Номер 566, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 9. Арифметическая прогрессия. 27. Определение арифметической прогрессии. Формула п-го члена арифметической прогрессии - номер 566, страница 159.

Условие.

566. Решите уравнение:

а) x³ + 4x² – 32x = 0;

б) x³ – 10x² + 4x – 40 = 0.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $x^3 + 4x^2 - 32x = 0$

Для решения данного кубического уравнения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 + 4x - 32) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит нас к двум уравнениям:

1) $x_1 = 0$

2) $x^2 + 4x - 32 = 0$

Решим второе уравнение, которое является квадратным. Для этого найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_2 = \frac{-4 - 12}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8$

$x_3 = \frac{-4 + 12}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня: -8, 0 и 4.

Ответ: $-8; 0; 4$.

б) $x^3 - 10x^2 + 4x - 40 = 0$

Для решения этого уравнения применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(x^3 - 10x^2) + (4x - 40) = 0$

Из первой группы вынесем общий множитель $x^2$, а из второй — $4$:

$x^2(x - 10) + 4(x - 10) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(x - 10)$, который можно вынести за скобки:

$(x - 10)(x^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $x - 10 = 0 \implies x_1 = 10$

2) $x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4$

Второе уравнение $x^2 = -4$ не имеет решений в множестве действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, у исходного уравнения есть только один действительный корень.

Ответ: $10$.