Номер 577, страница 165 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

577. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с шестого по двадцать пятый включительно, если первый член равен 21 и разность равна –0,5.

По условию задачи дана арифметическая прогрессия со следующими параметрами:

• Первый член прогрессии $a_1 = 21$.
• Разность прогрессии $d = -0,5$.

Необходимо найти сумму членов этой прогрессии с шестого ($a_6$) по двадцать пятый ($a_{25}$) включительно.

Для решения задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Вычисление суммы как для новой прогрессии

Мы можем рассматривать последовательность членов с $a_6$ по $a_{25}$ как отдельную арифметическую прогрессию. Чтобы найти её сумму, нам нужно знать её первый член ($a_6$), последний член ($a_{25}$) и количество членов ($n$).

1. Найдём шестой член прогрессии по формуле n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_6 = 21 + (6-1) \cdot (-0,5) = 21 + 5 \cdot (-0,5) = 21 - 2,5 = 18,5$.

2. Найдём двадцать пятый член прогрессии:
$a_{25} = 21 + (25-1) \cdot (-0,5) = 21 + 24 \cdot (-0,5) = 21 - 12 = 9$.

3. Определим количество членов в искомой сумме:
$n = 25 - 6 + 1 = 20$ членов.

4. Вычислим сумму по формуле $S = \frac{a_n + a_k}{2} \cdot (k-n+1)$:
$S = \frac{a_6 + a_{25}}{2} \cdot n = \frac{18,5 + 9}{2} \cdot 20 = \frac{27,5}{2} \cdot 20 = 13,75 \cdot 20 = 275$.

Способ 2: Вычисление через разность сумм

Искомую сумму можно также найти, если из суммы первых двадцати пяти членов прогрессии ($S_{25}$) вычесть сумму первых пяти членов ($S_5$).

1. Найдём сумму первых 25 членов по формуле $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$ :
$S_{25} = \frac{2 \cdot 21 + (25-1) \cdot (-0,5)}{2} \cdot 25 = \frac{42 - 12}{2} \cdot 25 = \frac{30}{2} \cdot 25 = 15 \cdot 25 = 375$.

2. Найдём сумму первых 5 членов:
$S_5 = \frac{2 \cdot 21 + (5-1) \cdot (-0,5)}{2} \cdot 5 = \frac{42 - 2}{2} \cdot 5 = \frac{40}{2} \cdot 5 = 20 \cdot 5 = 100$.

3. Найдём искомую сумму как разность $S_{25}$ и $S_5$:
$S = S_{25} - S_5 = 375 - 100 = 275$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 275