Номер 595, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 595, страница 172.

Условие.

595. В треугольнике АВС (рис. 72) провели среднюю линию А₁С₁, в треугольнике А₁ВС₁ также провели среднюю линию А₂С₂, во вновь образовавшемся треугольнике А₂ВС₂ снова провели среднюю линию А₃С₃ и т. д. Найдите площадь треугольника А₉ВС₉, если известно, что площадь треугольника АВС равна 768 см².

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Согласно условию задачи, в треугольнике $ABC$ проведена средняя линия $A_1C_1$. Это означает, что точки $A_1$ и $C_1$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Треугольник $A_1BC_1$ подобен треугольнику $ABC$ (по двум сторонам и углу между ними: угол $B$ общий, а $BA_1 = \frac{1}{2}BA$ и $BC_1 = \frac{1}{2}BC$).

Коэффициент подобия этих треугольников равен $k = \frac{BA_1}{BA} = \frac{1}{2}$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{\triangle A_1BC_1}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Следовательно, площадь треугольника $A_1BC_1$ составляет $\frac{1}{4}$ от площади треугольника $ABC$:

$S_{\triangle A_1BC_1} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC}$

Далее, в треугольнике $A_1BC_1$ проводится средняя линия $A_2C_2$, образуя треугольник $A_2BC_2$. По аналогии, его площадь будет в 4 раза меньше площади треугольника $A_1BC_1$:

$S_{\triangle A_2BC_2} = \frac{1}{4} S_{\triangle A_1BC_1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{4} S_{\triangle ABC}) = (\frac{1}{4})^2 S_{\triangle ABC}$

Этот процесс повторяется. Мы можем заметить закономерность: площадь треугольника $A_nBC_n$ связана с площадью исходного треугольника $ABC$ следующей формулой:

$S_{\triangle A_nBC_n} = (\frac{1}{4})^n S_{\triangle ABC}$

Нам нужно найти площадь треугольника $A_9BC_9$. Для этого воспользуемся полученной формулой при $n=9$ и известной площади $S_{\triangle ABC} = 768$ см².

$S_{\triangle A_9BC_9} = (\frac{1}{4})^9 \times S_{\triangle ABC} = \frac{1}{4^9} \times 768$

Для упрощения вычислений представим числа в виде степеней двойки:

$4^9 = (2^2)^9 = 2^{18}$

$768 = 3 \times 256 = 3 \times 2^8$

Теперь подставим эти значения в формулу:

$S_{\triangle A_9BC_9} = \frac{3 \times 2^8}{2^{18}} = 3 \times 2^{8-18} = 3 \times 2^{-10} = \frac{3}{2^{10}} = \frac{3}{1024}$

Таким образом, площадь треугольника $A_9BC_9$ равна $\frac{3}{1024}$ см².

Ответ: $\frac{3}{1024}$ см².