Страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

668. Найдите обозначенные буквами члены геометрической прогрессии (bₙ):

а)

Дана геометрическая прогрессия $b_n$: $b_1; b_2; 225; -135; 81; b_6; ...$

Из условия задачи нам известны третий, четвертый и пятый члены прогрессии: $b_3 = 225$, $b_4 = -135$ и $b_5 = 81$.

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ можно найти, разделив любой член прогрессии на предыдущий. Найдем $q$, используя известные члены $b_4$ и $b_3$:

$q = \frac{b_4}{b_3} = \frac{-135}{225}$

Сократим эту дробь на 45:

$q = \frac{-135 \div 45}{225 \div 45} = -\frac{3}{5}$

Для проверки можно использовать $b_5$ и $b_4$:

$q = \frac{b_5}{b_4} = \frac{81}{-135} = -\frac{81 \div 27}{135 \div 27} = -\frac{3}{5}$

Теперь, зная знаменатель $q$, мы можем найти недостающие члены прогрессии. Члены геометрической прогрессии связаны соотношением $b_n = b_{n-1} \cdot q$. Следовательно, $b_{n-1} = \frac{b_n}{q}$.

Найдем $b_2$:

$b_2 = \frac{b_3}{q} = \frac{225}{-\frac{3}{5}} = 225 \cdot (-\frac{5}{3}) = -75 \cdot 5 = -375$

Найдем $b_1$:

$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{-375}{-\frac{3}{5}} = -375 \cdot (-\frac{5}{3}) = 125 \cdot 5 = 625$

Найдем $b_6$, используя формулу $b_{n+1} = b_n \cdot q$:

$b_6 = b_5 \cdot q = 81 \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{243}{5} = -48,6$

Ответ: $b_1 = 625$; $b_2 = -375$; $b_6 = -48,6$.

б)

Дана геометрическая прогрессия $b_n$: $b_1; b_2; b_3; 36; 54; ...$

Из условия нам известны четвертый и пятый члены прогрессии: $b_4 = 36$ и $b_5 = 54$.

Найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$:

$q = \frac{b_5}{b_4} = \frac{54}{36}$

Сократим эту дробь на 18:

$q = \frac{54 \div 18}{36 \div 18} = \frac{3}{2}$

Теперь найдем неизвестные члены прогрессии, двигаясь в обратном порядке от известных членов, используя формулу $b_{n-1} = \frac{b_n}{q}$.

Найдем $b_3$:

$b_3 = \frac{b_4}{q} = \frac{36}{\frac{3}{2}} = 36 \cdot \frac{2}{3} = 12 \cdot 2 = 24$

Найдем $b_2$:

$b_2 = \frac{b_3}{q} = \frac{24}{\frac{3}{2}} = 24 \cdot \frac{2}{3} = 8 \cdot 2 = 16$

Найдем $b_1$:

$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{16}{\frac{3}{2}} = 16 \cdot \frac{2}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $b_1 = \frac{32}{3}$; $b_2 = 16$; $b_3 = 24$.

669. Последовательность (xₙ) — геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

Пусть дана геометрическая прогрессия $(x_n)$ с первым членом $x_1$ и знаменателем $q$. Тогда формула n-го члена этой прогрессии: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$. Для того чтобы последовательность являлась геометрической прогрессией, отношение любого ее члена к предыдущему должно быть постоянной величиной (знаменателем прогрессии).

а) $x_1 + 1; x_2 + 1; \dots; x_n + 1; \dots$
Рассмотрим новую последовательность $(y_n)$, где $y_n = x_n + 1$.
Чтобы проверить, является ли она геометрической прогрессией, найдем отношение последующего члена к предыдущему:
$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{x_{n+1} + 1}{x_n + 1}$
Так как $x_{n+1} = x_n \cdot q$, то
$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{x_n q + 1}{x_n + 1}$
Это отношение зависит от $x_n$, а значит, и от номера члена $n$. Следовательно, это отношение не является постоянным в общем случае.
Например, рассмотрим прогрессию $1, 2, 4, 8, \dots$ ($x_1=1, q=2$).
Новая последовательность будет $1+1, 2+1, 4+1, \dots$, то есть $2, 3, 5, \dots$.
Найдем отношения: $\frac{3}{2}$ и $\frac{5}{3}$. Так как $\frac{3}{2} \neq \frac{5}{3}$, последовательность не является геометрической прогрессией.
Исключением являются случаи, когда $q=1$ (тогда исходная последовательность постоянна, и новая тоже постоянна, т.е. является геометрической прогрессией со знаменателем 1) или когда $x_1=0$ (тогда все члены равны 0, а новая последовательность $1, 1, 1, \dots$ является геометрической прогрессией со знаменателем 1). Но в общем случае — нет.
Ответ: Нет.

б) $3x_1; 3x_2; \dots; 3x_n; \dots$
Рассмотрим новую последовательность $(y_n)$, где $y_n = 3x_n$.
Найдем отношение последующего члена к предыдущему:
$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{3x_{n+1}}{3x_n} = \frac{x_{n+1}}{x_n} = q$
Отношение постоянно и равно знаменателю исходной прогрессии $q$. Следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $y_1 = 3x_1$ и знаменателем $q$.
Ответ: Да.

в) $x_1^2; x_2^2; \dots; x_n^2; \dots$
Рассмотрим новую последовательность $(y_n)$, где $y_n = x_n^2$.
Найдем отношение последующего члена к предыдущему:
$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{x_{n+1}^2}{x_n^2} = \left(\frac{x_{n+1}}{x_n}\right)^2 = q^2$
Отношение постоянно и равно $q^2$. Следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $y_1 = x_1^2$ и знаменателем $q^2$.
Ответ: Да.

г) $\frac{1}{x_1}; \frac{1}{x_2}; \dots; \frac{1}{x_n}; \dots$ ?
Рассмотрим новую последовательность $(y_n)$, где $y_n = \frac{1}{x_n}$. Это предполагает, что все члены исходной прогрессии $x_n$ не равны нулю, то есть $x_1 \neq 0$ и $q \neq 0$.
Найдем отношение последующего члена к предыдущему:
$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{1/x_{n+1}}{1/x_n} = \frac{x_n}{x_{n+1}} = \frac{x_n}{x_n \cdot q} = \frac{1}{q}$
Отношение постоянно и равно $\frac{1}{q}$. Следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $y_1 = \frac{1}{x_1}$ и знаменателем $\frac{1}{q}$.
Ответ: Да.

670. Существуют ли три числа, которые составляют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессии?

Да, такие числа существуют. Проверим это с помощью математических выкладок.

Пусть у нас есть три числа: $a$, $b$ и $c$.

1. Если эти три числа составляют арифметическую прогрессию, то для них справедливо характеристическое свойство: каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому своих соседей. Для наших чисел это означает: $b = \frac{a+c}{2}$
Это равенство можно переписать в виде: $2b = a+c$

2. Если эти же три числа составляют геометрическую прогрессию, то для них справедливо характеристическое свойство: квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению его соседей. Для наших чисел это означает: $b^2 = ac$

Теперь у нас есть система из двух уравнений, описывающая условия задачи:
$ \begin{cases} 2b = a+c \\ b^2 = ac \end{cases} $

Для решения этой системы выразим $c$ из первого уравнения:
$c = 2b - a$

Теперь подставим это выражение для $c$ во второе уравнение:
$b^2 = a(2b - a)$

Раскроем скобки и перенесём все члены в одну сторону:
$b^2 = 2ab - a^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = 0$

Полученное выражение является формулой сокращенного умножения — квадратом разности:
$(a - b)^2 = 0$

Квадрат числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Следовательно:
$a - b = 0 \implies a = b$

Мы выяснили, что первый и второй члены последовательности равны. Теперь найдём третий член $c$, подставив $a = b$ в выражение $c = 2b - a$:
$c = 2b - b \implies c = b$

Таким образом, мы приходим к выводу, что все три числа должны быть равны между собой: $a = b = c$.

Любая последовательность из трёх одинаковых чисел (например, 7, 7, 7) является одновременно арифметической прогрессией (с разностью $d=0$) и геометрической прогрессией (со знаменателем $q=1$, если члены не равны нулю).

Ответ: Да, существуют. Это любые три равных между собой числа.

671. Является ли геометрической прогрессией последовательность (xₙ), если:

По определению, последовательность $(x_n)$ является геометрической прогрессией, если для всех натуральных $n$ выполняется равенство $x_{n+1} = x_n \cdot q$, где $q$ — некоторое постоянное число, не равное нулю (знаменатель прогрессии), и $x_1 \neq 0$. Иными словами, отношение последующего члена к предыдущему должно быть постоянной величиной: $\frac{x_{n+1}}{x_n} = q$. Проверим это условие для каждой из заданных последовательностей.

а) $x_n = 2^n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = 2^{n+1}$.
Теперь найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:
$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2^{n+1-n} = 2^1 = 2$.
Отношение является постоянной величиной $q = 2$, не зависящей от $n$. Первый член $x_1 = 2^1 = 2 \neq 0$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: да, является.

б) $x_n = 3^{-n}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = 3^{-(n+1)} = 3^{-n-1}$.
Найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:
$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{3^{-n-1}}{3^{-n}} = 3^{(-n-1) - (-n)} = 3^{-n-1+n} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Отношение является постоянной величиной $q = \frac{1}{3}$, не зависящей от $n$. Первый член $x_1 = 3^{-1} = \frac{1}{3} \neq 0$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: да, является.

в) $x_n = n^2$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = (n+1)^2$.
Найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:
$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{(n+1)^2}{n^2} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^2 = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2$.
Это отношение зависит от $n$, то есть не является постоянной величиной. Например, для $n=1$ отношение равно $\frac{x_2}{x_1} = \frac{2^2}{1^2} = 4$, а для $n=2$ отношение равно $\frac{x_3}{x_2} = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$. Так как $4 \neq \frac{9}{4}$, знаменатель прогрессии не является постоянным. Следовательно, данная последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: нет, не является.

г) $x_n = ab^n$, где $a \neq 0, b \neq 0$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = ab^{n+1}$.
Найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:
$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{ab^{n+1}}{ab^n}$.
Поскольку $a \neq 0$ и $b \neq 0$, мы можем сократить дробь:
$\frac{ab^{n+1}}{ab^n} = \frac{b^{n+1}}{b^n} = b^{n+1-n} = b^1 = b$.
Отношение является постоянной величиной $q = b$, не зависящей от $n$. Первый член $x_1 = ab^1 = ab$. Так как $a \neq 0$ и $b \neq 0$, то $x_1 \neq 0$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: да, является.

672. Известны первый член и знаменатель геометрической прогрессии (bₙ). Найдите bₙ, если:

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии ($b_n$) используется формула: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — номер искомого члена.

а) Даны: $b_1 = \frac{243}{256}$, $q = \frac{2}{3}$, $n = 8$.
Требуется найти $b_8$.
Подставим значения в формулу n-го члена: $b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = b_1 \cdot q^7$
$b_8 = \frac{243}{256} \cdot (\frac{2}{3})^7$
Для удобства вычислений представим числа 243 и 256 в виде степеней: $243 = 3^5$ и $256 = 2^8$.
Теперь подставим эти значения в наше выражение: $b_8 = \frac{3^5}{2^8} \cdot \frac{2^7}{3^7}$
Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, сократим дробь: $b_8 = 3^{5-7} \cdot 2^{7-8} = 3^{-2} \cdot 2^{-1}$
Используя свойство $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$, получим: $b_8 = \frac{1}{3^2} \cdot \frac{1}{2^1} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{18}$
Ответ: $b_8 = \frac{1}{18}$.

б) Даны: $b_1 = \sqrt{\frac{2}{3}}$, $q = -\sqrt{6}$, $n = 5$.
Требуется найти $b_5$.
Подставим значения в формулу n-го члена: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$
$b_5 = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot (-\sqrt{6})^4$
Вычислим значение $q^4$: $(-\sqrt{6})^4 = (\sqrt{6})^4 = ((\sqrt{6})^2)^2 = 6^2 = 36$
Теперь подставим полученное значение обратно в выражение для $b_5$: $b_5 = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot 36$
Преобразуем корень: $\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$. $b_5 = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot 36$
Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $b_5 = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} \cdot 36 = \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot 36$
Сократим 36 и 3: $b_5 = 12\sqrt{6}$
Ответ: $b_5 = 12\sqrt{6}$.

673. Первый и девятый члены геометрической прогрессии равны соответственно 135 и $\frac{5}{3}$. Найдите заключённые между ними члены этой прогрессии.

Пусть $b_n$ – данная геометрическая прогрессия. По условию, её первый член $b_1 = 135$, а девятый член $b_9 = \frac{5}{3}$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ – знаменатель прогрессии.

Применим эту формулу для девятого члена прогрессии: $b_9 = b_1 \cdot q^{9-1} = b_1 \cdot q^8$.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти знаменатель $q$:
$\frac{5}{3} = 135 \cdot q^8$

Из этого уравнения выразим $q^8$:
$q^8 = \frac{5}{3 \cdot 135} = \frac{5}{405} = \frac{1}{81}$.

Так как показатель степени $8$ является чётным, уравнение $q^8 = \frac{1}{81}$ имеет два действительных решения для $q$:
$q = \pm \sqrt[8]{\frac{1}{81}} = \pm \sqrt[8]{\frac{1}{3^4}} = \pm \frac{1}{3^{4/8}} = \pm \frac{1}{3^{1/2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Следовательно, существуют две возможные последовательности. Найдём члены, заключённые между первым и девятым ($b_2, b_3, b_4, b_5, b_6, b_7, b_8$) для каждого случая.

Если знаменатель $q = \frac{1}{\sqrt{3}}$, то члены прогрессии будут следующими:
$b_2 = b_1 \cdot q = 135 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{135\sqrt{3}}{3} = 45\sqrt{3}$
$b_3 = b_2 \cdot q = 45\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 45$
$b_4 = b_3 \cdot q = 45 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{45\sqrt{3}}{3} = 15\sqrt{3}$
$b_5 = b_4 \cdot q = 15\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 15$
$b_6 = b_5 \cdot q = 15 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$
$b_7 = b_6 \cdot q = 5\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 5$
$b_8 = b_7 \cdot q = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$

Если знаменатель $q = -\frac{1}{\sqrt{3}}$, то знаки членов прогрессии будут чередоваться:
$b_2 = 135 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -45\sqrt{3}$
$b_3 = -45\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 45$
$b_4 = 45 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -15\sqrt{3}$
$b_5 = -15\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 15$
$b_6 = 15 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -5\sqrt{3}$
$b_7 = -5\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 5$
$b_8 = 5 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{5\sqrt{3}}{3}$

Ответ: Существуют два набора искомых членов прогрессии: $45\sqrt{3}, 45, 15\sqrt{3}, 15, 5\sqrt{3}, 5, \frac{5\sqrt{3}}{3}$ или $-45\sqrt{3}, 45, -15\sqrt{3}, 15, -5\sqrt{3}, 5, -\frac{5\sqrt{3}}{3}$.

674. Последовательность (bₙ) — геометрическая прогрессия. Докажите, что:

а) если b₁ › 0 и q › 1, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего;

б) если b₁ › 0 и 0 ‹ q ‹ 1, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего;

в) если b₁ ‹ 0 и q › 1, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего;

г) если b₁ ‹ 0 и 0 ‹ q ‹ 1, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего.

Для каждого из рассмотренных случаев приведите пример.

а) Докажем, что если первый член геометрической прогрессии $b_1 > 0$ и ее знаменатель $q > 1$, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего ($b_{n+1} > b_n$).

Для доказательства сравним два соседних члена прогрессии $b_{n+1}$ и $b_n$. Связь между ними выражается формулой $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Рассмотрим их разность:

$b_{n+1} - b_n = b_n \cdot q - b_n = b_n(q-1)$

Теперь определим знак этой разности, исходя из условий задачи.

1. Знак $b_n$. По условию $b_1 > 0$. Знаменатель $q > 1$, значит, он положителен. Каждый член прогрессии $b_n$ получается умножением предыдущего на $q$. Так как $b_1 > 0$ и $q > 0$, все члены прогрессии будут положительны: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1} > 0$ для любого натурального $n$.

2. Знак $(q-1)$. По условию $q > 1$, следовательно, разность $q-1$ будет положительна: $q-1 > 0$.

Таким образом, разность $b_{n+1} - b_n = b_n(q-1)$ является произведением двух положительных множителей ($b_n$ и $q-1$), а значит, сама разность положительна. $b_{n+1} - b_n > 0$, что равносильно $b_{n+1} > b_n$. Утверждение доказано.

Пример: Рассмотрим прогрессию, где $b_1 = 2$ и $q = 3$. Условия $b_1 > 0$ и $q > 1$ соблюдаются. Последовательность: 2, 6, 18, 54, ... . Каждый следующий член (6, 18, 54) больше предыдущего (2, 6, 18).

Ответ: Утверждение доказано.

б) Докажем, что если $b_1 > 0$ и $0 < q < 1$, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего ($b_{n+1} < b_n$).

Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n = b_n(q-1)$.

1. Знак $b_n$. По условию $b_1 > 0$ и $q > 0$. Следовательно, все члены прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ будут положительны: $b_n > 0$.

2. Знак $(q-1)$. По условию $0 < q < 1$, следовательно, разность $q-1$ будет отрицательна: $q-1 < 0$.

Разность $b_{n+1} - b_n = b_n(q-1)$ является произведением положительного числа ($b_n$) и отрицательного числа ($q-1$). Результат такого произведения отрицателен. $b_{n+1} - b_n < 0$, что равносильно $b_{n+1} < b_n$. Утверждение доказано.

Пример: Рассмотрим прогрессию, где $b_1 = 32$ и $q = 1/2$. Условия $b_1 > 0$ и $0 < q < 1$ соблюдаются. Последовательность: 32, 16, 8, 4, ... . Каждый следующий член меньше предыдущего.

Ответ: Утверждение доказано.

в) Докажем, что если $b_1 < 0$ и $q > 1$, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего ($b_{n+1} < b_n$).

Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n = b_n(q-1)$.

1. Знак $b_n$. По условию $b_1 < 0$. Так как $q > 1$, то $q$ положителен. Следовательно, все члены прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ будут иметь тот же знак, что и $b_1$, то есть будут отрицательны: $b_n < 0$.

2. Знак $(q-1)$. По условию $q > 1$, следовательно, разность $q-1$ будет положительна: $q-1 > 0$.

Разность $b_{n+1} - b_n = b_n(q-1)$ является произведением отрицательного числа ($b_n$) и положительного числа ($q-1$). Результат такого произведения отрицателен. $b_{n+1} - b_n < 0$, что равносильно $b_{n+1} < b_n$. Утверждение доказано.

Пример: Рассмотрим прогрессию, где $b_1 = -1$ и $q = 5$. Условия $b_1 < 0$ и $q > 1$ соблюдаются. Последовательность: -1, -5, -25, -125, ... . Каждый следующий член меньше предыдущего (например, $-5 < -1$).

Ответ: Утверждение доказано.

г) Докажем, что если $b_1 < 0$ и $0 < q < 1$, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего ($b_{n+1} > b_n$).

Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n = b_n(q-1)$.

1. Знак $b_n$. По условию $b_1 < 0$. Так как $0 < q < 1$, то $q$ положителен. Следовательно, все члены прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ будут отрицательны: $b_n < 0$.

2. Знак $(q-1)$. По условию $0 < q < 1$, следовательно, разность $q-1$ будет отрицательна: $q-1 < 0$.

Разность $b_{n+1} - b_n = b_n(q-1)$ является произведением двух отрицательных чисел ($b_n$ и $q-1$). Результат такого произведения положителен. $b_{n+1} - b_n > 0$, что равносильно $b_{n+1} > b_n$. Утверждение доказано.

Пример: Рассмотрим прогрессию, где $b_1 = -81$ и $q = 1/3$. Условия $b_1 < 0$ и $0 < q < 1$ соблюдаются. Последовательность: -81, -27, -9, -3, ... . Каждый следующий член больше предыдущего (например, $-27 > -81$).

Ответ: Утверждение доказано.