Страница 147 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

505. Разность квадратов двух чисел равна 100. Если из утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то получится 30. Найдите эти числа.

Обозначим первое искомое число как $x$, а второе как $y$.

Из условия "разность квадратов двух чисел равна 100" получаем первое уравнение:

$x^2 - y^2 = 100$

Из условия "если из утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то получится 30" получаем второе уравнение:

$3x - 2y = 30$

Таким образом, мы имеем систему двух уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 100 \\ 3x - 2y = 30 \end{cases} $

Для решения системы выразим $y$ из второго уравнения:

$2y = 3x - 30$

$y = \frac{3x - 30}{2}$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$x^2 - \left(\frac{3x - 30}{2}\right)^2 = 100$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$x^2 - \frac{(3x - 30)^2}{4} = 100$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

$4x^2 - (3x - 30)^2 = 400$

Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$4x^2 - (9x^2 - 2 \cdot 3x \cdot 30 + 30^2) = 400$

$4x^2 - (9x^2 - 180x + 900) = 400$

$4x^2 - 9x^2 + 180x - 900 = 400$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$-5x^2 + 180x - 900 - 400 = 0$

$-5x^2 + 180x - 1300 = 0$

Разделим уравнение на -5 для удобства вычислений:

$x^2 - 36x + 260 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 260 = 1296 - 1040 = 256$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.

Найдем корни для $x$:

$x_1 = \frac{-(-36) + 16}{2 \cdot 1} = \frac{36 + 16}{2} = \frac{52}{2} = 26$

$x_2 = \frac{-(-36) - 16}{2 \cdot 1} = \frac{36 - 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$, используя ранее выведенную формулу $y = \frac{3x - 30}{2}$.

1. Если $x_1 = 26$:

$y_1 = \frac{3 \cdot 26 - 30}{2} = \frac{78 - 30}{2} = \frac{48}{2} = 24$

Первая пара чисел — (26; 24).

2. Если $x_2 = 10$:

$y_2 = \frac{3 \cdot 10 - 30}{2} = \frac{30 - 30}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Вторая пара чисел — (10; 0).

Проведем проверку для найденных пар чисел.

Проверка для (26; 24):

$26^2 - 24^2 = 676 - 576 = 100$ (верно).

$3 \cdot 26 - 2 \cdot 24 = 78 - 48 = 30$ (верно).

Проверка для (10; 0):

$10^2 - 0^2 = 100 - 0 = 100$ (верно).

$3 \cdot 10 - 2 \cdot 0 = 30 - 0 = 30$ (верно).

Обе пары чисел являются решениями задачи.

Ответ: 26 и 24, или 10 и 0.

506. Найдите двузначное число, которое в 4 раза больше суммы его цифр и в 2 раза больше произведения его цифр.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. По определению двузначного числа, $a$ может быть любой цифрой от 1 до 9, а $b$ — любой цифрой от 0 до 9. То есть, $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ и $b \in \{0, 1, \dots, 9\}$.

Согласно условию задачи, у нас есть два утверждения, которые можно записать в виде системы уравнений:
1. Число в 4 раза больше суммы его цифр: $10a + b = 4(a + b)$.
2. Число в 2 раза больше произведения его цифр: $10a + b = 2(a \cdot b)$.

Решим эту систему. Начнем с упрощения первого уравнения:
$10a + b = 4a + 4b$
$10a - 4a = 4b - b$
$6a = 3b$
Разделив обе части уравнения на 3, получим простое соотношение между цифрами:
$b = 2a$

Теперь мы можем подставить это соотношение во второе уравнение системы, чтобы найти значение $a$:
$10a + (2a) = 2a(2a)$
$12a = 4a^2$

Так как $a$ является цифрой десятков, она не может быть равна нулю ($a \ne 0$). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $4a$:
$\frac{12a}{4a} = \frac{4a^2}{4a}$
$3 = a$

Итак, мы нашли цифру десятков: $a = 3$. Теперь найдем цифру единиц, используя ранее выведенное соотношение $b = 2a$:
$b = 2 \cdot 3 = 6$

Следовательно, искомое число состоит из цифр $a=3$ и $b=6$, что дает нам число 36.

Выполним проверку:
- Сумма цифр числа 36 равна $3 + 6 = 9$. Проверяем первое условие: $4 \cdot 9 = 36$. Верно.
- Произведение цифр числа 36 равно $3 \cdot 6 = 18$. Проверяем второе условие: $2 \cdot 18 = 36$. Верно.
Оба условия выполняются.

Ответ: 36.

507. Если числитель обыкновенной дроби возвести в квадрат, а знаменатель уменьшить на 1, то получится дробь, равная 2. Если же числитель дроби уменьшить на 1, а знаменатель увеличить на 1, то получится дробь, равная $\frac{1}{4}$. Найдите эту дробь.

Пусть искомая обыкновенная дробь равна $\frac{x}{y}$, где $x$ — числитель, а $y$ — знаменатель.

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему уравнений.

Первое условие: «Если числитель обыкновенной дроби возвести в квадрат, а знаменатель уменьшить на 1, то получится дробь, равная 2». Это условие можно записать в виде следующего уравнения: $$ \frac{x^2}{y-1} = 2 $$

Второе условие: «Если же числитель дроби уменьшить на 1, а знаменатель увеличить на 1, то получится дробь, равная $\frac{1}{4}$». Это условие даёт нам второе уравнение: $$ \frac{x-1}{y+1} = \frac{1}{4} $$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} \frac{x^2}{y-1} = 2 \\ \frac{x-1}{y+1} = \frac{1}{4} \end{cases} $$ Необходимо также учесть, что знаменатели не могут быть равны нулю, то есть $y-1 \neq 0$ (т.е. $y \neq 1$) и $y+1 \neq 0$ (т.е. $y \neq -1$).

Теперь решим эту систему. Упростим оба уравнения. Из первого уравнения выразим $x^2$: $x^2 = 2(y-1)$ $x^2 = 2y - 2$ (1)

Из второго уравнения, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим: $4(x-1) = 1(y+1)$ $4x - 4 = y + 1$

Выразим переменную $y$ из второго преобразованного уравнения: $y = 4x - 4 - 1$ $y = 4x - 5$ (2)

Подставим полученное выражение для $y$ из уравнения (2) в уравнение (1): $x^2 = 2(4x - 5) - 2$ $x^2 = 8x - 10 - 2$ $x^2 = 8x - 12$

Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Перенесём все его члены в левую часть: $x^2 - 8x + 12 = 0$

Решим это уравнение. Можно найти корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней равна $-(-8) = 8$, а их произведение равно $12$. Корнями являются числа 2 и 6. $x_1 = 2$
$x_2 = 6$

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдём соответствующее значение $y$, подставив $x$ в уравнение (2).

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 4(2) - 5 = 8 - 5 = 3$. Первая возможная дробь — $\frac{2}{3}$.

Если $x_2 = 6$, то $y_2 = 4(6) - 5 = 24 - 5 = 19$. Вторая возможная дробь — $\frac{6}{19}$.

Осталось выполнить проверку, чтобы убедиться, что обе дроби удовлетворяют условиям задачи.

Проверка для дроби $\frac{2}{3}$:
1) $\frac{2^2}{3-1} = \frac{4}{2} = 2$. (Верно)
2) $\frac{2-1}{3+1} = \frac{1}{4}$. (Верно)

Проверка для дроби $\frac{6}{19}$:
1) $\frac{6^2}{19-1} = \frac{36}{18} = 2$. (Верно)
2) $\frac{6-1}{19+1} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$. (Верно)

Оба найденных решения верны, хотя в вопросе и употреблено единственное число "дробь".

Ответ: $\frac{2}{3}$ или $\frac{6}{19}$.

508. Если числитель обыкновенной дроби увеличить на 7, а знаменатель возвести в квадрат, то получится дробь, равная $\frac{3}{4}$. Если же числитель оставить без изменения, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная $\frac{1}{2}$. Найдите эту дробь.

Пусть искомая обыкновенная дробь имеет вид $\frac{x}{y}$, где $x$ — числитель, а $y$ — знаменатель.

Согласно условиям задачи, мы можем составить систему из двух уравнений.

Первое условие: если числитель увеличить на 7, а знаменатель возвести в квадрат, то получится дробь, равная $\frac{3}{4}$. Запишем это в виде уравнения:

$\frac{x+7}{y^2} = \frac{3}{4}$

Второе условие: если числитель оставить без изменения, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная $\frac{1}{2}$. Запишем второе уравнение:

$\frac{x}{y+6} = \frac{1}{2}$

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+7}{y^2} = \frac{3}{4} \\ \frac{x}{y+6} = \frac{1}{2} \end{cases} $

Для решения системы выразим $x$ из второго уравнения:

$2x = y+6 \implies x = \frac{y+6}{2}$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$\frac{(\frac{y+6}{2})+7}{y^2} = \frac{3}{4}$

Упростим выражение в числителе левой части:

$\frac{\frac{y+6+14}{2}}{y^2} = \frac{3}{4}$

$\frac{\frac{y+20}{2}}{y^2} = \frac{3}{4}$

$\frac{y+20}{2y^2} = \frac{3}{4}$

Применим свойство пропорции (перекрестное умножение):

$4(y+20) = 3(2y^2)$

$4y + 80 = 6y^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2+by+c=0$:

$6y^2 - 4y - 80 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$3y^2 - 2y - 40 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 4 + 480 = 484$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$.

Найдем возможные значения для $y$:

$y_1 = \frac{-(-2) + 22}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 22}{6} = \frac{24}{6} = 4$

$y_2 = \frac{-(-2) - 22}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 22}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}$

В условии говорится об "обыкновенной дроби", знаменатель которой по определению является натуральным числом. Поэтому корень $y_2 = -\frac{10}{3}$ не подходит. Следовательно, знаменатель искомой дроби $y=4$.

Теперь найдем числитель $x$, подставив значение $y=4$ в полученное ранее выражение $x = \frac{y+6}{2}$:

$x = \frac{4+6}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Итак, искомая дробь — $\frac{5}{4}$.

Проверим найденное решение:

1. Подставим в первое условие: $\frac{5+7}{4^2} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$. Верно.

2. Подставим во второе условие: $\frac{5}{4+6} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Верно.

Оба условия выполняются.

Ответ: $\frac{5}{4}$.

509. Диагональ прямоугольника равна 15 см. Если одну из его сторон уменьшить на 6 см, а другую уменьшить на 8 см, то периметр уменьшится в 3 раза. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ см и $b$ см.

Диагональ прямоугольника $d$, его стороны $a$ и $b$ связаны теоремой Пифагора, так как они образуют прямоугольный треугольник: $a^2 + b^2 = d^2$.

Поскольку по условию диагональ $d = 15$ см, мы получаем первое уравнение:
$a^2 + b^2 = 15^2$
$a^2 + b^2 = 225$

Периметр исходного прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.

Согласно условию, одну сторону уменьшают на 6 см, а другую — на 8 см. Новые стороны будут равны $(a - 6)$ см и $(b - 8)$ см. Заметим, что для существования нового прямоугольника необходимо, чтобы длины его сторон были положительными, т.е. $a > 6$ и $b > 8$ (или наоборот, $a>8$ и $b>6$).

Периметр нового прямоугольника $P_{нов}$ равен:
$P_{нов} = 2((a - 6) + (b - 8)) = 2(a + b - 14)$

В условии сказано, что периметр уменьшился в 3 раза, следовательно, $P = 3 \cdot P_{нов}$.

Составим второе уравнение на основе этого соотношения:
$2(a + b) = 3 \cdot 2(a + b - 14)$

Разделим обе части уравнения на 2:
$a + b = 3(a + b - 14)$

Раскроем скобки в правой части:
$a + b = 3a + 3b - 42$

Перенесем члены с переменными в одну сторону, а числа — в другую:
$3a - a + 3b - b = 42$
$2a + 2b = 42$

Разделим обе части на 2:
$a + b = 21$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases}a^2 + b^2 = 225 \\a + b = 21\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $b$ через $a$: $b = 21 - a$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$a^2 + (21 - a)^2 = 225$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
$a^2 + (21^2 - 2 \cdot 21 \cdot a + a^2) = 225$
$a^2 + 441 - 42a + a^2 = 225$

Приведем подобные члены и перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2a^2 - 42a + 441 - 225 = 0$
$2a^2 - 42a + 216 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$a^2 - 21a + 108 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета. Ищем два числа, произведение которых равно 108, а сумма равна 21. Эти числа — 9 и 12, так как $9 \cdot 12 = 108$ и $9 + 12 = 21$.

Таким образом, корни уравнения: $a_1 = 9$ и $a_2 = 12$.

Найдем соответствующие значения для $b$:
Если $a = 9$ см, то $b = 21 - 9 = 12$ см.
Если $a = 12$ см, то $b = 21 - 12 = 9$ см.

Оба варианта дают один и тот же набор сторон для прямоугольника: 9 см и 12 см. Проверим, что эти значения удовлетворяют условию положительности новых сторон: $9>8$ и $12>6$. Условие выполняется.

Ответ: стороны прямоугольника равны 9 см и 12 см.

510. Бассейн наполняется через первую трубу на 5 ч быстрее, чем через вторую. Бассейн можно наполнить, если открыть сначала одну первую трубу на 5 ч, а затем одну вторую на 7,5 ч. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе обеих труб?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $t_1$ — это время в часах, за которое первая труба наполняет бассейн, работая в одиночку, а $t_2$ — время в часах, за которое вторая труба наполняет бассейн, работая в одиночку. Тогда производительность первой трубы (часть бассейна, наполняемая за час) равна $p_1 = \frac{1}{t_1}$, а производительность второй трубы — $p_2 = \frac{1}{t_2}$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: бассейн наполняется через первую трубу на 5 часов быстрее, чем через вторую. Это означает, что время работы первой трубы на 5 часов меньше времени работы второй:

$t_2 = t_1 + 5$

Второе условие: бассейн можно наполнить, если первая труба будет работать 5 часов, а затем вторая — 7,5 часов. За это время они выполнят всю работу, которую мы принимаем за 1 (один полный бассейн). Объем работы, выполненной первой трубой, равен $5 \cdot p_1 = \frac{5}{t_1}$. Объем работы, выполненной второй трубой, равен $7.5 \cdot p_2 = \frac{7.5}{t_2}$. Суммарный объем работы равен 1:

$\frac{5}{t_1} + \frac{7.5}{t_2} = 1$

Теперь решим полученную систему уравнений. Подставим выражение для $t_2$ из первого уравнения во второе:

$\frac{5}{t_1} + \frac{7.5}{t_1 + 5} = 1$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю $t_1(t_1 + 5)$ и умножим на него обе части уравнения (при условии, что $t_1 > 0$):

$5(t_1 + 5) + 7.5t_1 = t_1(t_1 + 5)$

Раскроем скобки:

$5t_1 + 25 + 7.5t_1 = t_1^2 + 5t_1$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$12.5t_1 + 25 = t_1^2 + 5t_1$

$t_1^2 + 5t_1 - 12.5t_1 - 25 = 0$

$t_1^2 - 7.5t_1 - 25 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$2t_1^2 - 15t_1 - 50 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-50) = 225 + 400 = 625$

Найдем корни уравнения:

$t_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + \sqrt{625}}{2 \cdot 2} = \frac{15 + 25}{4} = \frac{40}{4} = 10$

$t_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - \sqrt{625}}{2 \cdot 2} = \frac{15 - 25}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$

Так как время не может быть отрицательным, корень $t_{1,2} = -2.5$ не имеет физического смысла. Следовательно, время наполнения бассейна первой трубой составляет $t_1 = 10$ часов.

Теперь найдем время наполнения для второй трубы:

$t_2 = t_1 + 5 = 10 + 5 = 15$ часов.

Итак, первая труба наполняет бассейн за 10 часов, а вторая — за 15 часов.

Осталось найти, за сколько часов наполнится бассейн при совместной работе обеих труб. Совместная производительность $p_{общ}$ равна сумме производительностей каждой трубы:

$p_{общ} = p_1 + p_2 = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$p_{общ} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$

Совместная производительность составляет $\frac{1}{6}$ бассейна в час. Чтобы найти общее время $T$ для наполнения всего бассейна, нужно разделить объем работы (1) на общую производительность:

$T = \frac{1}{p_{общ}} = \frac{1}{1/6} = 6$ часов.

Ответ: 6 часов.

511. Чтобы наполнить бассейн, сначала открыли одну трубу и через 2 ч, не закрывая её, открыли вторую. Через 4 ч совместной работы труб бассейн был наполнен. Одна вторая труба могла бы наполнить бассейн в 1,5 раза быстрее, чем одна первая. За сколько часов можно наполнить бассейн через каждую трубу?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $t_1$ — время в часах, за которое первая труба может наполнить весь бассейн, работая одна.
Пусть $t_2$ — время в часах, за которое вторая труба может наполнить весь бассейн, работая одна.

Тогда производительность (скорость наполнения) первой трубы равна $p_1 = \frac{1}{t_1}$ бассейна в час, а производительность второй трубы — $p_2 = \frac{1}{t_2}$ бассейна в час.

Из условия известно, что вторая труба могла бы наполнить бассейн в 1,5 раза быстрее, чем первая. Это означает, что второй трубе требуется в 1,5 раза меньше времени. Математически это выражается как:
$t_1 = 1.5 \cdot t_2$
Или, в терминах производительности:
$\frac{1}{p_1} = 1.5 \cdot \frac{1}{p_2} \implies p_2 = 1.5 \cdot p_1$

Теперь рассмотрим процесс наполнения бассейна согласно условию. Весь объем бассейна примем за 1.

1. Сначала первая труба работала одна в течение 2 часов. За это время она наполнила часть бассейна, равную:
$V_1 = p_1 \cdot 2 = \frac{1}{t_1} \cdot 2 = \frac{2}{t_1}$

2. Затем, не закрывая первую трубу, открыли вторую. Обе трубы работали вместе 4 часа. Их совместная производительность равна $p_1 + p_2$. За 4 часа они наполнили часть бассейна, равную:
$V_2 = (p_1 + p_2) \cdot 4 = (\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) \cdot 4$

3. В результате этих двух этапов бассейн был полностью наполнен. Сумма объемов, залитых на каждом этапе, равна общему объему бассейна (1):
$V_1 + V_2 = 1$
$\frac{2}{t_1} + 4(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) = 1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $\frac{2}{t_1} + \frac{4}{t_1} + \frac{4}{t_2} = 1 \implies \frac{6}{t_1} + \frac{4}{t_2} = 1$
2) $t_1 = 1.5 \cdot t_2$

Подставим второе уравнение в первое, чтобы исключить переменную $t_1$:
$\frac{6}{1.5 \cdot t_2} + \frac{4}{t_2} = 1$

Упростим первое слагаемое. Так как $1.5 = \frac{3}{2}$, то:
$\frac{6}{(3/2) \cdot t_2} = \frac{6 \cdot 2}{3 \cdot t_2} = \frac{12}{3t_2} = \frac{4}{t_2}$

Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{4}{t_2} + \frac{4}{t_2} = 1$
$\frac{8}{t_2} = 1$
Отсюда находим $t_2$:
$t_2 = 8$ часов.

Зная $t_2$, найдем $t_1$ из второго уравнения системы:
$t_1 = 1.5 \cdot t_2 = 1.5 \cdot 8 = 12$ часов.

Таким образом, первая труба наполняет бассейн за 12 часов, а вторая — за 8 часов.

Ответ: первая труба может наполнить бассейн за 12 часов, а вторая труба — за 8 часов.

512. Из двух городов, расстояние между которыми равно 270 км, одновременно навстречу друг другу выходят два поезда и встречаются через 3 ч. На весь путь один из поездов тратит на 1 ч 21 мин больше, чем другой. Найдите скорость каждого поезда.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго поездов соответственно, измеряемые в км/ч.Общее расстояние $S = 270$ км.

Поезда движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$.Они встречаются через 3 часа, значит, за это время они вместе преодолевают все расстояние:

$(v_1 + v_2) \cdot 3 = 270$

Отсюда находим сумму скоростей:

$v_1 + v_2 = \frac{270}{3}$

$v_1 + v_2 = 90$

Это наше первое уравнение.Теперь составим второе уравнение. Время, которое тратит на весь путь первый поезд, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{270}{v_1}$.Время, которое тратит на весь путь второй поезд, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{270}{v_2}$.

По условию, один из поездов тратит на путь на 1 час 21 минуту больше, чем другой. Переведем эту разницу во времени в часы:

$1$ ч $21$ мин $= 1 + \frac{21}{60}$ ч $= 1 + \frac{7}{20}$ ч $= \frac{20}{20} + \frac{7}{20} = \frac{27}{20}$ ч.

Пусть первый поезд медленнее, тогда $t_1 > t_2$. Разница во времени составляет:

$t_1 - t_2 = \frac{270}{v_1} - \frac{270}{v_2} = \frac{27}{20}$

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 90 \\ \frac{270}{v_1} - \frac{270}{v_2} = \frac{27}{20} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = 90 - v_1$.

Подставим это выражение во второе уравнение. Для удобства можно сначала разделить второе уравнение на 27:

$\frac{10}{v_1} - \frac{10}{v_2} = \frac{1}{20}$

Теперь подставляем $v_2 = 90 - v_1$:

$\frac{10}{v_1} - \frac{10}{90 - v_1} = \frac{1}{20}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{10(90 - v_1) - 10v_1}{v_1(90 - v_1)} = \frac{1}{20}$

$\frac{900 - 10v_1 - 10v_1}{90v_1 - v_1^2} = \frac{1}{20}$

$\frac{900 - 20v_1}{90v_1 - v_1^2} = \frac{1}{20}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$20 \cdot (900 - 20v_1) = 1 \cdot (90v_1 - v_1^2)$

$18000 - 400v_1 = 90v_1 - v_1^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$v_1^2 - 90v_1 - 400v_1 + 18000 = 0$

$v_1^2 - 490v_1 + 18000 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-490)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18000 = 240100 - 72000 = 168100$

$\sqrt{D} = \sqrt{168100} = 410$

Найдем корни уравнения:

$v_{1,1} = \frac{-(-490) + 410}{2 \cdot 1} = \frac{490 + 410}{2} = \frac{900}{2} = 450$

$v_{1,2} = \frac{-(-490) - 410}{2 \cdot 1} = \frac{490 - 410}{2} = \frac{80}{2} = 40$

Рассмотрим оба варианта:

1. Если $v_1 = 450$ км/ч, то $v_2 = 90 - v_1 = 90 - 450 = -360$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, поэтому этот корень не подходит.

2. Если $v_1 = 40$ км/ч, то $v_2 = 90 - v_1 = 90 - 40 = 50$ км/ч. Этот вариант является решением.

Проверим найденные скорости. Скорости поездов 40 км/ч и 50 км/ч.

Время в пути для первого поезда: $t_1 = \frac{270}{40} = 6,75$ ч.

Время в пути для второго поезда: $t_2 = \frac{270}{50} = 5,4$ ч.

Разница во времени: $t_1 - t_2 = 6,75 - 5,4 = 1,35$ ч.

Переведем 1,35 часа в часы и минуты: $1,35$ ч $= 1$ ч $+ 0,35$ ч $= 1$ ч $+ 0,35 \cdot 60$ мин $= 1$ ч $21$ мин.Это соответствует условию задачи.

Ответ: скорость одного поезда 40 км/ч, а другого — 50 км/ч.

513. Из пунктов M и N выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Один из них приехал в пункт N через 1 ч 15 мин после встречи, а другой — в пункт M через 48 мин после встречи. Расстояние между пунктами M и N равно 90 км. Найдите скорости автомобилей.

Пусть $v_1$ (в км/ч) – скорость автомобиля, выехавшего из пункта М, а $v_2$ (в км/ч) – скорость автомобиля, выехавшего из пункта N. Пусть автомобили встретились через $t$ часов после начала движения.

Переведем время, затраченное автомобилями на путь после встречи, в часы: Время первого автомобиля (который ехал в N): $t_1 = 1 \text{ ч } 15 \text{ мин } = 1 + \frac{15}{60} \text{ ч } = 1.25 \text{ ч}$. Время второго автомобиля (который ехал в M): $t_2 = 48 \text{ мин } = \frac{48}{60} \text{ ч } = 0.8 \text{ ч}$.

До момента встречи первый автомобиль (из М) проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot t$, а второй (из N) – $S_2 = v_2 \cdot t$. После встречи первому автомобилю осталось проехать расстояние $S_2$, и он преодолел его за время $t_1$. Таким образом, $S_2 = v_1 \cdot t_1$. Второму автомобилю после встречи осталось проехать расстояние $S_1$, и он преодолел его за время $t_2$. Таким образом, $S_1 = v_2 \cdot t_2$.

Сопоставим выражения для расстояний $S_1$ и $S_2$: $v_1 \cdot t = v_2 \cdot t_2$ $v_2 \cdot t = v_1 \cdot t_1$

Из этих уравнений можно выразить отношение скоростей $\frac{v_1}{v_2}$ двумя способами: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{t_2}{t}$ $\frac{v_1}{v_2} = \frac{t}{t_1}$

Приравняв правые части, получим уравнение для времени встречи $t$: $\frac{t_2}{t} = \frac{t}{t_1} \implies t^2 = t_1 \cdot t_2$ Подставим числовые значения: $t^2 = 1.25 \cdot 0.8 = 1$ Так как время не может быть отрицательным, $t = 1$ час.

До встречи автомобили двигались навстречу друг другу в течение 1 часа и вместе преодолели все расстояние 90 км. Скорость их сближения равна $v_1 + v_2$. $(v_1 + v_2) \cdot t = 90$ $(v_1 + v_2) \cdot 1 = 90$ $v_1 + v_2 = 90$

Теперь найдем отношение скоростей, используя одно из ранее полученных выражений и найденное значение $t$: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{t}{t_1} = \frac{1}{1.25} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5}$ Отсюда $v_1 = \frac{4}{5} v_2$.

Мы получили систему из двух линейных уравнений:
1) $v_1 + v_2 = 90$
2) $v_1 = \frac{4}{5} v_2$
Подставим второе уравнение в первое: $\frac{4}{5} v_2 + v_2 = 90$ $\frac{9}{5} v_2 = 90$ $v_2 = 90 \cdot \frac{5}{9} = 50$ км/ч.

Теперь найдем скорость первого автомобиля: $v_1 = \frac{4}{5} \cdot v_2 = \frac{4}{5} \cdot 50 = 40$ км/ч.

Итак, скорость автомобиля, выехавшего из пункта М, составляет 40 км/ч, а скорость автомобиля, выехавшего из пункта N, – 50 км/ч.

Ответ: Скорость одного автомобиля 40 км/ч, а другого — 50 км/ч.

514. Двое туристов идут навстречу друг другу из пунктов A и B. Первый вышел из пункта A на 6 ч позже, чем второй из пункта B, и при встрече оказалось, что он прошёл на 12 км меньше второго. Продолжая движение с той же скоростью, первый пришёл в пункт B через 8 ч, а второй — в пункт A через 9 ч после встречи. Найдите скорость каждого туриста.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_1$ — скорость первого туриста (км/ч).
• $v_2$ — скорость второго туриста (км/ч).
• $t_1$ — время, которое первый турист был в пути до встречи (ч).
• $t_2$ — время, которое второй турист был в пути до встречи (ч).

Пусть встреча туристов произошла в точке $C$. Тогда расстояние, которое прошел первый турист от пункта $A$ до точки $C$, равно $S_1 = v_1 t_1$. Расстояние, которое прошел второй турист от пункта $B$ до точки $C$, равно $S_2 = v_2 t_2$.

Из условий задачи составим систему уравнений.

1. Первый турист вышел на 6 часов позже второго:

$t_2 = t_1 + 6$

2. При встрече первый турист прошел на 12 км меньше второго:

$S_1 = S_2 - 12$, или $v_1 t_1 = v_2 t_2 - 12$

3. После встречи первый турист прошел оставшееся расстояние (от $C$ до $B$, равное $S_2$) за 8 часов, а второй — оставшееся расстояние (от $C$ до $A$, равное $S_1$) за 9 часов. Это дает нам два важных соотношения:

$S_2 = v_1 \cdot 8$

$S_1 = v_2 \cdot 9$

Теперь у нас есть система уравнений, которую можно решить. Подставим выражения для $S_1$ и $S_2$ в другие уравнения.

Из $S_1 = v_1 t_1$ и $S_1 = 9v_2$ следует, что $v_1 t_1 = 9v_2$. Отсюда можно выразить время $t_1$:

$t_1 = \frac{9v_2}{v_1}$

Из $S_2 = v_2 t_2$ и $S_2 = 8v_1$ следует, что $v_2 t_2 = 8v_1$. Отсюда можно выразить время $t_2$:

$t_2 = \frac{8v_1}{v_2}$

Теперь подставим эти выражения для $t_1$ и $t_2$ в самое первое уравнение $t_2 = t_1 + 6$:

$\frac{8v_1}{v_2} = \frac{9v_2}{v_1} + 6$

Мы получили одно уравнение с двумя неизвестными $v_1$ и $v_2$. Чтобы найти второе уравнение, воспользуемся соотношением расстояний $S_1 = S_2 - 12$. Подставим в него $S_1 = 9v_2$ и $S_2 = 8v_1$:

$9v_2 = 8v_1 - 12$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{8v_1}{v_2} = \frac{9v_2}{v_1} + 6 \\ 9v_2 = 8v_1 - 12 \end{cases}$

Решим первое уравнение относительно отношения скоростей $\frac{v_1}{v_2}$. Умножим обе части уравнения на $v_1 v_2$ (скорости не равны нулю):

$8v_1^2 = 9v_2^2 + 6v_1v_2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$8v_1^2 - 6v_1v_2 - 9v_2^2 = 0$

Разделим уравнение на $v_2^2$ и введем замену $k = \frac{v_1}{v_2}$:

$8(\frac{v_1}{v_2})^2 - 6(\frac{v_1}{v_2}) - 9 = 0$

$8k^2 - 6k - 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $k$ с помощью дискриминанта:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 36 + 288 = 324 = 18^2$

$k = \frac{6 \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 8} = \frac{6 \pm 18}{16}$

Так как скорости являются положительными величинами, их отношение $k$ также должно быть положительным. Поэтому выбираем корень со знаком "плюс":

$k = \frac{6 + 18}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$

Таким образом, мы нашли отношение скоростей: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{2}$, откуда $v_1 = \frac{3}{2}v_2$.

Теперь подставим это соотношение во второе уравнение системы $9v_2 = 8v_1 - 12$:

$9v_2 = 8 \left(\frac{3}{2}v_2\right) - 12$

$9v_2 = 12v_2 - 12$

$12v_2 - 9v_2 = 12$

$3v_2 = 12$

$v_2 = 4$

Скорость второго туриста равна 4 км/ч. Теперь найдем скорость первого туриста:

$v_1 = \frac{3}{2}v_2 = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6$

Скорость первого туриста равна 6 км/ч.

Ответ: Скорость первого туриста — 6 км/ч, скорость второго туриста — 4 км/ч.