Номер 594, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

594. Найдите шестой и n-й члены геометрической прогрессии:

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

а)

Дана геометрическая прогрессия $48; 12; \dots$

Первый член прогрессии $b_1 = 48$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{12}{48} = \frac{1}{4}$

Теперь найдем шестой член прогрессии ($n=6$):

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = 48 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^5 = 48 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{48}{1024} = \frac{3 \cdot 16}{64 \cdot 16} = \frac{3}{64}$

Запишем формулу для n-го члена этой прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 48 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$

Ответ: $b_6 = \frac{3}{64}$, $b_n = 48 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$.

б)

Дана геометрическая прогрессия $\frac{64}{9}; -\frac{32}{3}; \dots$

Первый член прогрессии $b_1 = \frac{64}{9}$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-32/3}{64/9} = -\frac{32}{3} \cdot \frac{9}{64} = -\frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 64} = -\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = -\frac{3}{2}$

Теперь найдем шестой член прогрессии ($n=6$):

$b_6 = b_1 \cdot q^5 = \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^5 = \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{243}{32}\right) = -\frac{64 \cdot 243}{9 \cdot 32} = -(2 \cdot 27) = -54$

Запишем формулу для n-го члена этой прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1}$

Ответ: $b_6 = -54$, $b_n = \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1}$.

в)

Дана геометрическая прогрессия $-0,001; -0,01; \dots$

Первый член прогрессии $b_1 = -0,001$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-0,01}{-0,001} = 10$

Теперь найдем шестой член прогрессии ($n=6$):

$b_6 = b_1 \cdot q^5 = -0,001 \cdot 10^5 = -0,001 \cdot 100000 = -100$

Запишем формулу для n-го члена этой прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = -0,001 \cdot 10^{n-1} = -10^{-3} \cdot 10^{n-1} = -10^{n-3-1} = -10^{n-4}$

Ответ: $b_6 = -100$, $b_n = -10^{n-4}$.

г)

Дана геометрическая прогрессия $-100; 10; \dots$

Первый член прогрессии $b_1 = -100$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{10}{-100} = -0,1$

Теперь найдем шестой член прогрессии ($n=6$):

$b_6 = b_1 \cdot q^5 = -100 \cdot (-0,1)^5 = -100 \cdot (-0,00001) = 0,001$

Запишем формулу для n-го члена этой прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = -100 \cdot (-0,1)^{n-1}$

Ответ: $b_6 = 0,001$, $b_n = -100 \cdot (-0,1)^{n-1}$.