Страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

525. Выпишите первые несколько членов последовательности натуральных чисел, кратных 3, взятых в порядке возрастания. Укажите первый, пятый, десятый, сотый и n-й члены этой последовательности.

Последовательность натуральных чисел, кратных 3, — это числа, которые делятся на 3 без остатка (3, 6, 9, 12, и так далее). Если взять их в порядке возрастания, то первые несколько членов последовательности будут:

3, 6, 9, 12, 15, ...

Можно заметить, что каждый член этой последовательности получается умножением его порядкового номера $n$ на 3. Таким образом, формула для n-го члена последовательности ($a_n$) имеет вид:

$a_n = 3n$

Используя эту формулу, найдем указанные члены последовательности.

первый член

Для нахождения первого члена подставляем в формулу $n=1$:

$a_1 = 3 \cdot 1 = 3$

Ответ: 3

пятый член

Для нахождения пятого члена подставляем в формулу $n=5$:

$a_5 = 3 \cdot 5 = 15$

Ответ: 15

десятый член

Для нахождения десятого члена подставляем в формулу $n=10$:

$a_{10} = 3 \cdot 10 = 30$

Ответ: 30

сотый член

Для нахождения сотого члена подставляем в формулу $n=100$:

$a_{100} = 3 \cdot 100 = 300$

Ответ: 300

n-й член

Формула для n-го члена была определена ранее. Она позволяет найти любой член последовательности по его номеру $n$.

$a_n = 3n$

Ответ: $3n$

526. Известно, что (cₙ) — последовательность, все члены которой с нечётными номерами равны –1, а с чётными равны 0. Выпишите первые восемь членов этой последовательности. Найдите c₁₀, c₂₅, c₂₀₀, c₂₅₃, c₂ₖ, c₂ₖ ₊ ₁ (k — произвольное натуральное число).

По условию, последовательность $(c_n)$ определяется следующим правилом:
- если номер члена $n$ нечётный, то $c_n = -1$;
- если номер члена $n$ чётный, то $c_n = 0$.

Выпишите первые восемь членов этой последовательности.

Для нахождения первых восьми членов последовательности определим чётность их номеров $n$ от 1 до 8:
$c_1 = -1$, так как 1 — нечётное число.
$c_2 = 0$, так как 2 — чётное число.
$c_3 = -1$, так как 3 — нечётное число.
$c_4 = 0$, так как 4 — чётное число.
$c_5 = -1$, так как 5 — нечётное число.
$c_6 = 0$, так как 6 — чётное число.
$c_7 = -1$, так как 7 — нечётное число.
$c_8 = 0$, так как 8 — чётное число.

Ответ: -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0.

Найдите $c_{10}$, $c_{25}$, $c_{200}$, $c_{253}$, $c_{2k}$, $c_{2k+1}$ ($k$ — произвольное натуральное число).

$c_{10}$: Номер $n=10$ является чётным, следовательно, по определению последовательности $c_{10} = 0$.
Ответ: $c_{10} = 0$.

$c_{25}$: Номер $n=25$ является нечётным, следовательно, $c_{25} = -1$.
Ответ: $c_{25} = -1$.

$c_{200}$: Номер $n=200$ является чётным, следовательно, $c_{200} = 0$.
Ответ: $c_{200} = 0$.

$c_{253}$: Номер $n=253$ является нечётным, следовательно, $c_{253} = -1$.
Ответ: $c_{253} = -1$.

$c_{2k}$: Для любого натурального числа $k$ выражение $2k$ задаёт чётное число. Следовательно, номер $n=2k$ всегда чётный. Таким образом, $c_{2k} = 0$.
Ответ: $c_{2k} = 0$.

$c_{2k+1}$: Для любого натурального числа $k$ выражение $2k$ является чётным. Тогда выражение $2k+1$ задаёт число, следующее за чётным, то есть нечётное число. Следовательно, номер $n=2k+1$ всегда нечётный. Таким образом, $c_{2k+1} = -1$.
Ответ: $c_{2k+1} = -1$.