Номер 567, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Определение арифметической прогрессии. Формула п-го члена арифметической прогрессии. Параграф 9. Арифметическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 567, страница 159.

Условие.

567. Решите неравенство:

а) (2x – 1)(x + 8) › 0;

б) (33 – x)(16 + 2x) ≤ 0.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $(2x - 1)(x + 8) > 0$

Для решения этого квадратного неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения, приравняв левую часть к нулю:

$(2x - 1)(x + 8) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_1 = \frac{1}{2}$

2) $x + 8 = 0 \implies x_2 = -8$

Теперь отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут "выколотыми", то есть не будут входить в решение. Точки $-8$ и $\frac{1}{2}$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}; +\infty)$.

Определим знак выражения $(2x - 1)(x + 8)$ на каждом из интервалов, выбрав пробную точку из каждого интервала:

• При $x \in (-\infty; -8)$, например $x = -10$: $(2(-10) - 1)(-10 + 8) = (-21)(-2) = 42 > 0$. Знак "+".
• При $x \in (-8; \frac{1}{2})$, например $x = 0$: $(2(0) - 1)(0 + 8) = (-1)(8) = -8 < 0$. Знак "-".
• При $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$, например $x = 1$: $(2(1) - 1)(1 + 8) = (1)(9) = 9 > 0$. Знак "+".

Поскольку мы решаем неравенство $(2x - 1)(x + 8) > 0$, нас интересуют интервалы, где выражение положительно. Это интервалы $(-\infty; -8)$ и $(\frac{1}{2}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

б) $(33 - x)(16 + 2x) \le 0$

Решим это неравенство также методом интервалов. Найдем корни, приравняв левую часть к нулю:

$(33 - x)(16 + 2x) = 0$

1) $33 - x = 0 \implies x_1 = 33$

2) $16 + 2x = 0 \implies 2x = -16 \implies x_2 = -8$

Отметим точки $-8$ и $33$ на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки будут "закрашенными", то есть они включаются в решение. Эти точки разбивают прямую на интервалы.

Чтобы не запутаться со знаками, преобразуем неравенство так, чтобы коэффициенты при $x$ в каждом множителе были положительными. Вынесем $-1$ из первой скобки и $2$ из второй:

$-(x - 33) \cdot 2(x + 8) \le 0$

$-2(x - 33)(x + 8) \le 0$

Разделим обе части на $-2$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$(x - 33)(x + 8) \ge 0$

Теперь определим знаки выражения $(x - 33)(x + 8)$ на интервалах, образованных корнями $-8$ и $33$.

• При $x \in (-\infty; -8)$, например $x = -10$: $(-10 - 33)(-10 + 8) = (-43)(-2) = 86 > 0$. Знак "+".
• При $x \in (-8; 33)$, например $x = 0$: $(0 - 33)(0 + 8) = (-33)(8) = -264 < 0$. Знак "-".
• При $x \in (33; +\infty)$, например $x = 40$: $(40 - 33)(40 + 8) = (7)(48) = 336 > 0$. Знак "+".

Мы ищем решения неравенства $(x - 33)(x + 8) \ge 0$, то есть интервалы, где выражение положительно или равно нулю. Это интервалы $(-\infty; -8]$ и $[33; +\infty]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -8] \cup [33; +\infty]$.