Номер 599, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 599, страница 172.

Условие.

599. Последовательность (bₙ) — геометрическая прогрессия. Найдите:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Найти $b_6$, если $b_1 = 125$, $b_3 = 5$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ – знаменатель прогрессии.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$. Используем формулу для $b_3$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

Подставим известные значения:

$5 = 125 \cdot q^2$

Отсюда найдем $q^2$:

$q^2 = \frac{5}{125} = \frac{1}{25}$

Это означает, что знаменатель прогрессии $q$ может принимать два значения: $q = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$ или $q = -\sqrt{\frac{1}{25}} = -\frac{1}{5}$.

Теперь найдем $b_6$. Для этого можно использовать более общую формулу, связывающую любые два члена прогрессии: $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$. Выразим $b_6$ через $b_3$:

$b_6 = b_3 \cdot q^{6-3} = b_3 \cdot q^3$

Рассмотрим оба возможных случая для $q$:

1. Если $q = \frac{1}{5}$, то $b_6 = 5 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3 = 5 \cdot \frac{1}{125} = \frac{5}{125} = \frac{1}{25}$.

2. Если $q = -\frac{1}{5}$, то $b_6 = 5 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^3 = 5 \cdot \left(-\frac{1}{125}\right) = -\frac{5}{125} = -\frac{1}{25}$.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $b_6 = \frac{1}{25}$ или $b_6 = -\frac{1}{25}$.

б) Найти $b_7$, если $b_1 = -\frac{2}{9}$, $b_3 = -2$.

Сначала найдем квадрат знаменателя прогрессии $q^2$, используя формулу $b_3 = b_1 \cdot q^2$.

Подставим известные значения:

$-2 = \left(-\frac{2}{9}\right) \cdot q^2$

Выразим $q^2$:

$q^2 = \frac{-2}{-\frac{2}{9}} = 2 \cdot \frac{9}{2} = 9$

Теперь найдем $b_7$. Удобно выразить $b_7$ через $b_3$, используя формулу $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$:

$b_7 = b_3 \cdot q^{7-3} = b_3 \cdot q^4$

Мы знаем, что $q^2 = 9$, следовательно $q^4 = (q^2)^2 = 9^2 = 81$.

Теперь можем вычислить $b_7$:

$b_7 = -2 \cdot 81 = -162$.

В данном случае, хотя $q$ может быть как $3$, так и $-3$, значение $b_7$ однозначно, так как оно зависит от $q^4$, а четная степень числа не зависит от его знака.

Ответ: $b_7 = -162$.

в) Найти $b_1$, если $b_4 = -1$, $b_6 = -100$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$. Используем формулу $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$ для $n=6$ и $k=4$:

$b_6 = b_4 \cdot q^{6-4} = b_4 \cdot q^2$

Подставим известные значения:

$-100 = -1 \cdot q^2$

Отсюда $q^2 = 100$.

Это означает, что знаменатель $q$ может быть равен $10$ или $-10$.

Теперь найдем $b_1$. Используем формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Выразим $b_1$:

$b_1 = \frac{b_4}{q^3}$

Рассмотрим оба возможных случая для $q$:

1. Если $q = 10$, то $b_1 = \frac{-1}{10^3} = \frac{-1}{1000} = -0,001$.

2. Если $q = -10$, то $b_1 = \frac{-1}{(-10)^3} = \frac{-1}{-1000} = \frac{1}{1000} = 0,001$.

Таким образом, задача снова имеет два возможных решения.

Ответ: $b_1 = -0,001$ или $b_1 = 0,001$.