Страница 148 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

515. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

а) y – 2x › 2;

б) x + y ‹ –1.

а) $y - 2x > 2$

Для того чтобы изобразить множество решений неравенства на координатной плоскости, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Преобразуем неравенство, выразив $y$ через $x$, чтобы получить вид, удобный для построения графика:$y > 2x + 2$

2. Построим граничную прямую, которая соответствует равенству $y = 2x + 2$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем их координаты:
- при $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0, 2)$.
- при $x = -1$, $y = 2 \cdot (-1) + 2 = -2 + 2 = 0$. Получаем точку $(-1, 0)$.

3. Определим тип линии. Поскольку неравенство строгое (знак $>$), точки, лежащие на самой прямой $y = 2x + 2$, не входят в множество решений. Поэтому граничную прямую следует изображать пунктирной линией.

4. Выберем, какую из двух полуплоскостей, на которые прямая делит плоскость, нужно заштриховать. Для этого возьмем пробную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат $(0, 0)$. Подставим её координаты в исходное неравенство:
$0 - 2 \cdot 0 > 2$
$0 > 2$
Это утверждение ложно. Следовательно, полуплоскость, в которой находится точка $(0, 0)$, не является решением. Решением является противоположная полуплоскость, то есть та, что лежит выше прямой.

Ответ: Множеством решений неравенства является открытая полуплоскость, расположенная выше пунктирной прямой $y = 2x + 2$, которая проходит через точки $(-1, 0)$ и $(0, 2)$.

б) $x + y < -1$

Решим данное неравенство аналогичным образом.

1. Преобразуем неравенство, выразив $y$ через $x$:
$y < -x - 1$

2. Построим граничную прямую $y = -x - 1$. Найдем две точки для построения:
- при $x = 0$, $y = -0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0, -1)$.
- при $x = -1$, $y = -(-1) - 1 = 1 - 1 = 0$. Получаем точку $(-1, 0)$.

3. Так как неравенство строгое (знак $<$), точки на прямой $y = -x - 1$ не являются решениями. Следовательно, прямую нужно изобразить пунктирной линией.

4. Чтобы определить искомую полуплоскость, используем пробную точку $(0, 0)$. Подставляем её координаты в исходное неравенство:
$0 + 0 < -1$
$0 < -1$
Это утверждение ложно. Значит, решением является полуплоскость, которая не содержит начало координат. Это область, расположенная ниже прямой $y = -x - 1$.

Ответ: Множеством решений неравенства является открытая полуплоскость, расположенная ниже пунктирной прямой $y = -x - 1$, которая проходит через точки $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

516. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное неравенством:

а) Неравенство $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 \le 4$ задает на координатной плоскости круг. Чтобы это показать, рассмотрим сначала уравнение, соответствующее границе этой области: $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 4$.
Это каноническое уравнение окружности вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — это координаты центра, а $R$ — это радиус.
В нашем случае, центр окружности находится в точке с координатами $(3, -3)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 4$, следовательно, радиус $R = \sqrt{4} = 2$.
Неравенство является нестрогим ($\le$), это означает, что точки, лежащие на самой окружности, также являются частью решения. Поэтому граница изображается сплошной линией.
Знак "меньше или равно" указывает на то, что решением являются все точки внутри окружности, а также на её границе. Таким образом, искомое множество — это круг.
Графически это круг с центром в точке $(3, -3)$ и радиусом $2$, включая его границу.

Ответ: Круг с центром в точке $(3; -3)$ и радиусом $2$.

б) Неравенство $y \le x^2 - 5x + 6$ задает область на координатной плоскости, границей которой является парабола, заданная уравнением $y = x^2 - 5x + 6$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительный), значит, ветви параболы направлены вверх.
Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = 2.5$.
$y_v = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$.
Вершина параболы находится в точке $(2.5; -0.25)$.
Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (Ox), решив уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Точки пересечения с Ox: $(2; 0)$ и $(3; 0)$.
Неравенство $y \le x^2 - 5x + 6$ нестрогое, поэтому сама парабола включается в множество решений и изображается сплошной линией.
Знак $\le$ означает, что искомое множество точек включает все точки, ординаты ($y$) которых меньше или равны соответствующим значениям на параболе. Это область, расположенная под параболой.
Таким образом, решение — это все точки на параболе $y = x^2 - 5x + 6$ и все точки плоскости, расположенные ниже неё.

Ответ: Множество точек, расположенных на параболе $y = x^2 - 5x + 6$ и ниже неё.

517. Где на координатной плоскости расположены точки, у которых:

а) абсцисса больше ординаты;

б) ордината больше абсциссы?

а) абсцисса больше ординаты;
В декартовой системе координат точка на плоскости задается парой чисел $(x, y)$, где $x$ — это абсцисса (горизонтальная координата), а $y$ — это ордината (вертикальная координата). Условие «абсцисса больше ординаты» можно записать как неравенство $x > y$.
Чтобы понять, где расположены эти точки, рассмотрим границу этой области — прямую, где абсцисса равна ординате: $y = x$. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов и делит всю плоскость на две полуплоскости.
Чтобы определить, какая из полуплоскостей соответствует нашему условию, выберем произвольную контрольную точку, не лежащую на прямой $y=x$. Например, точку $(2, 1)$. Подставим ее координаты в неравенство: $2 > 1$. Неравенство верное. Точка $(2, 1)$ находится ниже прямой $y=x$.
Это означает, что все точки, удовлетворяющие условию $x > y$, находятся в полуплоскости, расположенной ниже прямой $y=x$. Сама прямая не включается в эту область, так как неравенство строгое.
Ответ: Точки, у которых абсцисса больше ординаты, расположены в полуплоскости, лежащей ниже прямой $y=x$.

б) ордината больше абсциссы?
Это условие можно записать в виде неравенства $y > x$.
Границей области, как и в предыдущем случае, является прямая $y=x$. Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости. Мы уже знаем, что полуплоскость ниже этой прямой соответствует неравенству $x > y$.
Следовательно, неравенству $y > x$ соответствует другая полуплоскость, которая находится выше прямой $y=x$.
Для проверки возьмем контрольную точку из этой области, например, $(1, 2)$. Подставим ее координаты в неравенство: $2 > 1$. Неравенство выполняется. Точка $(1, 2)$ действительно лежит выше прямой $y=x$.
Таким образом, все точки, у которых ордината больше абсциссы, расположены в полуплоскости выше прямой $y=x$. Прямая $y=x$ не является частью этой области, так как неравенство строгое.
Ответ: Точки, у которых ордината больше абсциссы, расположены в полуплоскости, лежащей выше прямой $y=x$.

518. Какое множество точек координатной плоскости задаётся неравенством:

а) $x^2 + y^2 - 4x - 8y \le 0$

Чтобы определить, какое множество точек задает это неравенство, преобразуем его, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$. Это позволит привести неравенство к каноническому виду уравнения окружности.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и $y$:

$(x^2 - 4x) + (y^2 - 8y) \le 0$

Дополним каждое выражение в скобках до полного квадрата. Для этого используем формулу сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для слагаемых с $x$: $x^2 - 4x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2$. Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить и отнять $2^2=4$.

$(x^2 - 4x + 4) - 4 = (x-2)^2 - 4$.

Для слагаемых с $y$: $y^2 - 8y = y^2 - 2 \cdot y \cdot 4$. Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить и отнять $4^2=16$.

$(y^2 - 8y + 16) - 16 = (y-4)^2 - 16$.

Подставим полученные выражения обратно в исходное неравенство:

$((x-2)^2 - 4) + ((y-4)^2 - 16) \le 0$

Перенесем свободные члены в правую часть неравенства:

$(x-2)^2 + (y-4)^2 \le 20$

Мы получили неравенство, которое описывает круг. Уравнение $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ задает окружность с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$. В нашем случае центр круга находится в точке $C(2; 4)$, а квадрат радиуса равен $20$. Таким образом, радиус $R = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Знак $\le$ означает, что искомое множество точек включает как точки, лежащие внутри окружности, так и точки на самой окружности (на границе).

Ответ: множество точек, задаваемое данным неравенством, представляет собой круг с центром в точке $(2; 4)$ и радиусом $2\sqrt{5}$, включая его границу.

б) $x^2 - 6x + y + 4 > 0$

Это неравенство содержит $x^2$, но не содержит $y^2$, что указывает на параболу. Чтобы определить множество точек, выразим $y$ через $x$.

Перенесем все члены, кроме $y$, в правую часть неравенства:

$y > -x^2 + 6x - 4$

Это неравенство задает все точки $(x; y)$, ординаты которых больше, чем ординаты точек, лежащих на параболе $y = -x^2 + 6x - 4$. То есть, это область плоскости, расположенная "над" этой параболой. Так как неравенство строгое ($>$), точки на самой параболе не входят в искомое множество.

Определим параметры параболы $y = -x^2 + 6x - 4$.

Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, он отрицательный, значит, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v; y_v)$. Абсцисса вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для нашей параболы $a=-1$, $b=6$.

$x_v = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$.

Найдем ординату вершины, подставив $x_v=3$ в уравнение параболы:

$y_v = -(3)^2 + 6(3) - 4 = -9 + 18 - 4 = 5$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3; 5)$.

Альтернативно, можно было выделить полный квадрат для $x$ в уравнении параболы:

$y = -(x^2 - 6x) - 4 = -(x^2 - 6x + 9 - 9) - 4 = -((x-3)^2 - 9) - 4 = -(x-3)^2 + 9 - 4 = -(x-3)^2 + 5$.

Из канонического вида $y = -(x-3)^2 + 5$ также видно, что вершина находится в точке $(3; 5)$, и ветви направлены вниз.

Итак, искомое множество точек — это все точки координатной плоскости, которые лежат строго выше параболы $y = -x^2 + 6x - 4$.

Ответ: множество точек, задаваемое данным неравенством, представляет собой область плоскости, расположенную над параболой $y = -x^2 + 6x - 4$. Вершина этой параболы находится в точке $(3; 5)$, а ее ветви направлены вниз. Граница (сама парабола) не включается в это множество.

519. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

а) y ≥ |x|;

б) y ≤ |x – 2|.

а) $y \ge |x|$

Чтобы изобразить множество решений данного неравенства, сначала построим график граничной функции $y = |x|$.

По определению модуля, функция $y = |x|$ может быть записана как система: $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Графиком этой функции являются два луча, выходящие из начала координат (точки $(0,0)$):
1. Луч $y = x$ в первой координатной четверти.
2. Луч $y = -x$ во второй координатной четверти.
Вместе они образуют "галочку" (или "угол"), вершина которой находится в точке $(0,0)$.

Теперь вернемся к неравенству $y \ge |x|$. Знак "$\ge$" означает, что точки на самой линии $y = |x|$ являются частью решения, поэтому линия графика будет сплошной.

Чтобы определить, какую область закрашивать (выше или ниже графика), выберем контрольную точку, не лежащую на линии $y = |x|$. Например, возьмем точку $(0, 1)$.

Подставим ее координаты в неравенство:
$1 \ge |0|$
$1 \ge 0$
Это верное неравенство. Следовательно, все точки в полуплоскости, содержащей точку $(0, 1)$, являются решениями. Эта область находится выше графика $y = |x|$.

Ответ: Множеством решений неравенства $y \ge |x|$ является область, расположенная выше графика функции $y = |x|$ (внутри "угла"), включая сам график (лучи $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$).

б) $y \le |x - 2|$

Аналогично предыдущему пункту, сначала построим график граничной функции $y = |x - 2|$.

Этот график можно получить из графика функции $y = |x|$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (оси $Ox$). Вершина "угла" сместится из точки $(0,0)$ в точку $(2,0)$.

Функция $y = |x - 2|$ может быть записана как система:
$y = \begin{cases} x - 2, & \text{если } x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2 \\ -(x - 2), & \text{если } x - 2 < 0 \implies x < 2 \end{cases}$
то есть $y = \begin{cases} x - 2, & \text{если } x \ge 2 \\ -x + 2, & \text{если } x < 2 \end{cases}$

Графиком являются два луча, выходящие из точки $(2,0)$.

В неравенстве $y \le |x - 2|$ используется знак "$\le$", значит, точки на самой линии $y = |x - 2|$ входят в множество решений, и линия графика должна быть сплошной.

Для определения закрашиваемой области выберем контрольную точку, не лежащую на графике. Удобно взять начало координат, точку $(0, 0)$.

Подставим ее координаты в неравенство:
$0 \le |0 - 2|$
$0 \le |-2|$
$0 \le 2$
Это верное неравенство. Значит, область, содержащая точку $(0, 0)$, является решением. Эта область находится ниже графика $y = |x - 2|$.

Ответ: Множеством решений неравенства $y \le |x-2|$ является область, расположенная ниже графика функции $y = |x-2|$ (снаружи "угла"), включая сам график (лучи, выходящие из точки $(2,0)$).

520. Какое множество точек задаёт на координатной плоскости неравенство:

а) (x – 1)(y – 1) ≥ 0;

б) x² – y² › 0?

а)

Данное неравенство $(x - 1)(y - 1) \ge 0$ выполняется, когда оба сомножителя, $(x - 1)$ и $(y - 1)$, имеют одинаковый знак или когда один из них равен нулю. Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: Оба сомножителя неотрицательны.
$ \begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ y - 1 \ge 0 \end{cases} $
Решая эту систему, получаем:
$ \begin{cases} x \ge 1 \\ y \ge 1 \end{cases} $
На координатной плоскости это множество точек представляет собой бесконечную область, расположенную одновременно правее прямой $x=1$ и выше прямой $y=1$. Границы $x=1$ и $y=1$ включены в эту область.

Случай 2: Оба сомножителя неположительны.
$ \begin{cases} x - 1 \le 0 \\ y - 1 \le 0 \end{cases} $
Решая эту систему, получаем:
$ \begin{cases} x \le 1 \\ y \le 1 \end{cases} $
На координатной плоскости это множество точек представляет собой бесконечную область, расположенную одновременно левее прямой $x=1$ и ниже прямой $y=1$. Границы $x=1$ и $y=1$ также включены в эту область.

Общее решение является объединением множеств точек из этих двух случаев. Прямые $x=1$ и $y=1$ делят плоскость на четыре части (угла). Решением являются два вертикальных (противоположных) угла, включая их границы (сами прямые).

Ответ: Объединение двух замкнутых областей: первая определяется системой неравенств $\{x \ge 1, y \ge 1\}$, а вторая — системой $\{x \le 1, y \le 1\}$. Геометрически это два вертикальных угла, образованных пересекающимися прямыми $x=1$ и $y=1$, включая сами прямые.

б)

Рассмотрим неравенство $x^2 - y^2 > 0$. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(x - y)(x + y) > 0$.

Это неравенство выполняется, когда оба сомножителя, $(x - y)$ и $(x + y)$, имеют одинаковый знак. Границами областей являются прямые, где эти выражения равны нулю: $x - y = 0$ (то есть $y = x$) и $x + y = 0$ (то есть $y = -x$). Эти прямые являются биссектрисами координатных углов и делят плоскость на четыре открытых угла.

Случай 1: Оба сомножителя положительны.
$ \begin{cases} x - y > 0 \\ x + y > 0 \end{cases} $
Что равносильно системе:
$ \begin{cases} y < x \\ y > -x \end{cases} $
Это открытая область, заключенная между прямыми $y=x$ и $y=-x$, которая содержит положительную часть оси Ox.

Случай 2: Оба сомножителя отрицательны.
$ \begin{cases} x - y < 0 \\ x + y < 0 \end{cases} $
Что равносильно системе:
$ \begin{cases} y > x \\ y < -x \end{cases} $
Это открытая область, заключенная между прямыми $y=x$ и $y=-x$, которая содержит отрицательную часть оси Ox.

Объединив эти два случая, мы получаем два вертикальных угла, ограниченных прямыми $y=x$ и $y=-x$. Неравенство $x^2 > y^2$ также можно переписать как $|x| > |y|$, что означает, что искомое множество состоит из всех точек, у которых модуль абсциссы больше модуля ординаты.

Ответ: Множество точек, расположенных внутри двух вертикальных углов, образованных пересечением прямых $y=x$ и $y=-x$ и содержащих ось абсцисс. Границы углов (сами прямые $y=x$ и $y=-x$) в это множество не входят.

521. Докажите, что неравенством |x| + |y| ≤ 1 на координатной плоскости задаётся фигура, изображённая на рисунке 66.

Для доказательства того, что неравенство $|x| + |y| \le 1$ задаёт на координатной плоскости фигуру, изображённую на рисунке, необходимо рассмотреть, как раскрываются модули в зависимости от знаков переменных $x$ и $y$. Это разбивает плоскость на четыре координатных квадранта.

1. Первый квадрант: $x \ge 0, y \ge 0$

В этом случае $|x| = x$ и $|y| = y$. Исходное неравенство принимает вид:

$x + y \le 1$

Это неравенство определяет область, лежащую на и под прямой $y = 1 - x$. Вместе с условиями $x \ge 0$ и $y \ge 0$ это задаёт треугольник с вершинами в точках (0, 0), (1, 0) и (0, 1). Эта область совпадает с частью фигуры, расположенной в первом квадранте.

2. Второй квадрант: $x < 0, y \ge 0$

В этом случае $|x| = -x$ и $|y| = y$. Неравенство принимает вид:

$-x + y \le 1$

Это определяет область на и под прямой $y = x + 1$. Вместе с условиями $x < 0$ и $y \ge 0$ это задаёт треугольник с вершинами в точках (0, 0), (-1, 0) и (0, 1). Эта область совпадает с частью фигуры, расположенной во втором квадранте.

3. Третий квадрант: $x < 0, y < 0$

В этом случае $|x| = -x$ и $|y| = -y$. Неравенство принимает вид:

$-x - y \le 1$

Это эквивалентно неравенству $x + y \ge -1$, которое определяет область на и над прямой $y = -x - 1$. Вместе с условиями $x < 0$ и $y < 0$ это задаёт треугольник с вершинами в точках (0, 0), (-1, 0) и (0, -1). Эта область совпадает с частью фигуры, расположенной в третьем квадранте.

4. Четвёртый квадрант: $x \ge 0, y < 0$

В этом случае $|x| = x$ и $|y| = -y$. Неравенство принимает вид:

$x - y \le 1$

Это эквивалентно неравенству $y \ge x - 1$, которое определяет область на и над прямой $y = x - 1$. Вместе с условиями $x \ge 0$ и $y < 0$ это задаёт треугольник с вершинами в точках (0, 0), (1, 0) и (0, -1). Эта область совпадает с частью фигуры, расположенной в четвёртом квадранте.

Объединение четырёх полученных треугольных областей образует замкнутую фигуру — квадрат с вершинами в точках (1, 0), (0, 1), (-1, 0) и (0, -1). Эта фигура полностью совпадает с изображённой на рисунке. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказательство основано на рассмотрении неравенства в каждом из четырёх координатных квадрантов. В каждом квадранте после раскрытия модулей получается линейное неравенство, которое вместе с условиями квадранта ($x \ge 0, y \ge 0$ и т.д.) определяет треугольную область. Объединение этих четырёх треугольных областей (для I, II, III и IV квадрантов) и образует заштрихованный квадрат с вершинами в точках (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1), что соответствует фигуре на рисунке.

522. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

а)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 25, \\ xy \le 0; \end{cases} $

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 25$ задает множество точек на координатной плоскости, расстояние от которых до начала координат $(0,0)$ не превышает 5. Геометрически это замкнутый круг с центром в точке $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$. Граница круга, то есть окружность $x^2 + y^2 = 25$, также является частью решения.

Второе неравенство $xy \le 0$ выполняется, когда переменные $x$ и $y$ имеют разные знаки или хотя бы одна из них равна нулю. Это соответствует точкам, расположенным во второй ($x \le 0, y \ge 0$) и четвертой ($x \ge 0, y \le 0$) координатных четвертях. Оси координат ($x=0$ или $y=0$) также входят в это множество.

Решением системы является пересечение множеств, заданных каждым из неравенств. Таким образом, искомое множество точек — это часть круга радиусом 5 с центром в начале координат, которая лежит во второй и четвертой координатных четвертях. Поскольку неравенства нестрогие, границы (дуги окружности и отрезки осей координат внутри круга) также включаются в решение.

Ответ: Множество решений представляет собой два замкнутых сектора круга радиусом 5 с центром в начале координат, расположенные во второй и четвертой координатных четвертях.

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 \ge 9, \\ xy \ge 0. \end{cases} $

Первое неравенство $x^2 + y^2 \ge 9$ задает множество точек на координатной плоскости, расстояние от которых до начала координат $(0,0)$ не меньше 3. Геометрически это вся плоскость, за исключением открытого круга с центром в точке $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$. Граница, то есть окружность $x^2 + y^2 = 9$, является частью решения.

Второе неравенство $xy \ge 0$ выполняется, когда переменные $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки или хотя бы одна из них равна нулю. Это соответствует точкам, расположенным в первой ($x \ge 0, y \ge 0$) и третьей ($x \le 0, y \le 0$) координатных четвертях. Оси координат ($x=0$ или $y=0$) также входят в это множество.

Решением системы является пересечение этих двух множеств. Искомое множество точек — это часть первой и третьей координатных четвертей, из которой исключены точки, находящиеся внутри круга радиусом 3. Поскольку неравенства нестрогие, границы (дуги окружности и части осей координат вне круга) также включаются в решение.

Ответ: Множество решений представляет собой часть координатной плоскости, расположенную в первой и третьей координатных четвертях, из которой удален открытый круг радиусом 3 с центром в начале координат.

523. Укажите какие-нибудь значения k и b, при которых система неравенств задаёт на координатной плоскости:

а) полосу;

б) угол.

а) Чтобы система неравенств задавала на координатной плоскости полосу, граничные прямые $y = 2x + 3$ и $y = kx + b$ должны быть параллельны. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент первой прямой равен 2, значит, и угловой коэффициент второй прямой должен быть равен 2. Таким образом, $k = 2$.
Система примет вид:
$y \le 2x + 3$
$y \ge 2x + b$
Это можно записать в виде двойного неравенства: $2x + b \le y \le 2x + 3$. Чтобы эта область была непустой полосой, прямая $y = 2x + b$ должна располагаться ниже прямой $y = 2x + 3$. Так как прямые параллельны, это условие выполняется, если свободный член $b$ меньше свободного члена 3, то есть $b < 3$. Если $b = 3$, то решением будет одна прямая (вырожденная полоса), а при $b > 3$ система решений иметь не будет.
Можно выбрать любые значения, удовлетворяющие этим условиям. Например, возьмем $k=2$ и $b=0$.
Ответ: $k=2, b=0$.

б) Чтобы система неравенств задавала на координатной плоскости угол, граничные прямые $y = 2x + 3$ и $y = kx + b$ должны пересекаться. Две прямые пересекаются, если их угловые коэффициенты не равны. Угловой коэффициент первой прямой равен 2, следовательно, угловой коэффициент второй прямой не должен быть равен 2, то есть $k \neq 2$.
При этом условии прямые будут пересекаться при любом значении параметра $b$, так как он отвечает лишь за сдвиг прямой вдоль оси ординат и не влияет на угол наклона.
Можно выбрать любые значения, удовлетворяющие этим условиям. Например, возьмем $k=1$ и $b=1$.
Ответ: $k=1, b=1$.

524. Каким множеством точек изображается множество решений неравенства:

а) Рассматриваем неравенство $y(x^2 + y^2 - 1) \ge 0$.

Данное неравенство представляет собой произведение двух множителей. Произведение неотрицательно, если оба множителя имеют одинаковый знак (оба неотрицательны или оба неположительны), либо один из них равен нулю. Это равносильно совокупности двух систем неравенств:

1) $y \ge 0$ и $x^2 + y^2 - 1 \ge 0$

2) $y \le 0$ и $x^2 + y^2 - 1 \le 0$

Рассмотрим первую систему. Неравенство $y \ge 0$ задает верхнюю полуплоскость, включая горизонтальную ось Ox. Второе неравенство, $x^2 + y^2 \ge 1$, задает множество точек, лежащих на и вне окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $r=1$. Решением этой системы является пересечение указанных множеств, то есть все точки верхней полуплоскости, которые лежат на или вне единичной окружности.

Рассмотрим вторую систему. Неравенство $y \le 0$ задает нижнюю полуплоскость, включая ось Ox. Второе неравенство, $x^2 + y^2 \le 1$, задает замкнутый круг с центром в начале координат и радиусом $r=1$. Решением этой системы является пересечение указанных множеств, то есть все точки этого круга, которые лежат в нижней полуплоскости.

Искомое множество точек является объединением решений обеих систем, включая границы, так как неравенство нестрогое.

Ответ: Множество решений представляет собой объединение двух областей: 1) множества точек, для которых $y \ge 0$ и $x^2+y^2 \ge 1$ (часть плоскости в верхней полуплоскости, включая ось Ox, лежащая на или вне единичной окружности); 2) множества точек, для которых $y \le 0$ и $x^2+y^2 \le 1$ (часть замкнутого единичного круга, лежащая в нижней полуплоскости, включая ось Ox). Границы областей (ось Ox и окружность $x^2 + y^2 = 1$) включены в решение.

б) Рассматриваем неравенство $x(x^2 - y) \le 0$.

Произведение двух множителей неположительно, если они имеют разные знаки, либо один из них равен нулю. Это равносильно совокупности двух систем неравенств:

1) $x \ge 0$ и $x^2 - y \le 0$

2) $x \le 0$ и $x^2 - y \ge 0$

Рассмотрим первую систему. Неравенство $x \ge 0$ задает правую полуплоскость, включая вертикальную ось Oy. Второе неравенство можно переписать в виде $y \ge x^2$. Оно задает множество точек, лежащих на и выше параболы $y = x^2$. Решением этой системы является пересечение указанных множеств: все точки, лежащие в правой полуплоскости на или выше параболы $y = x^2$.

Рассмотрим вторую систему. Неравенство $x \le 0$ задает левую полуплоскость, включая ось Oy. Второе неравенство можно переписать в виде $y \le x^2$. Оно задает множество точек, лежащих на и ниже параболы $y = x^2$. Решением этой системы является пересечение указанных множеств: все точки, лежащие в левой полуплоскости на или ниже параболы $y = x^2$.

Искомое множество точек является объединением решений обеих систем, включая границы, так как неравенство нестрогое.

Ответ: Множество решений представляет собой объединение двух областей: 1) множества точек, для которых $x \ge 0$ и $y \ge x^2$ (область, ограниченная снизу ветвью параболы $y=x^2$ и слева осью Oy); 2) множества точек, для которых $x \le 0$ и $y \le x^2$ (область, ограниченная сверху ветвью параболы $y=x^2$ и справа осью Oy). Границы областей (ось Oy и парабола $y = x^2$) включены в решение.