Номер 563, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Определение арифметической прогрессии. Формула п-го члена арифметической прогрессии. Параграф 9. Арифметическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 563, страница 159.

Условие.

563. Является ли арифметической прогрессией последовательность (aₙ), заданная формулой:

Решение 1.

Решение 8.

Последовательность $(a_n)$ является арифметической прогрессией, если разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом постоянна. То есть, если существует такое число $d$, что для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{n+1} - a_n = d$. Число $d$ называют разностью арифметической прогрессии.

Проверим каждую из заданных последовательностей на соответствие этому определению.

а) $a_n = 3n + 1$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = 3(n+1) + 1 = 3n + 3 + 1 = 3n + 4$.

Теперь найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$: $d = (3n + 4) - (3n + 1) = 3n + 4 - 3n - 1 = 3$.

Разность $d=3$ является постоянной величиной (не зависит от $n$). Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: да, является.

б) $a_n = n^2 - 5$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = (n+1)^2 - 5 = (n^2 + 2n + 1) - 5 = n^2 + 2n - 4$.

Найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$: $d = (n^2 + 2n - 4) - (n^2 - 5) = n^2 + 2n - 4 - n^2 + 5 = 2n + 1$.

Разность $d = 2n + 1$ зависит от $n$, следовательно, она не является постоянной. Для проверки можно вычислить первые несколько членов: $a_1 = 1^2 - 5 = -4$, $a_2 = 2^2 - 5 = -1$, $a_3 = 3^2 - 5 = 4$. Разности соседних членов: $a_2 - a_1 = -1 - (-4) = 3$, $a_3 - a_2 = 4 - (-1) = 5$. Так как $3 \neq 5$, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: нет, не является.

в) $a_n = n + 4$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = (n+1) + 4 = n + 5$.

Найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$: $d = (n + 5) - (n + 4) = n + 5 - n - 4 = 1$.

Разность $d=1$ является постоянной величиной. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: да, является.

г) $a_n = \frac{1}{n+4}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)+4} = \frac{1}{n+5}$.

Найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$: $d = \frac{1}{n+5} - \frac{1}{n+4} = \frac{n+4 - (n+5)}{(n+5)(n+4)} = \frac{-1}{(n+5)(n+4)}$.

Разность $d = \frac{-1}{(n+5)(n+4)}$ зависит от $n$, следовательно, она не является постоянной. Например, $a_1 = \frac{1}{5}$, $a_2 = \frac{1}{6}$. Разность $a_2 - a_1 = \frac{1}{6} - \frac{1}{5} = -\frac{1}{30}$. А $a_3 = \frac{1}{7}$, разность $a_3 - a_2 = \frac{1}{7} - \frac{1}{6} = -\frac{1}{42}$. Так как $-\frac{1}{30} \neq -\frac{1}{42}$, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: нет, не является.

д) $a_n = -0,5n + 1$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = -0,5(n+1) + 1 = -0,5n - 0,5 + 1 = -0,5n + 0,5$.

Найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$: $d = (-0,5n + 0,5) - (-0,5n + 1) = -0,5n + 0,5 + 0,5n - 1 = -0,5$.

Разность $d=-0,5$ является постоянной величиной. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: да, является.

е) $a_n = 6n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $a_{n+1} = 6(n+1) = 6n + 6$.

Найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$: $d = (6n + 6) - 6n = 6$.

Разность $d=6$ является постоянной величиной. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: да, является.