Страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

496. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y + xy = 5 \\ xy + x - y = 13 \end{cases} $$ Для удобства перепишем второе уравнение, поменяв местами слагаемые: $$ \begin{cases} x + y + xy = 5 \\ x - y + xy = 13 \end{cases} $$ Это симметрическая система. Вычтем первое уравнение из второго. Это позволит нам избавиться от переменных $x$ и $xy$: $$ (x - y + xy) - (x + y + xy) = 13 - 5 $$ Раскроем скобки: $$ x - y + xy - x - y - xy = 8 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ -2y = 8 $$ Отсюда находим $y$: $$ y = \frac{8}{-2} = -4 $$ Теперь подставим найденное значение $y = -4$ в любое из исходных уравнений, например, в первое, чтобы найти $x$: $$ x + (-4) + x(-4) = 5 $$ $$ x - 4 - 4x = 5 $$ $$ -3x = 5 + 4 $$ $$ -3x = 9 $$ $$ x = \frac{9}{-3} = -3 $$ Таким образом, мы получили решение $(x, y) = (-3, -4)$. Для уверенности выполним проверку, подставив эти значения во второе уравнение исходной системы: $$ xy + x - y = (-3)(-4) + (-3) - (-4) = 12 - 3 + 4 = 9 + 4 = 13 $$ $$ 13 = 13 $$ Равенство верное, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $(-3; -4)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + xy + y = 10 \\ xy - 2x - 2y = 2 \end{cases} $$ Эта система удобна для решения методом введения новых переменных. В обоих уравнениях можно выделить выражения $x+y$ и $xy$. Перепишем систему в виде: $$ \begin{cases} (x + y) + xy = 10 \\ xy - 2(x + y) = 2 \end{cases} $$ Сделаем замену: пусть $S = x + y$ и $P = xy$. Тогда система примет вид: $$ \begin{cases} S + P = 10 \\ P - 2S = 2 \end{cases} $$ Мы получили систему двух линейных уравнений с двумя переменными $S$ и $P$. Решим ее. Из первого уравнения выразим $P$: $P = 10 - S$. Подставим это выражение во второе уравнение: $$ (10 - S) - 2S = 2 $$ $$ 10 - 3S = 2 $$ $$ -3S = 2 - 10 $$ $$ -3S = -8 $$ $$ S = \frac{8}{3} $$ Теперь найдем значение $P$: $$ P = 10 - S = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30}{3} - \frac{8}{3} = \frac{22}{3} $$ Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$. Мы имеем: $$ x + y = S = \frac{8}{3} $$ $$ xy = P = \frac{22}{3} $$ Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения вида $t^2 - St + P = 0$: $$ t^2 - \frac{8}{3}t + \frac{22}{3} = 0 $$ Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 3: $$ 3t^2 - 8t + 22 = 0 $$ Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 22 = 64 - 264 = -200 $$ Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует таких действительных чисел $x$ и $y$, которые удовлетворяли бы условиям $x+y = 8/3$ и $xy = 22/3$. Следовательно, исходная система уравнений не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет действительных решений.

497. Решите систему уравнений:

а)

Исходная система уравнений: $ \begin{cases} (x + y)(x - y) = 0, \\ 2x - y = 1; \end{cases} $

Первое уравнение $(x + y)(x - y) = 0$ выполняется, если один из множителей равен нулю. Это означает, что либо $x + y = 0$, либо $x - y = 0$. Таким образом, решение исходной системы сводится к решению двух независимых систем уравнений.

Случай 1: $x + y = 0$.

Решаем систему: $ \begin{cases} x + y = 0, \\ 2x - y = 1. \end{cases} $
Из первого уравнения выражаем $y$: $y = -x$.
Подставляем это выражение во второе уравнение: $2x - (-x) = 1$.
$3x = 1$, откуда $x = \frac{1}{3}$.
Теперь находим $y$: $y = -x = -\frac{1}{3}$.
Первая пара решений: $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$.

Случай 2: $x - y = 0$.

Решаем систему: $ \begin{cases} x - y = 0, \\ 2x - y = 1. \end{cases} $
Из первого уравнения выражаем $y$: $y = x$.
Подставляем это выражение во второе уравнение: $2x - x = 1$.
$x = 1$.
Теперь находим $y$: $y = x = 1$.
Вторая пара решений: $(1, 1)$.

Ответ: $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$; $(1, 1)$.

б)

Исходная система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 100, \\ (x - 7y)(x + 7y) = 0; \end{cases} $

Второе уравнение $(x - 7y)(x + 7y) = 0$ выполняется, если либо $x - 7y = 0$, либо $x + 7y = 0$. Рассматриваем два случая.

Случай 1: $x - 7y = 0$.

Решаем систему: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 100, \\ x - 7y = 0. \end{cases} $
Из второго уравнения $x = 7y$.
Подставляем в первое уравнение: $(7y)^2 + y^2 = 100$.
$49y^2 + y^2 = 100$.
$50y^2 = 100$, откуда $y^2 = 2$.
Значит, $y_1 = \sqrt{2}$ и $y_2 = -\sqrt{2}$.
Если $y_1 = \sqrt{2}$, то $x_1 = 7y_1 = 7\sqrt{2}$.
Если $y_2 = -\sqrt{2}$, то $x_2 = 7y_2 = -7\sqrt{2}$.
Получаем две пары решений: $(7\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(-7\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

Случай 2: $x + 7y = 0$.

Решаем систему: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 100, \\ x + 7y = 0. \end{cases} $
Из второго уравнения $x = -7y$.
Подставляем в первое уравнение: $(-7y)^2 + y^2 = 100$.
$49y^2 + y^2 = 100$.
$50y^2 = 100$, откуда $y^2 = 2$.
Значит, $y_3 = \sqrt{2}$ и $y_4 = -\sqrt{2}$.
Если $y_3 = \sqrt{2}$, то $x_3 = -7y_3 = -7\sqrt{2}$.
Если $y_4 = -\sqrt{2}$, то $x_4 = -7y_4 = 7\sqrt{2}$.
Получаем еще две пары решений: $(-7\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(7\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

Ответ: $(7\sqrt{2}, \sqrt{2})$; $(-7\sqrt{2}, -\sqrt{2})$; $(-7\sqrt{2}, \sqrt{2})$; $(7\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

в)

Исходная система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ (x - 3)(y - 5) = 0; \end{cases} $

Второе уравнение $(x - 3)(y - 5) = 0$ выполняется, если либо $x - 3 = 0$, либо $y - 5 = 0$. Рассматриваем два случая.

Случай 1: $x - 3 = 0$.

Из этого уравнения следует, что $x = 3$. Подставим это значение в первое уравнение системы:
$3^2 + y^2 = 25$.
$9 + y^2 = 25$.
$y^2 = 25 - 9 = 16$.
Отсюда $y_1 = 4$ и $y_2 = -4$.
Получаем две пары решений: $(3, 4)$ и $(3, -4)$.

Случай 2: $y - 5 = 0$.

Из этого уравнения следует, что $y = 5$. Подставим это значение в первое уравнение системы:
$x^2 + 5^2 = 25$.
$x^2 + 25 = 25$.
$x^2 = 0$.
Отсюда $x_3 = 0$.
Получаем еще одну пару решений: $(0, 5)$.

Ответ: $(3, 4)$; $(3, -4)$; $(0, 5)$.

г)

Исходная система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 50, \\ x(y + 1) = 0. \end{cases} $

Второе уравнение $x(y + 1) = 0$ выполняется, если либо $x = 0$, либо $y + 1 = 0$. Рассматриваем два случая.

Случай 1: $x = 0$.

Подставим $x = 0$ в первое уравнение системы:
$0^2 - y^2 = 50$.
$-y^2 = 50$.
$y^2 = -50$.
Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Случай 2: $y + 1 = 0$.

Из этого уравнения следует, что $y = -1$. Подставим это значение в первое уравнение системы:
$x^2 - (-1)^2 = 50$.
$x^2 - 1 = 50$.
$x^2 = 51$.
Отсюда $x_1 = \sqrt{51}$ и $x_2 = -\sqrt{51}$.
Получаем две пары решений: $(\sqrt{51}, -1)$ и $(-\sqrt{51}, -1)$.

Ответ: $(\sqrt{51}, -1)$; $(-\sqrt{51}, -1)$.

498. Решите систему уравнений:

а) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ 2x - y = 5 \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$, $y \neq 0$.
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$ y = 2x - 5 $
Так как $y \neq 0$, то $2x - 5 \neq 0$, откуда $x \neq 2.5$.

Подставим выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$ \frac{1}{x} + \frac{1}{2x - 5} = \frac{1}{6} $
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(2x-5)$:
$ \frac{2x - 5 + x}{x(2x - 5)} = \frac{1}{6} $
$ \frac{3x - 5}{2x^2 - 5x} = \frac{1}{6} $

По свойству пропорции (при условии $2x^2 - 5x \neq 0$):
$ 6(3x - 5) = 1 \cdot (2x^2 - 5x) $
$ 18x - 30 = 2x^2 - 5x $
$ 2x^2 - 5x - 18x + 30 = 0 $
$ 2x^2 - 23x + 30 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 30 = 529 - 240 = 289 $
$ \sqrt{D} = 17 $
Найдем корни:
$ x_1 = \frac{-(-23) + 17}{2 \cdot 2} = \frac{23 + 17}{4} = \frac{40}{4} = 10 $
$ x_2 = \frac{-(-23) - 17}{2 \cdot 2} = \frac{23 - 17}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $
Оба корня удовлетворяют условиям $x \neq 0$ и $x \neq 2.5$.

Найдем соответствующие значения $y$:
1) При $x_1 = 10$:
$ y_1 = 2(10) - 5 = 20 - 5 = 15 $
Получили пару $(10; 15)$.
2) При $x_2 = \frac{3}{2}$:
$ y_2 = 2(\frac{3}{2}) - 5 = 3 - 5 = -2 $
Получили пару $(\frac{3}{2}; -2)$.

Ответ: $(10; 15)$, $(\frac{3}{2}; -2)$.

б) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{20} \\ x + 2y = 14 \end{cases} $

ОДЗ: $x \neq 0$, $y \neq 0$.
Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:
$ x = 14 - 2y $
Так как $x \neq 0$, то $14 - 2y \neq 0$, откуда $y \neq 7$.

Подставим выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$ \frac{1}{14 - 2y} - \frac{1}{y} = \frac{1}{20} $
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $y(14-2y)$:
$ \frac{y - (14 - 2y)}{y(14 - 2y)} = \frac{1}{20} $
$ \frac{y - 14 + 2y}{14y - 2y^2} = \frac{1}{20} $
$ \frac{3y - 14}{14y - 2y^2} = \frac{1}{20} $

По свойству пропорции (при условии $14y - 2y^2 \neq 0$):
$ 20(3y - 14) = 1 \cdot (14y - 2y^2) $
$ 60y - 280 = 14y - 2y^2 $
$ 2y^2 + 60y - 14y - 280 = 0 $
$ 2y^2 + 46y - 280 = 0 $
Разделим уравнение на 2:
$ y^2 + 23y - 140 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-140) = 529 + 560 = 1089 $
$ \sqrt{D} = 33 $
Найдем корни:
$ y_1 = \frac{-23 + 33}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5 $
$ y_2 = \frac{-23 - 33}{2 \cdot 1} = \frac{-56}{2} = -28 $
Оба корня удовлетворяют условиям $y \neq 0$ и $y \neq 7$.

Найдем соответствующие значения $x$:
1) При $y_1 = 5$:
$ x_1 = 14 - 2(5) = 14 - 10 = 4 $
Получили пару $(4; 5)$.
2) При $y_2 = -28$:
$ x_2 = 14 - 2(-28) = 14 + 56 = 70 $
Получили пару $(70; -28)$.

Ответ: $(4; 5)$, $(70; -28)$.

в) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 14 \\ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\frac{1}{12} \end{cases} $

ОДЗ: $x \neq 0$, $y \neq 0$.
Преобразуем второе уравнение. Переведем смешанную дробь в неправильную: $2\frac{1}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{25}{12}$.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$ \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{25}{12} $

Из первого уравнения $x + y = 14$ выразим $x^2 + y^2$. Для этого возведем обе части в квадрат:
$ (x + y)^2 = 14^2 $
$ x^2 + 2xy + y^2 = 196 $
$ x^2 + y^2 = 196 - 2xy $

Подставим это выражение в преобразованное второе уравнение:
$ \frac{196 - 2xy}{xy} = \frac{25}{12} $
Сделаем замену $u = xy$:
$ \frac{196 - 2u}{u} = \frac{25}{12} $
$ 12(196 - 2u) = 25u $
$ 2352 - 24u = 25u $
$ 49u = 2352 $
$ u = \frac{2352}{49} = 48 $
Итак, $xy = 48$.

Теперь система приняла вид:
$ \begin{cases} x + y = 14 \\ xy = 48 \end{cases} $
Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 14t + 48 = 0$.
Найдем корни этого уравнения (например, по теореме Виета): сумма корней равна 14, произведение равно 48. Это числа 6 и 8.
$ t_1 = 6, t_2 = 8 $.
Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(6; 8)$ и $(8; 6)$.

Ответ: $(6; 8)$, $(8; 6)$.

г) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 2 \\ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{5}{6} \end{cases} $

ОДЗ: $x \neq 0$, $y \neq 0$.
Преобразуем второе уравнение, приведя левую часть к общему знаменателю:
$ \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{5}{6} $
Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Подставим в числитель значение $x - y = 2$ из первого уравнения:
$ \frac{2(x + y)}{xy} = \frac{5}{6} $

По свойству пропорции:
$ 6 \cdot 2(x + y) = 5xy $
$ 12(x + y) = 5xy $
Теперь у нас есть новая система:
$ \begin{cases} x - y = 2 \\ 12(x + y) = 5xy \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + 2$. Подставим это во второе уравнение:
$ 12((y + 2) + y) = 5(y + 2)y $
$ 12(2y + 2) = 5(y^2 + 2y) $
$ 24y + 24 = 5y^2 + 10y $
$ 5y^2 + 10y - 24y - 24 = 0 $
$ 5y^2 - 14y - 24 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-24) = 196 + 480 = 676 $
$ \sqrt{D} = 26 $
Найдем корни:
$ y_1 = \frac{-(-14) + 26}{2 \cdot 5} = \frac{14 + 26}{10} = \frac{40}{10} = 4 $
$ y_2 = \frac{-(-14) - 26}{2 \cdot 5} = \frac{14 - 26}{10} = \frac{-12}{10} = -\frac{6}{5} $

Найдем соответствующие значения $x$ из $x = y + 2$:
1) При $y_1 = 4$:
$ x_1 = 4 + 2 = 6 $
Получили пару $(6; 4)$.
2) При $y_2 = -\frac{6}{5}$:
$ x_2 = -\frac{6}{5} + 2 = -\frac{6}{5} + \frac{10}{5} = \frac{4}{5} $
Получили пару $(\frac{4}{5}; -\frac{6}{5})$.

Ответ: $(6; 4)$, $(\frac{4}{5}; -\frac{6}{5})$.

499. Имеет ли решения система уравнений

Чтобы определить, имеет ли данная система уравнений решения, мы можем решить подсистему из двух уравнений и затем проверить, удовлетворяют ли найденные решения третьему уравнению.

Возьмем первые два уравнения:

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить переменную $x$:

$(3x + y^2) - (3x - 4y) = 10 - (-2)$

$y^2 + 4y = 12$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 + 4y - 12 = 0$

Найдем корни этого уравнения, например, разложив на множители. Нам нужны два числа, произведение которых равно $-12$, а сумма равна $4$. Это числа $6$ и $-2$.

$(y + 6)(y - 2) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1 = -6$ и $y_2 = 2$.

Теперь для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$. Воспользуемся первым уравнением $3x = 4y - 2$.

1. Если $y_1 = -6$:

$3x_1 = 4(-6) - 2 = -24 - 2 = -26 \implies x_1 = -\frac{26}{3}$

Получили пару $(-\frac{26}{3}, -6)$.

2. Если $y_2 = 2$:

$3x_2 = 4(2) - 2 = 8 - 2 = 6 \implies x_2 = 2$

Получили пару $(2, 2)$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти пары третьему уравнению системы: $x^2 - y^2 - x + y = 100$.

Проверка для пары $(-\frac{26}{3}, -6)$:

Подставим $x = -\frac{26}{3}$ и $y = -6$ в левую часть уравнения:

$(-\frac{26}{3})^2 - (-6)^2 - (-\frac{26}{3}) + (-6) = \frac{676}{9} - 36 + \frac{26}{3} - 6 = \frac{676}{9} - 42 + \frac{78}{9} = \frac{754}{9} - \frac{378}{9} = \frac{376}{9}$

Так как $\frac{376}{9} \neq 100$, эта пара не является решением системы.

Проверка для пары $(2, 2)$:

Подставим $x = 2$ и $y = 2$ в левую часть уравнения:

$2^2 - 2^2 - 2 + 2 = 4 - 4 - 2 + 2 = 0$

Так как $0 \neq 100$, эта пара также не является решением системы.

Поскольку ни одно из решений подсистемы из первых двух уравнений не удовлетворяет третьему уравнению, исходная система уравнений не имеет решений.

Ответ: система уравнений не имеет решений.

500. Имеют ли общую точку графики уравнений

x + y = 7, 2x – y = 2, x² + xy – y² – y = 1?

Чтобы определить, имеют ли графики данных уравнений общую точку, необходимо найти координаты $(x, y)$, которые удовлетворяют всем трем уравнениям одновременно. Для этого нужно решить систему из трех уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 7 & (1) \\ 2x - y = 2 & (2) \\ x^2 + xy - y^2 - y = 1 & (3) \end{cases} $

Сначала найдем точку пересечения графиков первых двух уравнений, которые являются прямыми. Решим систему из уравнений (1) и (2):

$ \begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 2 \end{cases} $

Сложим левые и правые части уравнений, чтобы исключить переменную $y$:

$(x + y) + (2x - y) = 7 + 2$

$3x = 9$

$x = 3$

Теперь подставим найденное значение $x = 3$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$3 + y = 7$

$y = 7 - 3$

$y = 4$

Таким образом, единственная возможная общая точка для всех трех графиков — это точка пересечения первых двух, то есть точка с координатами $(3, 4)$.

Далее проверим, удовлетворяет ли эта точка третьему уравнению. Подставим $x = 3$ и $y = 4$ в уравнение $x^2 + xy - y^2 - y = 1$:

$(3)^2 + (3)(4) - (4)^2 - 4 = 1$

$9 + 12 - 16 - 4 = 1$

$21 - 20 = 1$

$1 = 1$

Равенство верное. Это означает, что точка $(3, 4)$ принадлежит и графику третьего уравнения.

Поскольку точка $(3, 4)$ удовлетворяет всем трем уравнениям, графики этих уравнений имеют общую точку.

Ответ: да, графики уравнений имеют общую точку $(3, 4)$.

501. Решите систему уравнений:

а) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 18 \\ x^2 - y^2 + x - y = 6 \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(x^2 + y^2 + x + y) + (x^2 - y^2 + x - y) = 18 + 6$

$2x^2 + 2x = 24$

Разделим обе части на 2:

$x^2 + x = 12$

$x^2 + x - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 + y^2 + x + y) - (x^2 - y^2 + x - y) = 18 - 6$

$2y^2 + 2y = 12$

Разделим обе части на 2:

$y^2 + y = 6$

$y^2 + y - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -3$.

Таким образом, мы получили возможные значения для $x \in \{3, -4\}$ и $y \in \{2, -3\}$. Необходимо выполнить проверку, подставив все возможные комбинации пар $(x, y)$ в одно из исходных уравнений (например, в первое $x^2 + y^2 + x + y = 18$).

• Проверка пары $(3, 2)$: $3^2 + 2^2 + 3 + 2 = 9 + 4 + 3 + 2 = 18$. Верно.
• Проверка пары $(3, -3)$: $3^2 + (-3)^2 + 3 + (-3) = 9 + 9 + 0 = 18$. Верно.
• Проверка пары $(-4, 2)$: $(-4)^2 + 2^2 - 4 + 2 = 16 + 4 - 4 + 2 = 18$. Верно.
• Проверка пары $(-4, -3)$: $(-4)^2 + (-3)^2 - 4 - 3 = 16 + 9 - 7 = 18$. Верно.

Все четыре пары являются решениями системы. Проверка по второму уравнению дает те же результаты.

Ответ: $(3, 2)$, $(3, -3)$, $(-4, 2)$, $(-4, -3)$.

б) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} x^2y^2 + xy = 72 \\ x + y = 6 \end{cases} $

В первом уравнении введем замену $t = xy$. Уравнение примет вид:

$t^2 + t = 72$

$t^2 + t - 72 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, корни: $t_1 = 8$ и $t_2 = -9$.

Теперь рассмотрим два случая.

Случай 1: $xy = 8$.

Получаем систему:

$ \begin{cases} x + y = 6 \\ xy = 8 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y = 6 - x$ и подставим во второе:

$x(6 - x) = 8$

$6x - x^2 = 8$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

Если $x=2$, то $y=6-2=4$. Если $x=4$, то $y=6-4=2$. Получаем решения $(2, 4)$ и $(4, 2)$.

Случай 2: $xy = -9$.

Получаем систему:

$ \begin{cases} x + y = 6 \\ xy = -9 \end{cases} $

Снова подставляем $y = 6 - x$ во второе уравнение:

$x(6 - x) = -9$

$6x - x^2 = -9$

$x^2 - 6x - 9 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 36 + 36 = 72$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 3\sqrt{2}$.

Если $x = 3 + 3\sqrt{2}$, то $y = 6 - (3 + 3\sqrt{2}) = 3 - 3\sqrt{2}$.

Если $x = 3 - 3\sqrt{2}$, то $y = 6 - (3 - 3\sqrt{2}) = 3 + 3\sqrt{2}$.

Получаем решения $(3 + 3\sqrt{2}, 3 - 3\sqrt{2})$ и $(3 - 3\sqrt{2}, 3 + 3\sqrt{2})$.

Ответ: $(2, 4)$, $(4, 2)$, $(3 + 3\sqrt{2}, 3 - 3\sqrt{2})$, $(3 - 3\sqrt{2}, 3 + 3\sqrt{2})$.

в) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} (x+y)^2 - 2(x+y) = 15 \\ x + xy + y = 11 \end{cases} $

Введем замену $u = x+y$. Первое уравнение примет вид:

$u^2 - 2u - 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни: $u_1 = 5$, $u_2 = -3$.

Второе уравнение системы можно переписать как $(x+y) + xy = 11$, или $u + xy = 11$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $u = x+y = 5$.

Подставим это значение во второе уравнение: $5 + xy = 11$, откуда $xy = 6$.

Решаем систему:

$ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 5z + 6 = 0$. Корни этого уравнения $z_1=2, z_2=3$.

Следовательно, решениями являются пары $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Случай 2: $u = x+y = -3$.

Подставим это значение во второе уравнение: $-3 + xy = 11$, откуда $xy = 14$.

Решаем систему:

$ \begin{cases} x + y = -3 \\ xy = 14 \end{cases} $

$x$ и $y$ являются корнями уравнения $z^2 - (-3)z + 14 = 0$, то есть $z^2 + 3z + 14 = 0$.

Дискриминант этого уравнения $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 9 - 56 = -47$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных решений нет.

Ответ: $(2, 3)$, $(3, 2)$.

г) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} (x+y)^2 - 4(x+y) = 45 \\ (x-y)^2 - 2(x-y) = 3 \end{cases} $

Введем новые переменные: $u = x+y$ и $v = x-y$. Система примет вид:

$ \begin{cases} u^2 - 4u = 45 \\ v^2 - 2v = 3 \end{cases} $

Решим каждое уравнение отдельно.

Первое уравнение: $u^2 - 4u - 45 = 0$. По теореме Виета, корни $u_1 = 9$, $u_2 = -5$.

Второе уравнение: $v^2 - 2v - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $v_1 = 3$, $v_2 = -1$.

Теперь нужно решить системы для всех комбинаций $u$ и $v$. Вспомним, что $x = \frac{u+v}{2}$ и $y = \frac{u-v}{2}$.

1. $u=9, v=3$:

$x = \frac{9+3}{2} = 6$, $y = \frac{9-3}{2} = 3$. Решение $(6, 3)$.

2. $u=9, v=-1$:

$x = \frac{9+(-1)}{2} = 4$, $y = \frac{9-(-1)}{2} = 5$. Решение $(4, 5)$.

3. $u=-5, v=3$:

$x = \frac{-5+3}{2} = -1$, $y = \frac{-5-3}{2} = -4$. Решение $(-1, -4)$.

4. $u=-5, v=-1$:

$x = \frac{-5+(-1)}{2} = -3$, $y = \frac{-5-(-1)}{2} = -2$. Решение $(-3, -2)$.

Ответ: $(6, 3)$, $(4, 5)$, $(-1, -4)$, $(-3, -2)$.

502. Если умножить квадратный трёхчлен ax² – 2x + b на квадратный трёхчлен x² + ax – 1, то получится многочлен четвёртой степени, в котором коэффициенты при x² и x соответственно равны 8 и –2. Найдите a и b.

Чтобы найти значения a и b, необходимо перемножить заданные квадратные трёхчлены и привести полученное выражение к стандартному виду многочлена.

Выполним умножение $(ax^2 - 2x + b)(x^2 + ax - 1)$:
$(ax^2 - 2x + b)(x^2 + ax - 1) = ax^2(x^2 + ax - 1) - 2x(x^2 + ax - 1) + b(x^2 + ax - 1)$
$= (ax^4 + a^2x^3 - ax^2) - (2x^3 + 2ax^2 - 2x) + (bx^2 + abx - b)$

Теперь сгруппируем слагаемые при одинаковых степенях $x$:
$ax^4 + (a^2 - 2)x^3 + (-a - 2a + b)x^2 + (2 + ab)x - b$
$= ax^4 + (a^2 - 2)x^3 + (b - 3a)x^2 + (ab + 2)x - b$

По условию задачи, коэффициент при $x^2$ равен 8, а коэффициент при $x$ равен -2. На основании этого составим систему уравнений:
$ \begin{cases} b - 3a = 8 \\ ab + 2 = -2 \end{cases} $

Упростим второе уравнение системы:
$ \begin{cases} b - 3a = 8 \\ ab = -4 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b$ через $a$:
$b = 3a + 8$

Подставим полученное выражение для $b$ во второе уравнение:
$a(3a + 8) = -4$
$3a^2 + 8a + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $a$. Найдем дискриминант $D$:
$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$
Корни уравнения:
$a_1 = \frac{-8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 4}{6} = \frac{-12}{6} = -2$
$a_2 = \frac{-8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 4}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения $b$ для каждого из найденных значений $a$, используя формулу $b = 3a + 8$:
1. Если $a = -2$, то $b = 3(-2) + 8 = -6 + 8 = 2$.
2. Если $a = -\frac{2}{3}$, то $b = 3(-\frac{2}{3}) + 8 = -2 + 8 = 6$.

Оба набора значений удовлетворяют условиям задачи.
Ответ: $a = -2, b = 2$ или $a = -\frac{2}{3}, b = 6$.

503. Сумма двух положительных чисел в 5 раз больше их разности. Найдите эти числа, если известно, что разность их квадратов равна 180.

Пусть искомые положительные числа будут $x$ и $y$. Поскольку числа положительные, по условию $x > 0$ и $y > 0$. Чтобы разность была положительной, предположим, что $x > y$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: сумма чисел в 5 раз больше их разности. Это можно записать как:

$x + y = 5(x - y)$

Второе условие: разность их квадратов равна 180. Это записывается как:

$x^2 - y^2 = 180$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x + y = 5(x - y) \\ x^2 - y^2 = 180 \end{cases}$

Сначала упростим первое уравнение:

$x + y = 5x - 5y$

$y + 5y = 5x - x$

$6y = 4x$

Разделив обе части на 2, получим соотношение между $x$ и $y$:

$3y = 2x$ или $x = \frac{3}{2}y$

Теперь преобразуем второе уравнение, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - y)(x + y) = 180$

Из первого уравнения системы мы знаем, что $x + y = 5(x - y)$. Подставим это выражение в преобразованное второе уравнение:

$(x - y) \cdot [5(x - y)] = 180$

$5(x - y)^2 = 180$

$(x - y)^2 = \frac{180}{5}$

$(x - y)^2 = 36$

Поскольку мы предположили, что $x > y$, разность $x - y$ должна быть положительной.

$x - y = \sqrt{36} = 6$

Теперь, зная разность чисел, мы можем легко найти их сумму из первого условия:

$x + y = 5(x - y) = 5 \cdot 6 = 30$

Мы получили простую систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x - y = 6 \\ x + y = 30 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x$:

$(x - y) + (x + y) = 6 + 30$

$2x = 36$

$x = \frac{36}{2} = 18$

Теперь подставим найденное значение $x = 18$ в уравнение $x + y = 30$, чтобы найти $y$:

$18 + y = 30$

$y = 30 - 18 = 12$

Мы нашли искомые числа: 18 и 12. Проведем проверку.

1. Числа 18 и 12 являются положительными.

2. Сумма $18 + 12 = 30$. Разность $18 - 12 = 6$. Отношение суммы к разности: $\frac{30}{6} = 5$. Условие выполняется.

3. Разность квадратов: $18^2 - 12^2 = 324 - 144 = 180$. Условие выполняется.

Ответ: 18 и 12.

504. Произведение двух чисел в 15 раз больше их суммы. Если к первому числу прибавить удвоенное второе число, то получится 100. Найдите эти числа.

Пусть первое искомое число — x, а второе — y.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений. Первое условие "Произведение двух чисел в 15 раз больше их суммы" можно записать как $xy = 15(x + y)$. Второе условие "Если к первому числу прибавить удвоенное второе число, то получится 100" можно записать как $x + 2y = 100$.

Получаем систему:
$\begin{cases} xy = 15(x + y) \\ x + 2y = 100 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим x через y:
$x = 100 - 2y$

Подставим это выражение для x в первое уравнение системы:
$(100 - 2y)y = 15((100 - 2y) + y)$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$100y - 2y^2 = 15(100 - y)$
$100y - 2y^2 = 1500 - 15y$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2 + by + c = 0$:
$2y^2 - 100y - 15y + 1500 = 0$
$2y^2 - 115y + 1500 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-115)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1500 = 13225 - 12000 = 1225$

Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$. Теперь найдем два возможных значения для y:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{115 + 35}{2 \cdot 2} = \frac{150}{4} = 37.5$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{115 - 35}{2 \cdot 2} = \frac{80}{4} = 20$

Для каждого найденного значения y найдем соответствующее значение x по формуле $x = 100 - 2y$.
Если $y_1 = 37.5$, то $x_1 = 100 - 2(37.5) = 100 - 75 = 25$. Первая пара чисел (25; 37.5).
Если $y_2 = 20$, то $x_2 = 100 - 2(20) = 100 - 40 = 60$. Вторая пара чисел (60; 20).

Оба набора чисел удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: 25 и 37.5, или 60 и 20.