалы $(-\infty; -8]$ и $[33; +\infty]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -8] \cup [33; +\infty]$.

568. Найдите значение выражения:

а) $125^{-1} \cdot 25^2$

Чтобы найти значение выражения, приведем все его части к общему основанию. В данном случае это 5, так как $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$125^{-1} \cdot 25^2 = (5^3)^{-1} \cdot (5^2)^2$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(5^3)^{-1} = 5^{3 \cdot (-1)} = 5^{-3}$

$(5^2)^2 = 5^{2 \cdot 2} = 5^4$

Теперь наше выражение выглядит так:

$5^{-3} \cdot 5^4$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{-3+4} = 5^1 = 5$

Ответ: 5

б) $0,0001 \cdot (10^3)^2 \cdot (0,1)^{-2}$

Приведем все множители к основанию 10. Мы знаем, что $0,0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$ и $0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$.

Подставим эти значения в выражение:

$10^{-4} \cdot (10^3)^2 \cdot (10^{-1})^{-2}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(10^3)^2 = 10^{3 \cdot 2} = 10^6$

$(10^{-1})^{-2} = 10^{(-1) \cdot (-2)} = 10^2$

Теперь выражение выглядит следующим образом:

$10^{-4} \cdot 10^6 \cdot 10^2$

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$10^{-4+6+2} = 10^4 = 10000$

Ответ: 10000

в) $\frac{16^{-3} \cdot 4^5}{8}$

Приведем все числа в выражении к основанию 2. Нам известно, что $16 = 2^4$, $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.

Подставим эти значения в дробь:

$\frac{(2^4)^{-3} \cdot (2^2)^5}{2^3}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для числителя:

$\frac{2^{4 \cdot (-3)} \cdot 2^{2 \cdot 5}}{2^3} = \frac{2^{-12} \cdot 2^{10}}{2^3}$

Теперь в числителе используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{2^{-12+10}}{2^3} = \frac{2^{-2}}{2^3}$

Для деления степеней с одинаковым основанием используется свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{-2-3} = 2^{-5}$

Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$

Ответ: $\frac{1}{32}$

г) $9^4 \cdot (\frac{1}{27})^{-3} \cdot 81^{-4}$

Для упрощения этого выражения приведем все основания к числу 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$, $27 = 3^3$ и $81 = 3^4$.

Представим $\frac{1}{27}$ как степень числа 3: $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.

Теперь подставим все значения в исходное выражение:

$(3^2)^4 \cdot (3^{-3})^{-3} \cdot (3^4)^{-4}$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$3^{2 \cdot 4} \cdot 3^{(-3) \cdot (-3)} \cdot 3^{4 \cdot (-4)} = 3^8 \cdot 3^9 \cdot 3^{-16}$

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}$:

$3^{8+9-16} = 3^{17-16} = 3^1 = 3$

Ответ: 3