Страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

729. Существует ли значение переменной x, при котором значение квадратного трёхчлена x² – 10x + 31 равно:

а) –5;

б) 6;

в) 55?

Чтобы ответить на вопрос, необходимо для каждого случая составить уравнение, приравняв квадратный трёхчлен $x^2 - 10x + 31$ к заданному значению. Затем нужно определить, имеет ли получившееся квадратное уравнение действительные корни. Это можно сделать с помощью вычисления дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$). Если $D \ge 0$, то действительные корни существуют, а значит, и искомое значение $x$ существует. Если $D < 0$, то действительных корней нет.

а) Проверим, может ли значение трёхчлена быть равным -5. Составим и решим уравнение:

$x^2 - 10x + 31 = -5$

Перенесём все члены в левую часть:

$x^2 - 10x + 31 + 5 = 0$

$x^2 - 10x + 36 = 0$

Найдём дискриминант для этого уравнения, где $a=1$, $b=-10$, $c=36$:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 100 - 144 = -44$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, такого значения $x$ не существует.

Ответ: не существует.

б) Проверим, может ли значение трёхчлена быть равным 6. Составим и решим уравнение:

$x^2 - 10x + 31 = 6$

Перенесём все члены в левую часть:

$x^2 - 10x + 31 - 6 = 0$

$x^2 - 10x + 25 = 0$

Найдём дискриминант, где $a=1$, $b=-10$, $c=25$:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0$

Поскольку дискриминант равен нулю ($D = 0$), уравнение имеет один действительный корень. Значит, искомое значение $x$ существует. Найдём его:

$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-10)}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$

Ответ: существует (при $x=5$).

в) Проверим, может ли значение трёхчлена быть равным 55. Составим и решим уравнение:

$x^2 - 10x + 31 = 55$

Перенесём все члены в левую часть:

$x^2 - 10x + 31 - 55 = 0$

$x^2 - 10x - 24 = 0$

Найдём дискриминант, где $a=1$, $b=-10$, $c=-24$:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$

Поскольку дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Следовательно, такое значение $x$ существует. Найдём эти значения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 14}{2}$

$x_1 = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: существует (при $x=12$ и $x=-2$).

730. При каких значениях m уравнение имеет хотя бы один корень:

Для того чтобы уравнение имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно, чтобы его тип и дискриминант (для квадратных уравнений) удовлетворяли определенным условиям.

а) $10x^2 - 10x + m = 0$

Данное уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен 10 и не равен нулю. Квадратное уравнение имеет хотя бы один корень (один или два), если его дискриминант $D$ больше или равен нулю ($D \ge 0$).

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=10$, $b=-10$, $c=m$.

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 10 \cdot m = 100 - 40m$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$100 - 40m \ge 0$

$100 \ge 40m$

$m \le \frac{100}{40}$

$m \le 2.5$

Ответ: при $m \le 2.5$

б) $mx^2 + 4x - 2 = 0$

В этом уравнении коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $m$. Необходимо рассмотреть два случая.

1. Случай, когда $m = 0$. Уравнение перестает быть квадратным и становится линейным:

$0 \cdot x^2 + 4x - 2 = 0$

$4x - 2 = 0$

$4x = 2$

$x = 0.5$

В этом случае уравнение имеет один корень, что удовлетворяет условию. Значит, $m = 0$ является частью решения.

2. Случай, когда $m \ne 0$. Уравнение является квадратным. Оно имеет хотя бы один корень, если его дискриминант $D \ge 0$.

Коэффициенты: $a=m$, $b=4$, $c=-2$.

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot m \cdot (-2) = 16 + 8m$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$16 + 8m \ge 0$

$8m \ge -16$

$m \ge -2$

Это решение для случая $m \ne 0$.

Объединяя результаты обоих случаев (решение $m = 0$ из пункта 1 и решение $m \ge -2$ при $m \ne 0$ из пункта 2), получаем, что уравнение имеет хотя бы один корень при всех $m$, удовлетворяющих условию $m \ge -2$.

Ответ: при $m \ge -2$

в) $3x^2 + mx - 5 = 0$

Данное уравнение является квадратным (коэффициент при $x^2$ равен 3). Оно имеет хотя бы один корень, если его дискриминант $D \ge 0$.

Коэффициенты: $a=3$, $b=m$, $c=-5$.

$D = b^2 - 4ac = m^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = m^2 + 60$

Рассмотрим выражение для дискриминанта. Поскольку $m^2 \ge 0$ для любого действительного значения $m$, то $m^2 + 60$ всегда будет положительным ($m^2 + 60 \ge 60 > 0$).

Так как $D > 0$ при любом значении $m$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Ответ: при любом значении $m$ (или $m \in (-\infty; +\infty)$)

г) $2x^2 - mx + 2 = 0$

Данное уравнение является квадратным (коэффициент при $x^2$ равен 2). Оно имеет хотя бы один корень, если его дискриминант $D \ge 0$.

Коэффициенты: $a=2$, $b=-m$, $c=2$.

$D = b^2 - 4ac = (-m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = m^2 - 16$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$m^2 - 16 \ge 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(m - 4)(m + 4) \ge 0$.

Это квадратное неравенство относительно $m$. Корнями уравнения $(m - 4)(m + 4) = 0$ являются $m_1 = -4$ и $m_2 = 4$. Графиком функции $y = m^2 - 16$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $m \le -4$ или $m \ge 4$.

Ответ: при $m \in (-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$

731. При каких значениях k уравнение не имеет корней:

Для того чтобы уравнение не имело действительных корней, необходимо рассмотреть два основных случая: когда уравнение является квадратным и когда оно вырождается в линейное. Квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен ($D < 0$).

а) $kx^2 + 8x - 15 = 0$

Рассмотрим два случая для параметра $k$.

1. Если $k = 0$, уравнение становится линейным: $8x - 15 = 0$. Оно имеет один корень $x = \frac{15}{8}$. Этот случай нам не подходит, так как требуется, чтобы корней не было совсем.

2. Если $k \neq 0$, уравнение является квадратным. Его коэффициенты: $a=k$, $b=8$, $c=-15$. Уравнение не будет иметь корней, если его дискриминант отрицателен.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot k \cdot (-15) = 64 + 60k$.

Решим неравенство $D < 0$:

$64 + 60k < 0$

$60k < -64$

$k < -\frac{64}{60}$

$k < -\frac{16}{15}$

Таким образом, уравнение не имеет корней при $k < -16/15$.

Ответ: $k < -16/15$.

б) $6x^2 - 3x + k = 0$

Это уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен 6 (не равен нулю). Коэффициенты: $a=6$, $b=-3$, $c=k$.

Уравнение не имеет корней, если его дискриминант $D < 0$.

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 6 \cdot k = 9 - 24k$.

Решим неравенство $D < 0$:

$9 - 24k < 0$

$9 < 24k$

$k > \frac{9}{24}$

$k > \frac{3}{8}$

Ответ: $k > 3/8$.

в) $5x^2 + kx + 1 = 0$

Это уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен 5 (не равен нулю). Коэффициенты: $a=5$, $b=k$, $c=1$.

Уравнение не имеет корней, если его дискриминант $D < 0$.

$D = b^2 - 4ac = k^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = k^2 - 20$.

Решим неравенство $D < 0$:

$k^2 - 20 < 0$

$k^2 < 20$

Это неравенство выполняется для значений $k$, находящихся в интервале $(-\sqrt{20}; \sqrt{20})$. Упростим $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Следовательно, $-2\sqrt{5} < k < 2\sqrt{5}$.

Ответ: $-2\sqrt{5} < k < 2\sqrt{5}$.

г) $7x^2 - kx - 1 = 0$

Это уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен 7 (не равен нулю). Коэффициенты: $a=7$, $b=-k$, $c=-1$.

Уравнение не имеет корней, если его дискриминант $D < 0$.

$D = b^2 - 4ac = (-k)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = k^2 + 28$.

Решим неравенство $D < 0$:

$k^2 + 28 < 0$

$k^2 < -28$

Квадрат любого действительного числа ($k^2$) всегда неотрицателен, то есть $k^2 \ge 0$. Неравенство $k^2 < -28$ не может быть выполнено ни при каких действительных значениях $k$.

Дискриминант $D = k^2 + 28$ всегда будет положительным ($D \ge 28$), поэтому уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Ответ: таких значений $k$ не существует.

732. Решите уравнение:

а) $0,3x(x + 13) - 2x(0,9 - 0,2x) = 0$
Раскроем скобки в уравнении:
$0,3x^2 + 3,9x - 1,8x + 0,4x^2 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(0,3x^2 + 0,4x^2) + (3,9x - 1,8x) = 0$
$0,7x^2 + 2,1x = 0$
Вынесем общий множитель $0,7x$ за скобки:
$0,7x(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$0,7x = 0$ или $x + 3 = 0$
Отсюда находим корни:
$x_1 = 0$
$x_2 = -3$
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -3$.

б) $1,5x(x + 4) - x(7 - 0,5x) = 0,5(10 - 2x)$
Раскроем скобки:
$1,5x^2 + 6x - 7x + 0,5x^2 = 5 - x$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(1,5x^2 + 0,5x^2) + (6x - 7x) = 5 - x$
$2x^2 - x = 5 - x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$2x^2 - x + x - 5 = 0$
$2x^2 - 5 = 0$
Решим полученное неполное квадратное уравнение:
$2x^2 = 5$
$x^2 = \frac{5}{2}$
$x = \pm\sqrt{\frac{5}{2}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{2}$
Ответ: $x_1 = -\frac{\sqrt{10}}{2}, x_2 = \frac{\sqrt{10}}{2}$.

в) $\frac{(2x + 1)^2}{25} - \frac{x - 1}{3} = x$
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен $25 \cdot 3 = 75$:
$3(2x + 1)^2 - 25(x - 1) = 75x$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$3(4x^2 + 4x + 1) - 25x + 25 = 75x$
$12x^2 + 12x + 3 - 25x + 25 = 75x$
Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:
$12x^2 - 13x + 28 = 75x$
$12x^2 - 88x + 28 = 0$
Разделим уравнение на 4 для упрощения:
$3x^2 - 22x + 7 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-22)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 484 - 84 = 400 = 20^2$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$x_1 = \frac{22 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{22 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{42}{6} = 7$
Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}, x_2 = 7$.

г) $\frac{(3x + 2)^2}{11} - \frac{x + 5}{4} = x^2$
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель $11 \cdot 4 = 44$:
$4(3x + 2)^2 - 11(x + 5) = 44x^2$
Раскроем скобки:
$4(9x^2 + 12x + 4) - 11x - 55 = 44x^2$
$36x^2 + 48x + 16 - 11x - 55 = 44x^2$
Приведем подобные слагаемые и перенесем все в одну часть:
$36x^2 + 37x - 39 = 44x^2$
$0 = 44x^2 - 36x^2 - 37x + 39$
$8x^2 - 37x + 39 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = (-37)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 39 = 1369 - 1248 = 121 = 11^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{37 - 11}{2 \cdot 8} = \frac{26}{16} = \frac{13}{8}$
$x_2 = \frac{37 + 11}{2 \cdot 8} = \frac{48}{16} = 3$
Ответ: $x_1 = \frac{13}{8}, x_2 = 3$.

д) $\frac{(2 - x)^2}{3} - 2x = \frac{(7 + 2x)^2}{5}$
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель $3 \cdot 5 = 15$:
$5(2 - x)^2 - 15 \cdot 2x = 3(7 + 2x)^2$
$5(x - 2)^2 - 30x = 3(2x + 7)^2$
Раскроем скобки:
$5(x^2 - 4x + 4) - 30x = 3(4x^2 + 28x + 49)$
$5x^2 - 20x + 20 - 30x = 12x^2 + 84x + 147$
Приведем подобные слагаемые:
$5x^2 - 50x + 20 = 12x^2 + 84x + 147$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = (12x^2 - 5x^2) + (84x + 50x) + (147 - 20)$
$7x^2 + 134x + 127 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = 134^2 - 4 \cdot 7 \cdot 127 = 17956 - 3556 = 14400 = 120^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-134 - 120}{2 \cdot 7} = \frac{-254}{14} = -\frac{127}{7}$
$x_2 = \frac{-134 + 120}{2 \cdot 7} = \frac{-14}{14} = -1$
Ответ: $x_1 = -\frac{127}{7}, x_2 = -1$.

е) $\frac{(6 - x)^2}{8} + x = 7 - \frac{(2x - 1)^2}{3}$
Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{(6 - x)^2}{8} + \frac{(2x - 1)^2}{3} + x - 7 = 0$
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель $8 \cdot 3 = 24$:
$3(6 - x)^2 + 8(2x - 1)^2 + 24x - 168 = 0$
Раскроем скобки:
$3(36 - 12x + x^2) + 8(4x^2 - 4x + 1) + 24x - 168 = 0$
$108 - 36x + 3x^2 + 32x^2 - 32x + 8 + 24x - 168 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(3x^2 + 32x^2) + (-36x - 32x + 24x) + (108 + 8 - 168) = 0$
$35x^2 - 44x - 52 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = (-44)^2 - 4 \cdot 35 \cdot (-52) = 1936 + 7280 = 9216 = 96^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{44 - 96}{2 \cdot 35} = \frac{-52}{70} = -\frac{26}{35}$
$x_2 = \frac{44 + 96}{2 \cdot 35} = \frac{140}{70} = 2$
Ответ: $x_1 = -\frac{26}{35}, x_2 = 2$.

733. Садовый участок, имеющий форму прямоугольника, требуется обнести изгородью. Определите длину изгороди, если известно, что длина участка на 15 м больше его ширины, а площадь его равна 700 м².

Для решения задачи введем переменные. Пусть ширина садового участка равна $w$ метров. Согласно условию, длина участка на 15 м больше его ширины. Следовательно, длина участка $l$ может быть выражена как $l = w + 15$ метров.

Площадь прямоугольного участка ($S$) вычисляется по формуле $S = l \cdot w$. Из условия известно, что площадь равна 700 м?. Подставим выражение для длины $l$ в формулу площади, чтобы составить уравнение с одной переменной $w$:

$(w + 15) \cdot w = 700$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$w^2 + 15w = 700$
$w^2 + 15w - 700 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-700) = 225 + 2800 = 3025$

Найдем корни уравнения, используя формулу $w_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{3025} = 55$
$w_1 = \frac{-15 + 55}{2 \cdot 1} = \frac{40}{2} = 20$
$w_2 = \frac{-15 - 55}{2 \cdot 1} = \frac{-70}{2} = -35$

Поскольку ширина участка не может быть отрицательной величиной, корень $w_2 = -35$ не является решением задачи. Таким образом, ширина участка составляет $w = 20$ метров.

Зная ширину, найдем длину участка:

$l = w + 15 = 20 + 15 = 35$ метров.

Длина изгороди, необходимой для ограждения участка, равна его периметру. Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(l + w)$:

$P = 2 \cdot (35 + 20) = 2 \cdot 55 = 110$ метров.

Ответ: длина изгороди составляет 110 м.

734. Каждый ученик класса обменялся фотографиями с каждым из других учеников этого класса. Сколько учеников в этом классе, если всего было передано 600 фотографий?

Пусть $n$ — это количество учеников в классе.

Согласно условию задачи, каждый ученик обменивается фотографиями с каждым другим учеником. Это означает, что каждый ученик отдает свою фотографию всем остальным ученикам в классе.

Если в классе $n$ учеников, то у каждого ученика есть $n-1$ одноклассник, с которым нужно обменяться фотографиями.

Следовательно, каждый из $n$ учеников передает $n-1$ фотографию.

Чтобы найти общее количество переданных фотографий, нужно умножить количество учеников на количество фотографий, которое отдал каждый из них. Это можно выразить формулой:

$N = n \times (n-1)$

где $N$ — общее количество переданных фотографий.

По условию, всего было передано 600 фотографий, то есть $N = 600$. Подставим это значение в нашу формулу и получим уравнение:

$n \times (n-1) = 600$

Для решения этого уравнения можно рассуждать логически: нам нужно найти два последовательных целых числа, произведение которых равно 600. Можно также решить его как квадратное уравнение. Раскроем скобки:

$n^2 - n = 600$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $an^2 + bn + c = 0$:

$n^2 - n - 600 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-1$, $c=-600$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-600) = 1 + 2400 = 2401$

Найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{2401} = 49$

Теперь находим два возможных значения для $n$:

$n_1 = \frac{-(-1) + 49}{2 \times 1} = \frac{1 + 49}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$n_2 = \frac{-(-1) - 49}{2 \times 1} = \frac{1 - 49}{2} = \frac{-48}{2} = -24$

Так как количество учеников $n$ не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -24$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, единственным верным решением является $n = 25$.

Проверим наше решение: если в классе 25 учеников, то каждый ученик отдает $25 - 1 = 24$ фотографии. Общее количество переданных фотографий составит $25 \times 24 = 600$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 25 учеников.

735. Цифра десятков двузначного числа на 3 меньше цифры единиц, а произведение этого двузначного числа на сумму его цифр равно 70. Найдите это число.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10x + y$, где $x$ — это цифра десятков, а $y$ — цифра единиц. По определению двузначного числа, $x$ и $y$ являются целыми числами, причем $1 \le x \le 9$ и $0 \le y \le 9$.

Из условия задачи известно, что цифра десятков на 3 меньше цифры единиц. Это можно записать в виде уравнения:
$x = y - 3$

Также известно, что произведение этого двузначного числа $(10x + y)$ на сумму его цифр $(x + y)$ равно 70. Составим второе уравнение:
$(10x + y)(x + y) = 70$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x = y - 3 \\ (10x + y)(x + y) = 70 \end{cases}$

Для решения системы подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$(10(y - 3) + y)((y - 3) + y) = 70$

Теперь упростим полученное уравнение. Сначала выполним действия в скобках:
$(10y - 30 + y)(2y - 3) = 70$
$(11y - 30)(2y - 3) = 70$

Раскроем скобки, перемножив многочлены, и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2 + by + c = 0$:
$11y \cdot 2y - 11y \cdot 3 - 30 \cdot 2y + 30 \cdot 3 = 70$
$22y^2 - 33y - 60y + 90 = 70$
$22y^2 - 93y + 90 - 70 = 0$
$22y^2 - 93y + 20 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-93)^2 - 4 \cdot 22 \cdot 20 = 8649 - 1760 = 6889$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{6889} = 83$.

Теперь найдем возможные значения для $y$:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{93 + 83}{2 \cdot 22} = \frac{176}{44} = 4$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{93 - 83}{2 \cdot 22} = \frac{10}{44} = \frac{5}{22}$

Поскольку $y$ — это цифра, она должна быть целым числом. Значение $y_2 = \frac{5}{22}$ не является целым, поэтому оно не удовлетворяет условию. Единственным подходящим решением является $y = 4$.

Зная $y$, найдем $x$ из первого уравнения:
$x = y - 3 = 4 - 3 = 1$

Таким образом, цифра десятков $x = 1$, а цифра единиц $y = 4$. Искомое число — 14.

Выполним проверку:
1. Цифра десятков (1) действительно на 3 меньше цифры единиц (4), так как $1 = 4 - 3$.
2. Сумма цифр числа 14 равна $1 + 4 = 5$. Произведение числа на сумму его цифр равно $14 \cdot 5 = 70$.
Оба условия выполнены.

Ответ: 14.

736. Участок земли имеет форму прямоугольного треугольника, один из катетов которого на 20 м больше другого. Найдите длину границы данного участка, если его площадь равна 0,24 га.

Для решения задачи первым делом необходимо привести все величины к единой системе измерений. Площадь участка дана в гектарах (га), а разница длин катетов — в метрах (м). Переведем площадь в квадратные метры, зная, что 1 га = 10 000 м?.
$S = 0,24 \text{ га} = 0,24 \cdot 10000 \text{ м}^2 = 2400 \text{ м}^2$.

Участок представляет собой прямоугольный треугольник. Пусть длина одного катета равна $x$ метров. По условию, другой катет на 20 м больше, значит, его длина составляет $(x + 20)$ метров.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$. Подставим в эту формулу известные нам данные и составим уравнение:
$2400 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 20)$.

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:
Умножим обе части на 2:
$4800 = x(x + 20)$
Раскроем скобки:
$4800 = x^2 + 20x$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 + 20x - 4800 = 0$.

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$.
$\sqrt{D} = \sqrt{19600} = 140$.
Теперь найдем возможные значения $x$:
$x_1 = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60$.
$x_2 = \frac{-20 - 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80$.

Так как длина стороны не может быть отрицательной, нам подходит только корень $x = 60$.
Следовательно, длины катетов треугольника равны:
Первый катет: $a = x = 60$ м.
Второй катет: $b = x + 20 = 60 + 20 = 80$ м.

Длина границы участка — это его периметр, то есть сумма длин всех сторон. Нам осталось найти длину гипотенузы $c$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $a^2 + b^2 = c^2$:
$c^2 = 60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10000$.
$c = \sqrt{10000} = 100$ м.

Теперь мы можем вычислить периметр $P$ (длину границы):
$P = a + b + c = 60 + 80 + 100 = 240$ м.

Ответ: 240 м.

737. Решите уравнение:

а)

Исходное уравнение: $ \frac{x}{x-3} - \frac{5}{x+3} = \frac{18}{x^2-9} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $ x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 $ $ x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 $ $ x^2-9 = (x-3)(x+3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 $ и $ x \neq -3 $. Итак, ОДЗ: $ x \neq \pm 3 $.

Приведем все дроби к общему знаменателю $ (x-3)(x+3) $: $ \frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} - \frac{5(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{18}{(x-3)(x+3)} $

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей: $ x(x+3) - 5(x-3) = 18 $

Раскроем скобки и решим полученное уравнение: $ x^2 + 3x - 5x + 15 = 18 $ $ x^2 - 2x + 15 - 18 = 0 $ $ x^2 - 2x - 3 = 0 $

По теореме Виета, корни уравнения: $ x_1 = 3 $, $ x_2 = -1 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $ x_1 = 3 $ не удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 3 $), поэтому является посторонним. Корень $ x_2 = -1 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1

б)

Исходное уравнение: $ \frac{70}{x^2-16} - \frac{17}{x-4} = \frac{3x}{x+4} $.

ОДЗ: $ x^2-16 = (x-4)(x+4) \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 4 $.

Приведем к общему знаменателю $ (x-4)(x+4) $: $ \frac{70}{(x-4)(x+4)} - \frac{17(x+4)}{(x-4)(x+4)} = \frac{3x(x-4)}{(x-4)(x+4)} $

Умножим на общий знаменатель: $ 70 - 17(x+4) = 3x(x-4) $ $ 70 - 17x - 68 = 3x^2 - 12x $ $ 2 - 17x = 3x^2 - 12x $ $ 3x^2 - 12x + 17x - 2 = 0 $ $ 3x^2 + 5x - 2 = 0 $

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $ $ x_1 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $ $ x_2 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ x \neq \pm 4 $).

Ответ: -2; $ \frac{1}{3} $

в)

Исходное уравнение: $ \frac{3}{(2-x)^2} - \frac{5}{(x+2)^2} = \frac{14}{x^2-4} $.

Заметим, что $ (2-x)^2 = (x-2)^2 $. Уравнение примет вид: $ \frac{3}{(x-2)^2} - \frac{5}{(x+2)^2} = \frac{14}{(x-2)(x+2)} $

ОДЗ: $ x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 $ и $ x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 $. Итак, $ x \neq \pm 2 $.

Общий знаменатель: $ (x-2)^2(x+2)^2 $. Умножим на него: $ 3(x+2)^2 - 5(x-2)^2 = 14(x-2)(x+2) $ $ 3(x^2 + 4x + 4) - 5(x^2 - 4x + 4) = 14(x^2 - 4) $ $ 3x^2 + 12x + 12 - 5x^2 + 20x - 20 = 14x^2 - 56 $ $ -2x^2 + 32x - 8 = 14x^2 - 56 $ $ 16x^2 - 32x - 48 = 0 $ Делим все на 16: $ x^2 - 2x - 3 = 0 $

По теореме Виета, корни: $ x_1 = 3 $, $ x_2 = -1 $. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -1; 3

г)

Исходное уравнение: $ \frac{2}{4-x^2} - \frac{1}{2x-4} - \frac{7}{2x^2+4x} = 0 $.

Преобразуем знаменатели: $ \frac{2}{-(x-2)(x+2)} - \frac{1}{2(x-2)} - \frac{7}{2x(x+2)} = 0 $.

ОДЗ: $ x \neq 0, x \neq 2, x \neq -2 $.

Общий знаменатель $ 2x(x-2)(x+2) $. Умножим на него: $ -2(2x) - 1(x(x+2)) - 7(x-2) = 0 $ $ -4x - x^2 - 2x - 7x + 14 = 0 $ $ -x^2 - 13x + 14 = 0 $ $ x^2 + 13x - 14 = 0 $

По теореме Виета, корни: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = -14 $. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -14; 1

д)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{x^2-9} + \frac{1}{3x-x^2} = \frac{3}{2x+6} $.

Преобразуем знаменатели: $ \frac{1}{(x-3)(x+3)} + \frac{1}{-x(x-3)} = \frac{3}{2(x+3)} $.

ОДЗ: $ x \neq 0, x \neq 3, x \neq -3 $.

Общий знаменатель $ 2x(x-3)(x+3) $. Умножим на него: $ 1(2x) - 1(2(x+3)) = 3(x(x-3)) $ $ 2x - 2x - 6 = 3x^2 - 9x $ $ -6 = 3x^2 - 9x $ $ 3x^2 - 9x + 6 = 0 $ Делим все на 3: $ x^2 - 3x + 2 = 0 $

По теореме Виета, корни: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = 2 $. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 1; 2

е)

Исходное уравнение: $ \frac{2}{1-x^2} - \frac{1}{1-x} + \frac{4}{(x+1)^2} = 0 $.

Преобразуем знаменатели: $ \frac{2}{(1-x)(1+x)} - \frac{1}{1-x} + \frac{4}{(1+x)^2} = 0 $.

ОДЗ: $ x \neq \pm 1 $.

Общий знаменатель $ (1-x)(1+x)^2 $. Умножим на него: $ 2(1+x) - 1(1+x)^2 + 4(1-x) = 0 $ $ 2+2x - (1+2x+x^2) + 4-4x = 0 $ $ 2+2x-1-2x-x^2+4-4x = 0 $ $ -x^2 - 4x + 5 = 0 $ $ x^2 + 4x - 5 = 0 $

По теореме Виета, корни: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = -5 $. Корень $ x_1 = 1 $ не удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 1 $). Корень $ x_2 = -5 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -5

ж)

Исходное уравнение: $ \frac{2}{x^2+5x} + \frac{3}{2x-10} = \frac{15}{x^2-25} $.

Преобразуем знаменатели: $ \frac{2}{x(x+5)} + \frac{3}{2(x-5)} = \frac{15}{(x-5)(x+5)} $.

ОДЗ: $ x \neq 0, x \neq 5, x \neq -5 $.

Общий знаменатель $ 2x(x-5)(x+5) $. Умножим на него: $ 2(2(x-5)) + 3(x(x+5)) = 15(2x) $ $ 4x - 20 + 3x^2 + 15x = 30x $ $ 3x^2 + 19x - 20 - 30x = 0 $ $ 3x^2 - 11x - 20 = 0 $

Решим квадратное уравнение: $ D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 121 + 240 = 361 = 19^2 $ $ x_1 = \frac{11 + 19}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5 $ $ x_2 = \frac{11 - 19}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} $

Корень $ x_1 = 5 $ не удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 5 $). Корень $ x_2 = -\frac{4}{3} $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ -\frac{4}{3} $

з)

Исходное уравнение: $ \frac{5}{2x+6} - \frac{1}{6x^2-18x} = \frac{29}{27-3x^2} $.

Преобразуем знаменатели: $ \frac{5}{2(x+3)} - \frac{1}{6x(x-3)} = \frac{29}{-3(x-3)(x+3)} $.

ОДЗ: $ x \neq 0, x \neq 3, x \neq -3 $.

Общий знаменатель $ 6x(x-3)(x+3) $. Умножим на него: $ 5(3x(x-3)) - 1(x+3) = 29(-2x) $ $ 15x^2 - 45x - x - 3 = -58x $ $ 15x^2 - 46x + 58x - 3 = 0 $ $ 15x^2 + 12x - 3 = 0 $ Делим все на 3: $ 5x^2 + 4x - 1 = 0 $

Решим квадратное уравнение: $ D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2 $ $ x_1 = \frac{-4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $ $ x_2 = \frac{-4 - 6}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -1; $ \frac{1}{5} $

и)

Исходное уравнение: $ \frac{x}{x-5} - \frac{4}{x+5} + \frac{76}{25-x^2} = 0 $.

Преобразуем знаменатели: $ \frac{x}{x-5} - \frac{4}{x+5} - \frac{76}{(x-5)(x+5)} = 0 $.

ОДЗ: $ x \neq \pm 5 $.

Общий знаменатель $ (x-5)(x+5) $. Умножим на него: $ x(x+5) - 4(x-5) - 76 = 0 $ $ x^2 + 5x - 4x + 20 - 76 = 0 $ $ x^2 + x - 56 = 0 $

По теореме Виета, корни: $ x_1 = 7 $, $ x_2 = -8 $. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -8; 7

к)

Исходное уравнение: $ \frac{7x}{x^2-36} + \frac{3}{6-x} = \frac{7}{x+6} $.

Преобразуем знаменатели: $ \frac{7x}{(x-6)(x+6)} - \frac{3}{x-6} = \frac{7}{x+6} $.

ОДЗ: $ x \neq \pm 6 $.

Общий знаменатель $ (x-6)(x+6) $. Умножим на него: $ 7x - 3(x+6) = 7(x-6) $ $ 7x - 3x - 18 = 7x - 42 $ $ 4x - 18 = 7x - 42 $ $ 42 - 18 = 7x - 4x $ $ 24 = 3x $ $ x = 8 $

Корень $ x=8 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 8