Номер 4, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 9. Арифметическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 4, страница 166.

Условие.

4. Запишите формулы n-го члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Решение 1.

Решение 8.

Формула n-го члена

Арифметическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой каждый последующий член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным числом $d$. Это число $d$ называется разностью прогрессии. Для нахождения любого (n-го) члена прогрессии ($a_n$) используется формула, которая напрямую следует из этого определения.

Если $a_1$ — первый член, то второй член $a_2 = a_1 + d$, третий $a_3 = a_1 + 2d$, и так далее. Чтобы найти n-й член, необходимо к первому члену $a_1$ прибавить разность $d$ ровно $(n-1)$ раз. Это приводит к общей формуле:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Здесь $a_n$ — искомый n-й член, $a_1$ — первый член, $n$ — порядковый номер члена, а $d$ — разность прогрессии.

Ответ: $a_n = a_1 + (n-1)d$

Формула суммы первых n членов

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии ($S_n$) — это результат сложения всех её членов с первого по n-й. Для её вычисления существуют две основные, взаимозаменяемые формулы.

Первая формула удобна, когда известны первый ($a_1$) и последний ($a_n$) из суммируемых членов. Сумма в этом случае равна среднему арифметическому первого и последнего членов, умноженному на их количество $n$:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Вторая формула используется, когда известен первый член ($a_1$) и разность прогрессии ($d$), но неизвестен последний член $a_n$. Она выводится из первой путем подстановки в нее формулы n-го члена ($a_n = a_1 + (n-1)d$):

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

В этих формулах $S_n$ — искомая сумма, $a_1$ — первый член, $a_n$ — n-й член, $d$ — разность, а $n$ — количество членов.

Ответ: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ и $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$