Страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

539. Представьте выражение в виде степени с основанием 3 и найдите его значение:

а)

Сначала представим число 81 как степень с основанием 3. Мы знаем, что $81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$81 \cdot 3^{-6} = 3^4 \cdot 3^{-6}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$3^4 \cdot 3^{-6} = 3^{4 + (-6)} = 3^{4-6} = 3^{-2}$

Мы представили выражение в виде степени с основанием 3. Теперь найдем его значение. Степень с отрицательным показателем равна единице, деленной на ту же степень с положительным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$):

$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Ответ: $3^{-2} = \frac{1}{9}$

б)

Рассмотрим числитель и знаменатель дроби по отдельности и представим их как степени с основанием 3.

Числитель: $(-3^{-3})^3$. Так как внешняя степень нечетная (3), знак минус сохраняется. При возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):

$(-3^{-3})^3 = -(3^{-3 \cdot 3}) = -3^{-9}$

Знаменатель: $-9^{-2}$. Сначала представим 9 как $3^2$:

$-9^{-2} = -(3^2)^{-2} = -3^{2 \cdot (-2)} = -3^{-4}$

Теперь подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{(-3^{-3})^3}{-9^{-2}} = \frac{-3^{-9}}{-3^{-4}}$

Минусы в числителе и знаменателе сокращаются. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$\frac{3^{-9}}{3^{-4}} = 3^{-9 - (-4)} = 3^{-9+4} = 3^{-5}$

Мы представили выражение в виде степени с основанием 3. Теперь найдем его значение:

$3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$

Ответ: $3^{-5} = \frac{1}{243}$

в)

Представим все множители как степени с основанием 3.

Первый множитель: $9^{-5} = (3^2)^{-5} = 3^{2 \cdot (-5)} = 3^{-10}$.

Второй множитель: $(\frac{1}{9})^{-3}$. Так как $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$, то:

$(\frac{1}{9})^{-3} = (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2) \cdot (-3)} = 3^6$

Теперь перемножим полученные степени:

$9^{-5} \cdot (\frac{1}{9})^{-3} = 3^{-10} \cdot 3^6 = 3^{-10+6} = 3^{-4}$

Мы представили выражение в виде степени с основанием 3. Теперь найдем его значение:

$3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$

Ответ: $3^{-4} = \frac{1}{81}$

г)

Представим все множители как степени с основанием 3.

Первый множитель: $(-3^{-3})^2$. Так как внешняя степень четная (2), знак минус исчезает:

$(-3^{-3})^2 = (3^{-3})^2 = 3^{-3 \cdot 2} = 3^{-6}$

Второй множитель: $27^3$. Так как $27 = 3^3$, то:

$27^3 = (3^3)^3 = 3^{3 \cdot 3} = 3^9$

Теперь перемножим полученные степени:

$(-3^{-3})^2 \cdot 27^3 = 3^{-6} \cdot 3^9 = 3^{-6+9} = 3^3$

Мы представили выражение в виде степени с основанием 3. Теперь найдем его значение:

$3^3 = 27$

Ответ: $3^3 = 27$