Страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

629. Проверьте, что при n = 1, 2, 3 верна формула

Докажите, что эта формула верна при любом натуральном n.

Проверьте, что при n = 1, 2, 3 верна формула

Требуется проверить справедливость равенства $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ для первых трех натуральных чисел.

Для n = 1:
Левая часть (сумма): $1^3 = 1$.
Правая часть (формула): $\frac{1^2(1+1)^2}{4} = \frac{1 \cdot 2^2}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Так как $1=1$, равенство верно.

Для n = 2:
Левая часть: $1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9$.
Правая часть: $\frac{2^2(2+1)^2}{4} = \frac{4 \cdot 3^2}{4} = \frac{36}{4} = 9$.
Так как $9=9$, равенство верно.

Для n = 3:
Левая часть: $1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36$.
Правая часть: $\frac{3^2(3+1)^2}{4} = \frac{9 \cdot 4^2}{4} = \frac{9 \cdot 16}{4} = 36$.
Так как $36=36$, равенство верно.

Ответ: Проверка показала, что формула верна для $n = 1, 2, 3$.

Докажите, что эта формула верна при любом натуральном n

Доказательство проведем методом математической индукции. Обозначим утверждение, которое нужно доказать, как $P(n)$: $P(n): 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.

Шаг 1: База индукции
Проверим истинность утверждения $P(1)$. При $n=1$, левая часть равна $1^3 = 1$. Правая часть равна $\frac{1^2(1+1)^2}{4} = 1$. Утверждение $P(1)$ истинно, база индукции установлена.

Шаг 2: Индукционное предположение
Предположим, что утверждение $P(k)$ истинно для некоторого произвольного натурального числа $k \ge 1$. То есть, мы предполагаем, что верно равенство: $1^3 + 2^3 + ... + k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}$.

Шаг 3: Индукционный переход
Нам нужно доказать, что из истинности $P(k)$ следует истинность $P(k+1)$. Утверждение $P(k+1)$ выглядит так: $1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}$.

Рассмотрим левую часть этого равенства. Выделим в ней сумму кубов от 1 до $k$: $LHS = (1^3 + 2^3 + ... + k^3) + (k+1)^3$.

Согласно индукционному предположению (Шаг 2), заменим сумму в скобках: $LHS = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3$.

Теперь преобразуем это выражение. Приведем к общему знаменателю и вынесем общий множитель $(k+1)^2$: $LHS = \frac{k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3}{4} = \frac{(k+1)^2 [k^2 + 4(k+1)]}{4}$.

Раскроем скобки в числителе: $LHS = \frac{(k+1)^2 (k^2 + 4k + 4)}{4}$.

Выражение в скобках, $k^2 + 4k + 4$, является полным квадратом $(k+2)^2$. Подставим его обратно: $LHS = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$.

Это выражение в точности совпадает с правой частью утверждения $P(k+1)$. Таким образом, индукционный переход доказан.

Так как база индукции верна и индукционный переход доказан, по принципу математической индукции формула верна для любого натурального числа $n$.

Ответ: Формула доказана для всех натуральных $n$ методом математической индукции.

630. Докажите, что при любом натуральном n верно равенство

Докажем данное равенство методом математической индукции.

Пусть $S_n = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1)$. Требуется доказать, что $S_n = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ для любого натурального $n$.

1. База индукции

Проверим утверждение для $n=1$.

Левая часть равенства: $S_1 = 1 \cdot (1+1) = 1 \cdot 2 = 2$.

Правая часть равенства: $\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot (1+1) \cdot (1+2) = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 2$.

Поскольку $2=2$, равенство верно для $n=1$.

2. Индукционное предположение

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$. То есть, предположим, что верно:

$S_k = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k+1) = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2)$.

3. Индукционный переход

Докажем, что из справедливости равенства для $n=k$ следует его справедливость для $n=k+1$. То есть, нам нужно доказать, что:

$S_{k+1} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k+1) + (k+1)(k+2) = \frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$:

$S_{k+1} = \left(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k+1)\right) + (k+1)(k+2)$.

Используя индукционное предположение, заменим сумму в скобках:

$S_{k+1} = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2)$.

Вынесем общий множитель $(k+1)(k+2)$ за скобки:

$S_{k+1} = (k+1)(k+2) \left(\frac{1}{3}k + 1\right)$.

Преобразуем выражение в скобках, приведя к общему знаменателю:

$\frac{1}{3}k + 1 = \frac{k}{3} + \frac{3}{3} = \frac{k+3}{3}$.

Подставим полученное выражение обратно:

$S_{k+1} = (k+1)(k+2) \cdot \frac{k+3}{3} = \frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)$.

Мы получили выражение, которое совпадает с правой частью равенства для $n=k+1$. Таким образом, индукционный переход доказан.

Заключение

Поскольку база индукции верна и индукционный переход доказан, по принципу математической индукции исходное равенство верно для любого натурального числа $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

631. Докажите, что при любом натуральном n сумма

может быть вычислена по формуле Sₙ = $\frac{n}{n+1}$.

Для доказательства того, что сумма $S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$ равна $\frac{n}{n+1}$ при любом натуральном $n$, воспользуемся методом телескопической суммы.

Идея метода заключается в том, чтобы представить каждый член суммы в виде разности двух последовательных членов некоторой другой последовательности. Тогда при суммировании все промежуточные члены сократятся.

Рассмотрим общий член суммы $a_k = \frac{1}{k(k+1)}$, где $k$ — натуральное число от 1 до $n$.

Представим эту дробь в виде разности двух дробей. Заметим, что $k+1 - k = 1$. Это позволяет нам преобразовать числитель:

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{k+1-k}{k(k+1)}$

Теперь разделим дробь на две:

$\frac{k+1-k}{k(k+1)} = \frac{k+1}{k(k+1)} - \frac{k}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

Таким образом, каждый член исходной суммы можно представить в виде разности:

$a_k = \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

Теперь перепишем всю сумму $S_n$, подставляя это разложение для каждого члена:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)$

Расписав сумму по слагаемым, получаем:

$S_n = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$

Как видно из развернутой записи, второй член каждой скобки уничтожается с первым членом следующей скобки:

$S_n = 1 - \cancel{\frac{1}{2}} + \cancel{\frac{1}{2}} - \cancel{\frac{1}{3}} + \cancel{\frac{1}{3}} - \dots - \cancel{\frac{1}{n}} + \cancel{\frac{1}{n}} - \frac{1}{n+1}$

После всех сокращений в сумме остаются только первый член от первого слагаемого ($\frac{1}{1}$) и последний член от последнего слагаемого ($-\frac{1}{n+1}$):

$S_n = 1 - \frac{1}{n+1}$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$S_n = \frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$

Мы получили в точности ту формулу, которую требовалось доказать. Таким образом, утверждение доказано для любого натурального $n$.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$ действительно равна $\frac{n}{n+1}$.