Страница 158 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

550. Найдите первый член арифметической прогрессии (xₙ), если известно, что:

Для нахождения первого члена арифметической прогрессии ($x_1$) воспользуемся формулой n-го члена: $x_n = x_1 + (n-1)d$. Из этой формулы выразим $x_1$: $x_1 = x_n - (n-1)d$.

а) Дано: $x_{30} = 128$, $d = 4$.
Подставляем значения в формулу:
$x_1 = x_{30} - (30-1)d = 128 - (29) \cdot 4 = 128 - 116 = 12$.
Ответ: 12.

б) Дано: $x_{45} = -208$, $d = -7$.
Подставляем значения в формулу:
$x_1 = x_{45} - (45-1)d = -208 - (44) \cdot (-7) = -208 - (-308) = -208 + 308 = 100$.
Ответ: 100.

в) Дано: $x_{11} = 36$, $d = -8$.
Подставляем значения в формулу:
$x_1 = x_{11} - (11-1)d = 36 - (10) \cdot (-8) = 36 - (-80) = 36 + 80 = 116$.
Ответ: 116.

г) Дано: $x_{17} = 1$, $d = -3$.
Подставляем значения в формулу:
$x_1 = x_{17} - (17-1)d = 1 - (16) \cdot (-3) = 1 - (-48) = 1 + 48 = 49$.
Ответ: 49.

551. Найдите разность арифметической прогрессии (yₙ), в которой:

Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ используется формула n-го члена: $y_n = y_1 + (n-1)d$. Если известны два члена прогрессии $y_m$ и $y_n$, то разность $d$ можно найти по формуле:

$d = \frac{y_n - y_m}{n-m}$

Применим эту формулу для решения каждого пункта.

а) Дано: $y_1 = 10$, $y_5 = 22$.

Здесь $m=1$ и $n=5$. Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{y_5 - y_1}{5 - 1} = \frac{22 - 10}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Ответ: $3$.

б) Дано: $y_1 = 28$, $y_{15} = -21$.

Здесь $m=1$ и $n=15$. Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{y_{15} - y_1}{15 - 1} = \frac{-21 - 28}{14} = \frac{-49}{14} = -\frac{7}{2} = -3.5$.

Ответ: $-3.5$.

в) Дано: $y_1 = 16$, $y_8 = -1$.

Здесь $m=1$ и $n=8$. Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{y_8 - y_1}{8 - 1} = \frac{-1 - 16}{7} = -\frac{17}{7}$.

Ответ: $-\frac{17}{7}$.

г) Дано: $y_1 = -22$, $y_{16} = -4$.

Здесь $m=1$ и $n=16$. Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{y_{16} - y_1}{16 - 1} = \frac{-4 - (-22)}{15} = \frac{-4 + 22}{15} = \frac{18}{15} = \frac{6}{5} = 1.2$.

Ответ: $1.2$.

552. Последовательность (cₙ) — арифметическая прогрессия. Найдите:

а)

Чтобы найти первый член арифметической прогрессии $c_1$, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $c_n = c_1 + (n-1)d$.

В данном случае нам известны следующие значения:

• n-й член прогрессии $c_{36} = 26$
• номер члена $n = 36$
• разность прогрессии $d = 0,7$

Подставим эти значения в формулу:
$c_{36} = c_1 + (36-1) \times d$
$26 = c_1 + (35) \times 0,7$

Сначала вычислим произведение:
$35 \times 0,7 = 24,5$

Теперь подставим результат обратно в уравнение:
$26 = c_1 + 24,5$

Чтобы найти $c_1$, вычтем 24,5 из 26:
$c_1 = 26 - 24,5$
$c_1 = 1,5$

Ответ: $c_1 = 1,5$.

б)

Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ снова используем формулу n-го члена: $c_n = c_1 + (n-1)d$.

Из условия нам известны:

• первый член прогрессии $c_1 = -10$
• пятнадцатый член прогрессии $c_{15} = 1,2$
• номер члена $n = 15$

Подставляем известные данные в формулу:
$c_{15} = c_1 + (15-1) \times d$
$1,2 = -10 + (14) \times d$

Теперь решим полученное уравнение относительно $d$. Перенесем -10 в левую часть уравнения, поменяв знак:
$1,2 + 10 = 14d$
$11,2 = 14d$

Чтобы найти $d$, разделим обе части уравнения на 14:
$d = \frac{11,2}{14}$
$d = 0,8$

Ответ: $d = 0,8$.

553. Между числами 5 и 1 вставьте семь таких чисел, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию.

По условию задачи, нам нужно вставить семь чисел между числами 5 и 1 так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. Это означает, что число 5 будет первым членом прогрессии ($a_1$), а число 1 — последним. Общее количество членов в такой прогрессии будет равно $2$ (данные числа) $+ 7$ (вставляемые числа) $= 9$. Таким образом, мы имеем арифметическую прогрессию, в которой $a_1 = 5$ и $a_9 = 1$.

Чтобы найти вставляемые числа, нам необходимо сначала определить разность прогрессии $d$. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные нам значения $n=9$, $a_1=5$ и $a_9=1$ в формулу:

$1 = 5 + (9-1)d$

$1 = 5 + 8d$

Решим полученное уравнение для $d$:

$8d = 1 - 5$

$8d = -4$

$d = -4/8 = -0{,}5$

Теперь, зная разность прогрессии $d = -0{,}5$, мы можем последовательно найти все семь чисел, которые нужно вставить. Это будут члены прогрессии с $a_2$ по $a_8$:

$a_2 = a_1 + d = 5 + (-0{,}5) = 4{,}5$

$a_3 = a_2 + d = 4{,}5 + (-0{,}5) = 4$

$a_4 = a_3 + d = 4 + (-0{,}5) = 3{,}5$

$a_5 = a_4 + d = 3{,}5 + (-0{,}5) = 3$

$a_6 = a_5 + d = 3 + (-0{,}5) = 2{,}5$

$a_7 = a_6 + d = 2{,}5 + (-0{,}5) = 2$

$a_8 = a_7 + d = 2 + (-0{,}5) = 1{,}5$

В результате мы получили семь чисел, которые вместе с числами 5 и 1 образуют арифметическую прогрессию: 5; 4,5; 4; 3,5; 3; 2,5; 2; 1,5; 1.

Ответ: 4,5; 4; 3,5; 3; 2,5; 2; 1,5.

554. (Задача-исследование.) Могут ли числа 20 и 35 быть членами арифметической прогрессии, первый член которой равен 12 и разность не равна 1?

1) Предположив, что числа 20 и 35 являются членами арифметической прогрессии, выразите каждое из них через d, n или m, где d — разность прогрессии, n — номер члена, равного 20, m — номер члена, равного 35. Докажите, что $\frac{n-1}{m-1}=\frac{8}{23}$.

2) Полагая, что n – 1 = 8k и m – 1 = 23k, где k ∈ N, выразите m и n через k. Обсудите, как, выбрав значение k, большее 1, можно получить арифметическую прогрессию, удовлетворяющую условию задачи. Выполните необходимые вычисления.

3) Объясните, почему значение k = 1 приводит к противоречию с условием задачи.

1)

Предположим, что числа 20 и 35 являются членами арифметической прогрессии $(a_k)$, у которой первый член $a_1 = 12$ и разность $d \neq 1$. Пусть 20 — это $n$-й член прогрессии ($a_n = 20$), а 35 — это $m$-й член прогрессии ($a_m = 35$). Используем формулу $k$-го члена арифметической прогрессии: $a_k = a_1 + (k-1)d$.

Для члена, равного 20, получаем уравнение: $a_n = a_1 + (n-1)d$, то есть $20 = 12 + (n-1)d$. Отсюда следует, что $(n-1)d = 20 - 12 = 8$.

Для члена, равного 35, получаем уравнение: $a_m = a_1 + (m-1)d$, то есть $35 = 12 + (m-1)d$. Отсюда следует, что $(m-1)d = 35 - 12 = 23$.

Таким образом, мы имеем систему двух уравнений: $(n-1)d = 8$ и $(m-1)d = 23$. Поскольку числа 20 и 35 не равны первому члену 12, то разность прогрессии $d$ не может быть равна нулю ($d \neq 0$). Следовательно, мы можем разделить первое уравнение на второе: $\frac{(n-1)d}{(m-1)d} = \frac{8}{23}$

Сократив на $d$, докажем требуемое соотношение: $\frac{n-1}{m-1} = \frac{8}{23}$

Ответ: Выражения для 20 и 35 через $d$, $n$ и $m$: $20 = 12 + (n-1)d$ и $35 = 12 + (m-1)d$. Доказательство: из этих выражений следует, что $(n-1)d=8$ и $(m-1)d=23$. Деление одного равенства на другое дает $\frac{n-1}{m-1} = \frac{8}{23}$.

2)

Из соотношения $\frac{n-1}{m-1} = \frac{8}{23}$ и того факта, что дробь $\frac{8}{23}$ несократима (числа 8 и 23 взаимно простые), следует, что $n-1$ и $m-1$ должны быть кратны 8 и 23 соответственно, с одним и тем же коэффициентом. То есть, существует такое натуральное число $k \in \mathbb{N}$ (так как $n, m > 1$), что $n-1 = 8k$ и $m-1 = 23k$.

Отсюда выражаем $n$ и $m$ через $k$: $n = 8k + 1$ и $m = 23k + 1$.

Теперь найдем разность прогрессии $d$. Подставим $n-1 = 8k$ в уравнение $(n-1)d = 8$, полученное в первом пункте. Получаем $8k \cdot d = 8$, откуда $d = \frac{1}{k}$.

По условию задачи, разность прогрессии не равна 1, то есть $d \neq 1$. Это означает, что $\frac{1}{k} \neq 1$, откуда $k \neq 1$. Таким образом, чтобы получить арифметическую прогрессию, удовлетворяющую условию, мы можем выбрать любое натуральное значение $k$, большее 1 (например, $k=2, 3, 4, ...$).

В качестве примера проведем вычисления для $k=2$:

• Разность прогрессии: $d = \frac{1}{k} = \frac{1}{2}$. Это удовлетворяет условию $d \neq 1$.
• Номер члена, равного 20: $n = 8k + 1 = 8(2) + 1 = 17$.
• Номер члена, равного 35: $m = 23k + 1 = 23(2) + 1 = 47$.

Проверим: прогрессия с $a_1 = 12$ и $d = 1/2$ действительно содержит эти числа на указанных позициях. $a_{17} = 12 + (17-1) \cdot \frac{1}{2} = 12 + 16 \cdot \frac{1}{2} = 12 + 8 = 20$. $a_{47} = 12 + (47-1) \cdot \frac{1}{2} = 12 + 46 \cdot \frac{1}{2} = 12 + 23 = 35$. Условия задачи выполнены.

Ответ: $n=8k+1$ и $m=23k+1$. Выбрав любое натуральное число $k > 1$, можно найти соответствующую прогрессию. Например, при $k=2$ получаем прогрессию с $a_1=12$, $d=1/2$, в которой 20 является 17-м членом, а 35 — 47-м.

3)

Рассмотрим случай, когда $k=1$. Используя формулу для разности $d=\frac{1}{k}$, полученную в пункте 2, найдем значение $d$: $d = \frac{1}{1} = 1$.

Однако в условии задачи прямо указано, что разность прогрессии не должна быть равна 1 ($d \neq 1$).

Следовательно, значение $k=1$ приводит к прямому противоречию с условием задачи и поэтому является недопустимым.

Ответ: Значение $k=1$ приводит к разности прогрессии $d=1$, что противоречит условию задачи, в котором указано, что разность не равна 1.

555. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (cₙ), если:

а)

Для нахождения первого члена $c_1$ и разности $d$ арифметической прогрессии $(c_n)$ воспользуемся формулой n-го члена: $c_n = c_1 + (n-1)d$.

По условию задачи даны два члена прогрессии: $c_5 = 27$ и $c_{27} = 60$.

Подставим эти значения в формулу n-го члена и получим систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $c_1$ и $d$:

$\begin{cases} c_1 + (5-1)d = 27 \\ c_1 + (27-1)d = 60 \end{cases}$

Упростим систему:

$\begin{cases} c_1 + 4d = 27 \\ c_1 + 26d = 60 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти разность $d$:

$(c_1 + 26d) - (c_1 + 4d) = 60 - 27$

$22d = 33$

$d = \frac{33}{22} = \frac{3}{2} = 1,5$

Теперь найдем первый член $c_1$, подставив найденное значение $d$ в первое уравнение системы:

$c_1 + 4 \cdot 1,5 = 27$

$c_1 + 6 = 27$

$c_1 = 27 - 6 = 21$

Таким образом, первый член прогрессии равен 21, а разность равна 1,5.

Ответ: $c_1 = 21$, $d = 1,5$.

б)

Аналогично пункту а), используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $c_n = c_1 + (n-1)d$.

По условию задачи даны: $c_{20} = 0$ и $c_{66} = -92$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} c_1 + (20-1)d = 0 \\ c_1 + (66-1)d = -92 \end{cases}$

Упростим систему:

$\begin{cases} c_1 + 19d = 0 \\ c_1 + 65d = -92 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(c_1 + 65d) - (c_1 + 19d) = -92 - 0$

$46d = -92$

$d = \frac{-92}{46} = -2$

Теперь найдем первый член $c_1$, подставив значение $d$ в первое уравнение системы (из него $c_1 = -19d$):

$c_1 = -19 \cdot (-2)$

$c_1 = 38$

Таким образом, первый член прогрессии равен 38, а разность равна -2.

Ответ: $c_1 = 38$, $d = -2$.

556. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (xₙ), если x₁₆ = –7 и x₂₆ = 55.

Пусть $x_1$ — первый член арифметической прогрессии $(x_n)$, а $d$ — её разность.

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: $x_n = x_1 + (n-1)d$.

По условию задачи известно, что $x_{16} = -7$ и $x_{26} = 55$.

Используя формулу n-го члена, мы можем составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $x_1$ и $d$.

Для $n=16$: $x_{16} = x_1 + (16-1)d$, что дает нам уравнение $x_1 + 15d = -7$.

Для $n=26$: $x_{26} = x_1 + (26-1)d$, что дает нам уравнение $x_1 + 25d = 55$.

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} x_1 + 15d = -7 \\ x_1 + 25d = 55 \end{cases} $

Чтобы найти разность $d$, вычтем первое уравнение из второго:

$(x_1 + 25d) - (x_1 + 15d) = 55 - (-7)$

$10d = 62$

$d = \frac{62}{10} = 6.2$

Теперь, когда мы нашли разность $d$, мы можем найти первый член $x_1$, подставив значение $d$ в любое из уравнений системы. Возьмем первое уравнение:

$x_1 + 15 \cdot (6.2) = -7$

$x_1 + 93 = -7$

$x_1 = -7 - 93$

$x_1 = -100$

Проверим результат, подставив $x_1$ и $d$ во второе уравнение:

$-100 + 25 \cdot (6.2) = -100 + 155 = 55$.

$55 = 55$. Равенство верное.

Ответ: первый член прогрессии $x_1 = -100$, разность прогрессии $d = 6.2$.

557. Содержит ли арифметическая прогрессия 2; 9; … число:

а) 156;

б) 295?

Чтобы ответить на вопрос, содержит ли арифметическая прогрессия определённое число, необходимо сначала найти её параметры: первый член $a_1$ и разность $d$. Затем, используя формулу n-го члена, проверить, будет ли номер искомого члена $n$ натуральным числом.
Дана арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 2$ и второй член $a_2 = 9$.
Найдём разность прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 9 - 2 = 7$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

а) Проверим, содержит ли прогрессия число 156.
Для этого предположим, что существует такой член прогрессии $a_n$, который равен 156. Подставим известные значения в формулу:
$156 = 2 + (n-1) \cdot 7$
Решим полученное уравнение относительно $n$:
$156 - 2 = (n-1) \cdot 7$
$154 = (n-1) \cdot 7$
$n - 1 = \frac{154}{7}$
$n - 1 = 22$
$n = 22 + 1$
$n = 23$
Поскольку мы получили натуральное число $n=23$, это означает, что число 156 является 23-м членом данной арифметической прогрессии.
Ответ: да, содержит.

б) Проверим, содержит ли прогрессия число 295.
Аналогично пункту а), предположим, что $a_n = 295$ и подставим значения в формулу:
$295 = 2 + (n-1) \cdot 7$
Решим уравнение относительно $n$:
$295 - 2 = (n-1) \cdot 7$
$293 = (n-1) \cdot 7$
$n - 1 = \frac{293}{7}$
Так как 293 не делится нацело на 7 ($293 = 7 \cdot 41 + 6$), то $n-1$ не является целым числом.
$n - 1 = 41\frac{6}{7}$
$n = 41\frac{6}{7} + 1 = 42\frac{6}{7}$
Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, а мы получили дробное значение, число 295 не является членом данной арифметической прогрессии.
Ответ: нет, не содержит.