Страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

695. Найдите двенадцатый член геометрической прогрессии (bₙ), если b₂ = − $\frac{1}{32}$, b₃ = $\frac{1}{16}$,

Для того чтобы найти двенадцатый член геометрической прогрессии $(b_n)$, сначала необходимо вычислить её знаменатель $q$. Знаменатель геометрической прогрессии — это постоянное число, на которое умножается каждый член прогрессии для получения следующего. Его можно найти, разделив любой член прогрессии на предыдущий.

Используем известные нам члены прогрессии $b_2 = -\frac{1}{32}$ и $b_3 = \frac{1}{16}$:

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{\frac{1}{16}}{-\frac{1}{32}} = \frac{1}{16} \cdot \left(-\frac{32}{1}\right) = -\frac{32}{16} = -2$

Теперь, когда мы знаем знаменатель $q = -2$, мы можем найти любой член прогрессии. Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии через k-й член имеет вид: $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$.

Мы хотим найти $b_{12}$, и у нас есть значение $b_2$. Подставим в формулу $n=12$ и $k=2$:

$b_{12} = b_2 \cdot q^{12-2} = b_2 \cdot q^{10}$

Подставим числовые значения $b_2 = -\frac{1}{32}$ и $q = -2$:

$b_{12} = \left(-\frac{1}{32}\right) \cdot (-2)^{10}$

Для упрощения вычислений представим $32$ как степень двойки ($32 = 2^5$) и вычислим $(-2)^{10}$ (поскольку степень четная, результат будет положительным: $2^{10} = 1024$):

$b_{12} = \left(-\frac{1}{2^5}\right) \cdot 2^{10} = -\frac{2^{10}}{2^5} = -2^{10-5} = -2^5 = -32$

Ответ: -32

696. Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии (xₙ), если x₂ = –32 и q = − $\frac{1}{2}$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) используется формула:

$S_n = \frac{x_1(1 - q^n)}{1 - q}$

где $x_1$ — первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — количество членов.

По условию задачи, мы знаем второй член прогрессии $x_2 = -32$, знаменатель $q = -\frac{1}{2}$ и количество членов $n = 10$. Однако для использования формулы суммы нам нужен первый член прогрессии $x_1$.

Связь между членами геометрической прогрессии выражается формулой $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$. Для второго члена ($n=2$) это выглядит так: $x_2 = x_1 \cdot q$.

Выразим из этой формулы $x_1$:

$x_1 = \frac{x_2}{q}$

Подставим известные значения $x_2$ и $q$:

$x_1 = \frac{-32}{-\frac{1}{2}} = -32 \cdot (-2) = 64$

Теперь у нас есть все необходимые данные для расчета суммы первых десяти членов: $x_1 = 64$, $q = -\frac{1}{2}$, $n = 10$.

Подставим эти значения в формулу суммы:

$S_{10} = \frac{64 \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{10}\right)}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)}$

Выполним вычисления по шагам.

1. Вычислим знаменатель дроби:

$1 - \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

2. Вычислим $q^{10}$:

$\left(-\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{(-1)^{10}}{2^{10}} = \frac{1}{1024}$

3. Вычислим выражение в скобках в числителе:

$1 - \frac{1}{1024} = \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024} = \frac{1023}{1024}$

4. Подставим полученные результаты обратно в формулу для $S_{10}$:

$S_{10} = \frac{64 \cdot \frac{1023}{1024}}{\frac{3}{2}}$

5. Упростим числитель, зная, что $1024 = 64 \cdot 16$:

$64 \cdot \frac{1023}{1024} = \frac{1023}{16}$

6. Выполним деление:

$S_{10} = \frac{\frac{1023}{16}}{\frac{3}{2}} = \frac{1023}{16} \cdot \frac{2}{3}$

7. Сократим дробь перед умножением:

$S_{10} = \frac{1023 \div 3}{16 \div 2} = \frac{341}{8}$

Ответ: $\frac{341}{8}$.

697. Каждую из десятичных дробей

0,45; 2,53; 31,98

округлите до десятых, вычислите абсолютную и относительную погрешности приближённых значений.

Для каждой десятичной дроби выполним три шага: округление до десятых, вычисление абсолютной погрешности и вычисление относительной погрешности.

0,45

1. Округление до десятых. Точное значение $x = 0,45$. Для округления до десятых смотрим на цифру в разряде сотых. Это цифра 5. Согласно правилам округления, если следующая за нужным разрядом цифра равна 5 или больше, то цифра в округляемом разряде увеличивается на единицу. Таким образом, цифру 4 в разряде десятых увеличиваем до 5. Приближенное значение $a \approx 0,5$.

2. Абсолютная погрешность. Абсолютная погрешность $\Delta$ вычисляется как модуль разности между точным и приближенным значениями:
$\Delta = |x - a| = |0,45 - 0,5| = |-0,05| = 0,05$.

3. Относительная погрешность. Относительная погрешность $\delta$ вычисляется как отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения:
$\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{0,05}{|0,45|} = \frac{5}{45} = \frac{1}{9}$.
Для наглядности можно выразить относительную погрешность в процентах: $\frac{1}{9} \cdot 100\% \approx 11,1\%$.
Ответ: приближенное значение 0,5; абсолютная погрешность 0,05; относительная погрешность $\frac{1}{9}$ (приблизительно $11,1\%$).

2,53

1. Округление до десятых. Точное значение $x = 2,53$. Цифра в разряде сотых равна 3. Так как 3 меньше 5, цифру в разряде десятых оставляем без изменений, а последующие цифры отбрасываем. Приближенное значение $a \approx 2,5$.

2. Абсолютная погрешность.
$\Delta = |x - a| = |2,53 - 2,5| = |0,03| = 0,03$.

3. Относительная погрешность.
$\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{0,03}{|2,53|} = \frac{3}{253}$.
В процентах: $\frac{3}{253} \cdot 100\% \approx 0,01185... \cdot 100\% \approx 1,18\%$.
Ответ: приближенное значение 2,5; абсолютная погрешность 0,03; относительная погрешность $\frac{3}{253}$ (приблизительно $1,18\%$).

31,98

1. Округление до десятых. Точное значение $x = 31,98$. Цифра в разряде сотых равна 8. Так как 8 больше 5, увеличиваем цифру в разряде десятых на единицу. $9+1=10$, поэтому в разряд десятых записываем 0, а к разряду единиц (1) прибавляем 1. Приближенное значение $a \approx 32,0$.

2. Абсолютная погрешность.
$\Delta = |x - a| = |31,98 - 32,0| = |-0,02| = 0,02$.

3. Относительная погрешность.
$\delta = \frac{\Delta}{|x|} = \frac{0,02}{|31,98|} = \frac{2}{3198} = \frac{1}{1599}$.
В процентах: $\frac{1}{1599} \cdot 100\% \approx 0,000625... \cdot 100\% \approx 0,063\%$.
Ответ: приближенное значение 32,0; абсолютная погрешность 0,02; относительная погрешность $\frac{1}{1599}$ (приблизительно $0,063\%$).

698. Площадь Белого моря приближённо равна 91 тыс. км² (с точностью до 500 км²). Оцените относительную погрешность приближённого значения.

Для оценки относительной погрешности приближенного значения необходимо найти отношение абсолютной погрешности к самому приближенному значению. Относительная погрешность ($\delta$) вычисляется по формуле: $$ \delta = \frac{\Delta A}{|A|} $$ где $\Delta A$ — это абсолютная погрешность, а $A$ — приближенное значение.

Из условия задачи нам даны:
Приближенное значение площади Белого моря: $A = 91$ тыс. км$^2 = 91000$ км$^2$.
Точность измерения, которая является пределом абсолютной погрешности: $\Delta A = 500$ км$^2$.

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу для вычисления относительной погрешности: $$ \delta = \frac{500 \text{ км}^2}{91000 \text{ км}^2} $$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 100, а затем на 5: $$ \delta = \frac{500}{91000} = \frac{5}{910} = \frac{1}{182} $$

Относительную погрешность часто выражают в процентах. Для этого нужно умножить полученное значение на $100\%$: $$ \delta = \frac{1}{182} \times 100\% \approx 0.0054945 \times 100\% \approx 0.549\% $$ Округлив до двух значащих цифр, получаем примерно $0.55\%$.

Ответ: $\frac{1}{182}$ (или приближенно $0.55\%$).

699. Преобразуйте в многочлен:

а) $(x - 2y)(x + 2y) + 4y^2$
Для преобразования произведения $(x - 2y)(x + 2y)$ используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.
$(x - 2y)(x + 2y) = x^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2$.
Подставим полученное выражение в исходное:
$(x^2 - 4y^2) + 4y^2 = x^2 - 4y^2 + 4y^2 = x^2$.
Ответ: $x^2$

б) $(2a - 3b)(2a + 3b) - 3a^2$
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ к выражению $(2a - 3b)(2a + 3b)$.
$(2a - 3b)(2a + 3b) = (2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2$.
Теперь выполним вычитание:
$(4a^2 - 9b^2) - 3a^2 = 4a^2 - 9b^2 - 3a^2 = (4a^2 - 3a^2) - 9b^2 = a^2 - 9b^2$.
Ответ: $a^2 - 9b^2$

в) $(5x - 1)^2 + 10x$
Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
$(5x - 1)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 1 + 1^2 = 25x^2 - 10x + 1$.
Подставим в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:
$(25x^2 - 10x + 1) + 10x = 25x^2 - 10x + 10x + 1 = 25x^2 + 1$.
Ответ: $25x^2 + 1$

г) $(3y + 4z)^2 - 8z(3y - 2z)$
Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(3y + 4z)^2 = (3y)^2 + 2 \cdot 3y \cdot 4z + (4z)^2 = 9y^2 + 24yz + 16z^2$.
Раскроем вторую часть выражения, умножив $-8z$ на скобку:
$-8z(3y - 2z) = -24yz + 16z^2$.
Сложим полученные многочлены:
$(9y^2 + 24yz + 16z^2) + (-24yz + 16z^2) = 9y^2 + 24yz - 24yz + 16z^2 + 16z^2 = 9y^2 + 32z^2$.
Ответ: $9y^2 + 32z^2$

д) $(m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) + 6n^3$
Первая часть выражения является формулой разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$, где $a=m$ и $b=2n$.
$(m - 2n)(m^2 + m(2n) + (2n)^2) = m^3 - (2n)^3 = m^3 - 8n^3$.
Подставим результат в исходное выражение:
$(m^3 - 8n^3) + 6n^3 = m^3 - 8n^3 + 6n^3 = m^3 - 2n^3$.
Ответ: $m^3 - 2n^3$

е) $(c^2 + 4d)(c^4 - 4c^2d + 16d^2) - c^2(c^4 - 1)$
Первая часть выражения — это формула суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a=c^2$ и $b=4d$.
$(c^2 + 4d)((c^2)^2 - c^2 \cdot 4d + (4d)^2) = (c^2)^3 + (4d)^3 = c^6 + 64d^3$.
Раскроем скобки во второй части:
$-c^2(c^4 - 1) = -c^6 + c^2$.
Объединим результаты:
$(c^6 + 64d^3) + (-c^6 + c^2) = c^6 + 64d^3 - c^6 + c^2 = c^2 + 64d^3$.
Ответ: $c^2 + 64d^3$

ж) $(3x - 4y)^2 - (2x - 7y)(4x + 2y)$
Раскроем квадрат разности:
$(3x - 4y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 4y + (4y)^2 = 9x^2 - 24xy + 16y^2$.
Перемножим две скобки:
$(2x - 7y)(4x + 2y) = 2x \cdot 4x + 2x \cdot 2y - 7y \cdot 4x - 7y \cdot 2y = 8x^2 + 4xy - 28xy - 14y^2 = 8x^2 - 24xy - 14y^2$.
Теперь вычтем второе из первого:
$(9x^2 - 24xy + 16y^2) - (8x^2 - 24xy - 14y^2) = 9x^2 - 24xy + 16y^2 - 8x^2 + 24xy + 14y^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(9x^2 - 8x^2) + (-24xy + 24xy) + (16y^2 + 14y^2) = x^2 + 30y^2$.
Ответ: $x^2 + 30y^2$

з) $2x(2x + 3)^2 - (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$
Выражение $(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$ является формулой разности кубов $a^3-b^3$, где $a=2x$ и $b=3$.
$(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) = (2x)^3 - 3^3 = 8x^3 - 27$.
Теперь преобразуем первую часть. Сначала раскроем квадрат суммы:
$(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$.
Умножим на $2x$:
$2x(4x^2 + 12x + 9) = 8x^3 + 24x^2 + 18x$.
Вычтем второе из первого:
$(8x^3 + 24x^2 + 18x) - (8x^3 - 27) = 8x^3 + 24x^2 + 18x - 8x^3 + 27$.
Приведем подобные слагаемые:
$(8x^3 - 8x^3) + 24x^2 + 18x + 27 = 24x^2 + 18x + 27$.
Ответ: $24x^2 + 18x + 27$

700. Найдите значение выражения:

а) Сначала упростим выражение $8x^2(x - 4) - (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) - 17$.

Раскроем скобки. Первая часть: $8x^2(x - 4) = 8x^3 - 32x^2$.

Вторая часть $(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$ является формулой разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$, где $a = 2x$ и $b = 3$.

Таким образом, $(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) = (2x)^3 - 3^3 = 8x^3 - 27$.

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(8x^3 - 32x^2) - (8x^3 - 27) - 17 = 8x^3 - 32x^2 - 8x^3 + 27 - 17$.

Приведем подобные слагаемые: $(8x^3 - 8x^3) - 32x^2 + (27 - 17) = -32x^2 + 10$.

Теперь подставим значение $x = 0,5$ в упрощенное выражение:

$-32 \cdot (0,5)^2 + 10 = -32 \cdot 0,25 + 10 = -8 + 10 = 2$.

Ответ: 2

б) Упростим выражение $4a^2(3a - 2) - 3a(2a - 1)^2 - (2a - 5)(2a + 5)$.

Раскроем скобки по частям:

1. $4a^2(3a - 2) = 12a^3 - 8a^2$.

2. $3a(2a - 1)^2 = 3a((2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2) = 3a(4a^2 - 4a + 1) = 12a^3 - 12a^2 + 3a$.

3. $(2a - 5)(2a + 5)$ — это формула разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$. Получаем $(2a)^2 - 5^2 = 4a^2 - 25$.

Теперь соберем все вместе:

$(12a^3 - 8a^2) - (12a^3 - 12a^2 + 3a) - (4a^2 - 25) = 12a^3 - 8a^2 - 12a^3 + 12a^2 - 3a - 4a^2 + 25$.

Приведем подобные слагаемые: $(12a^3 - 12a^3) + (-8a^2 + 12a^2 - 4a^2) - 3a + 25 = 0 + 0 - 3a + 25 = -3a + 25$.

Подставим значение $a = 3,3$:

$-3 \cdot 3,3 + 25 = -9,9 + 25 = 15,1$.

Ответ: 15,1

в) Упростим выражение $(9x^2 - 3xb + b^2)(3x + b) - 9x(3x^2 - b) - b^3$.

Первая часть $(9x^2 - 3xb + b^2)(3x + b)$ является формулой суммы кубов $(a^2 - ab + b^2)(a + b) = a^3 + b^3$, где $a = 3x$ и $b = b$.

Таким образом, $(9x^2 - 3xb + b^2)(3x + b) = (3x)^3 + b^3 = 27x^3 + b^3$.

Раскроем скобки во второй части: $-9x(3x^2 - b) = -27x^3 + 9xb$.

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(27x^3 + b^3) - 27x^3 + 9xb - b^3$.

Приведем подобные слагаемые: $(27x^3 - 27x^3) + (b^3 - b^3) + 9xb = 9xb$.

Теперь подставим значения $x = -\frac{1}{3}$ и $b = \frac{2}{3}$:

$9 \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{2}{3} = 9 \cdot (-\frac{2}{9}) = -2$.

Ответ: -2

г) Упростим выражение $x(3x - 2y)(3x + 2y) - x(3x + 2y)^2 + 2xy(5x + 2y)$.

Рассмотрим каждую часть отдельно:

1. $x(3x - 2y)(3x + 2y) = x((3x)^2 - (2y)^2) = x(9x^2 - 4y^2) = 9x^3 - 4xy^2$.

2. $x(3x + 2y)^2 = x((3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2) = x(9x^2 + 12xy + 4y^2) = 9x^3 + 12x^2y + 4xy^2$.

3. $2xy(5x + 2y) = 10x^2y + 4xy^2$.

Теперь подставим все в исходное выражение:

$(9x^3 - 4xy^2) - (9x^3 + 12x^2y + 4xy^2) + (10x^2y + 4xy^2)$.

$= 9x^3 - 4xy^2 - 9x^3 - 12x^2y - 4xy^2 + 10x^2y + 4xy^2$.

Приведем подобные слагаемые: $(9x^3 - 9x^3) + (-12x^2y + 10x^2y) + (-4xy^2 - 4xy^2 + 4xy^2) = -2x^2y - 4xy^2$.

Подставим значения $x = 0,5$ и $y = -1$:

$-2(0,5)^2(-1) - 4(0,5)(-1)^2 = -2(0,25)(-1) - 4(0,5)(1) = -(-0,5) - 2 = 0,5 - 2 = -1,5$.

Ответ: -1,5

701. Докажите тождество:

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, последовательно применяя формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Сначала перемножим первые две скобки:
$(a + 2b)(a - 2b) = a^2 - (2b)^2 = a^2 - 4b^2$.
Теперь выражение принимает вид:
$(a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2)$.
Снова применим формулу разности квадратов:
$(a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2) = (a^2)^2 - (4b^2)^2 = a^4 - 16b^4$.
Левая часть тождества после преобразования равна правой части. Тождество доказано.
Ответ: $a^4 - 16b^4$.

б) Преобразуем левую часть тождества, многократно используя формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = (x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)$.
Продолжаем упрощение:
$(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = ((x^2)^2 - 1^2)(x^4 + 1) = (x^4 - 1)(x^4 + 1)$.
И последний шаг:
$(x^4 - 1)(x^4 + 1) = (x^4)^2 - 1^2 = x^8 - 1$.
Полученное выражение равно правой части тождества. Тождество доказано.
Ответ: $x^8 - 1$.

в) Для доказательства преобразуем левую часть. Сгруппируем множители для применения формул суммы и разности кубов.
$(a - 2)(a + 2)(a^2 - 2a + 4)(a^2 + 2a + 4) = [(a - 2)(a^2 + 2a + 4)] \cdot [(a + 2)(a^2 - 2a + 4)]$.
Первая группа является формулой разности кубов $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$:
$(a - 2)(a^2 + 2a + 4) = a^3 - 2^3 = a^3 - 8$.
Вторая группа является формулой суммы кубов $(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$:
$(a + 2)(a^2 - 2a + 4) = a^3 + 2^3 = a^3 + 8$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$(a^3 - 8)(a^3 + 8)$.
Это разность квадратов:
$(a^3 - 8)(a^3 + 8) = (a^3)^2 - 8^2 = a^6 - 64$.
Результат совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: $a^6 - 64$.

г) Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы использовать формулу разности квадратов.
$(c^2 - c - 2)(c^2 + c - 2) = ((c^2 - 2) - c)((c^2 - 2) + c)$.
Применим формулу $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$, где $x = c^2 - 2$ и $y = c$:
$((c^2 - 2) - c)((c^2 - 2) + c) = (c^2 - 2)^2 - c^2$.
Теперь раскроем квадрат разности по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(c^2 - 2)^2 - c^2 = ((c^2)^2 - 2 \cdot c^2 \cdot 2 + 2^2) - c^2 = (c^4 - 4c^2 + 4) - c^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$c^4 - 4c^2 - c^2 + 4 = c^4 - 5c^2 + 4$.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $c^4 - 5c^2 + 4$.

702. Разложите на множители:

а) $12x^3 - 3x^2y - 18xy^2$

Для разложения на множители данного многочлена необходимо найти и вынести за скобки общий множитель. Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 12, -3 и -18. НОД(12, 3, 18) = 3.

Теперь определим общую переменную часть. Переменная $x$ содержится во всех членах многочлена. Наименьшая степень, в которой она встречается, это $x^1$ (или просто $x$). Переменная $y$ есть не во всех членах (в первом члене $12x^3$ ее нет), поэтому ее нельзя вынести как общий множитель.

Таким образом, общий множитель для всего выражения равен $3x$. Вынесем его за скобки, разделив каждый член многочлена на $3x$:

$12x^3 - 3x^2y - 18xy^2 = 3x(\frac{12x^3}{3x} - \frac{3x^2y}{3x} - \frac{18xy^2}{3x}) = 3x(4x^2 - xy - 6y^2)$

Квадратный трехчлен в скобках $4x^2 - xy - 6y^2$ не раскладывается на множители с целыми коэффициентами, так как для соответствующего квадратного уравнения $4z^2 - z - 6 = 0$ не существует целых корней.

Ответ: $3x(4x^2 - xy - 6y^2)$

б) $42a^5 - 6a^4 + 30a^3$

Найдем общий множитель для всех членов многочлена. Для коэффициентов 42, -6 и 30 наибольший общий делитель (НОД) равен 6.

Общая переменная часть для $a^5$, $a^4$ и $a^3$ — это переменная $a$ в наименьшей степени, то есть $a^3$.

Следовательно, общий множитель всего выражения — $6a^3$. Вынесем его за скобки:

$42a^5 - 6a^4 + 30a^3 = 6a^3(\frac{42a^5}{6a^3} - \frac{6a^4}{6a^3} + \frac{30a^3}{6a^3}) = 6a^3(7a^2 - a + 5)$

Проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $7a^2 - a + 5$, находящийся в скобках. Для этого найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 5 = 1 - 140 = -139$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратный трехчлен не имеет действительных корней и, следовательно, не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.

Ответ: $6a^3(7a^2 - a + 5)$

в) $8ab - 14a - 12b + 21$

В данном многочлене четыре члена, что позволяет применить метод группировки. Сгруппируем члены попарно. Например, сгруппируем первый член со вторым, а третий с четвертым:

$(8ab - 14a) + (-12b + 21)$

Теперь вынесем общий множитель из каждой группы. В первой группе общим множителем является $2a$. Во второй группе вынесем за скобки $-3$, чтобы выражение в скобках совпало с выражением в скобках первой группы:

$2a(4b - 7) - 3(4b - 7)$

Теперь у нас есть общий множитель — двучлен $(4b - 7)$. Вынесем его за скобки:

$(2a - 3)(4b - 7)$

Ответ: $(2a - 3)(4b - 7)$

г) $x^2 - 5x - 9xy + 45y$

Для разложения этого многочлена также используем метод группировки. Сгруппируем первый и второй члены, а также третий и четвертый:

$(x^2 - 5x) + (-9xy + 45y)$

Вынесем общий множитель из каждой скобки. Из первой группы вынесем $x$, а из второй — $-9y$:

$x(x - 5) - 9y(x - 5)$

В полученном выражении есть общий множитель $(x - 5)$, который мы можем вынести за скобку:

$(x - 9y)(x - 5)$

Ответ: $(x - 9y)(x - 5)$