Страница 192 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

708. Представьте в виде дроби:

а) Чтобы представить выражение $ \frac{ab^2 - 16a}{5b^3} \cdot \frac{20b^5}{a^2b + 4a^2} $ в виде дроби, сначала разложим на множители числители и знаменатели.

Числитель первой дроби: $ ab^2 - 16a = a(b^2 - 16) = a(b-4)(b+4) $ (вынесение общего множителя и формула разности квадратов).

Знаменатель второй дроби: $ a^2b + 4a^2 = a^2(b+4) $ (вынесение общего множителя).

Теперь перепишем исходное выражение с разложенными множителями и выполним умножение и сокращение:

$ \frac{a(b-4)(b+4)}{5b^3} \cdot \frac{20b^5}{a^2(b+4)} = \frac{a(b-4)(b+4) \cdot 20b^5}{5b^3 \cdot a^2(b+4)} $

Сокращаем общие множители $ a $, $ (b+4) $, $ 5 $ и $ b^3 $:

$ \frac{\cancel{a}(b-4)\cancel{(b+4)} \cdot \cancel{20}^4\cancel{b^5}^{b^2}}{\cancel{5}\cancel{b^3} \cdot \cancel{a^2}_a\cancel{(b+4)}} = \frac{4b^2(b-4)}{a} $

Ответ: $ \frac{4b^2(b-4)}{a} $

б) Рассмотрим выражение $ \frac{7xy}{x^2 - 4xy + 4y^2} \cdot \frac{3x - 6y}{14y^2} $.

Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй.

Знаменатель первой дроби: $ x^2 - 4xy + 4y^2 = (x-2y)^2 $ (формула квадрата разности).

Числитель второй дроби: $ 3x - 6y = 3(x-2y) $ (вынесение общего множителя).

Подставим разложенные выражения и выполним умножение:

$ \frac{7xy}{(x-2y)^2} \cdot \frac{3(x-2y)}{14y^2} = \frac{7xy \cdot 3(x-2y)}{(x-2y)^2 \cdot 14y^2} $

Сокращаем общие множители $ 7 $, $ y $ и $ (x-2y) $:

$ \frac{\cancel{7}x\cancel{y} \cdot 3\cancel{(x-2y)}}{\cancel{(x-2y)^2}_{(x-2y)} \cdot \cancel{14}_2\cancel{y^2}_y} = \frac{3x}{2y(x-2y)} $

Ответ: $ \frac{3x}{2y(x-2y)} $

в) Рассмотрим выражение $ \frac{p^3 - 125}{8p^2} \cdot \frac{4p}{p^2 + 5p + 25} $.

Разложим на множители числитель первой дроби, используя формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $:

$ p^3 - 125 = p^3 - 5^3 = (p-5)(p^2 + 5p + 25) $.

Знаменатель второй дроби $ p^2 + 5p + 25 $ является неполным квадратом суммы и не раскладывается на множители с действительными корнями.

Подставим разложенное выражение и выполним умножение:

$ \frac{(p-5)(p^2 + 5p + 25)}{8p^2} \cdot \frac{4p}{p^2 + 5p + 25} = \frac{(p-5)(p^2 + 5p + 25) \cdot 4p}{8p^2 \cdot (p^2 + 5p + 25)} $

Сокращаем общие множители $ (p^2 + 5p + 25) $, $ 4 $ и $ p $:

$ \frac{(p-5)\cancel{(p^2 + 5p + 25)} \cdot \cancel{4}\cancel{p}}{\cancel{8}_2\cancel{p^2}_p \cdot \cancel{(p^2 + 5p + 25)}} = \frac{p-5}{2p} $

Ответ: $ \frac{p-5}{2p} $

г) Рассмотрим выражение $ \frac{9m^2 - 12mn + 4n^2}{3m^3 + 24n^3} \cdot \frac{3m + 6n}{2n - 3m} $.

Разложим на множители числители и знаменатели.

Числитель первой дроби: $ 9m^2 - 12mn + 4n^2 = (3m-2n)^2 $ (квадрат разности).

Знаменатель первой дроби: $ 3m^3 + 24n^3 = 3(m^3+8n^3) = 3(m+2n)(m^2-2mn+4n^2) $ (вынесение множителя и сумма кубов).

Числитель второй дроби: $ 3m + 6n = 3(m+2n) $ (вынесение множителя).

Знаменатель второй дроби: $ 2n - 3m = -(3m-2n) $ (вынесение знака минус).

Подставим разложенные выражения и перемножим:

$ \frac{(3m-2n)^2}{3(m+2n)(m^2-2mn+4n^2)} \cdot \frac{3(m+2n)}{-(3m-2n)} = \frac{(3m-2n)^2 \cdot 3(m+2n)}{-3(m+2n)(m^2-2mn+4n^2)(3m-2n)} $

Сокращаем общие множители $ 3 $, $ (m+2n) $ и $ (3m-2n) $:

$ \frac{\cancel{(3m-2n)^2}^{(3m-2n)} \cdot \cancel{3}\cancel{(m+2n)}}{-\cancel{3}\cancel{(m+2n)}(m^2-2mn+4n^2)\cancel{(3m-2n)}} = \frac{3m-2n}{-(m^2-2mn+4n^2)} $

Упростим полученное выражение:

$ -\frac{3m-2n}{m^2-2mn+4n^2} = \frac{-(3m-2n)}{m^2-2mn+4n^2} = \frac{2n-3m}{m^2-2mn+4n^2} $

Ответ: $ \frac{2n-3m}{m^2-2mn+4n^2} $

709. Упростите:

а)

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{x^2 - 4x}{x^2 + 7x} : \frac{24 - 6x}{49 - x^2} = \frac{x^2 - 4x}{x^2 + 7x} \cdot \frac{49 - x^2}{24 - 6x}$

Теперь разложим числители и знаменатели на множители:

В числителе первой дроби вынесем $x$ за скобки: $x^2 - 4x = x(x - 4)$.

В знаменателе первой дроби вынесем $x$ за скобки: $x^2 + 7x = x(x + 7)$.

В числителе второй дроби используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $49 - x^2 = 7^2 - x^2 = (7 - x)(7 + x)$.

В знаменателе второй дроби вынесем $6$ за скобки: $24 - 6x = 6(4 - x)$.

Подставим разложенные выражения обратно в пример:

$\frac{x(x - 4)}{x(x + 7)} \cdot \frac{(7 - x)(7 + x)}{6(4 - x)}$

Заметим, что $4 - x = -(x - 4)$ и $7+x = x+7$. Перепишем выражение:

$\frac{x(x - 4)}{x(x + 7)} \cdot \frac{(7 - x)(x + 7)}{-6(x - 4)}$

Сократим одинаковые множители в числителях и знаменателях ($x$, $(x - 4)$ и $(x + 7)$):

$\frac{\cancel{x}\cancel{(x - 4)}}{\cancel{x}\cancel{(x + 7)}} \cdot \frac{(7 - x)\cancel{(x + 7)}}{-6\cancel{(x - 4)}} = \frac{7 - x}{-6} = \frac{-(x - 7)}{-6} = \frac{x - 7}{6}$

Ответ: $\frac{x-7}{6}$

б)

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{y^3 - 16y}{2y + 18} : \frac{4 - y}{y^2 + 9y} = \frac{y^3 - 16y}{2y + 18} \cdot \frac{y^2 + 9y}{4 - y}$

Разложим на множители числители и знаменатели:

$y^3 - 16y = y(y^2 - 16) = y(y - 4)(y + 4)$ (разность квадратов).

$2y + 18 = 2(y + 9)$.

$y^2 + 9y = y(y + 9)$.

$4 - y = -(y - 4)$.

Подставим полученные выражения:

$\frac{y(y - 4)(y + 4)}{2(y + 9)} \cdot \frac{y(y + 9)}{-(y - 4)}$

Сократим общие множители $(y - 4)$ и $(y + 9)$:

$\frac{y\cancel{(y - 4)}(y + 4)}{2\cancel{(y + 9)}} \cdot \frac{y\cancel{(y + 9)}}{-\cancel{(y - 4)}} = \frac{y(y + 4)}{2} \cdot \frac{y}{-1} = -\frac{y^2(y + 4)}{2}$

Ответ: $-\frac{y^2(y+4)}{2}$

в)

Заменяем деление на умножение:

$\frac{(a + b)^2 - 2ab}{4a^2} : \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{(a + b)^2 - 2ab}{4a^2} \cdot \frac{ab}{a^2 + b^2}$

Упростим числитель первой дроби, раскрыв скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(a + b)^2 - 2ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab = a^2 + b^2$.

Подставим упрощенное выражение обратно:

$\frac{a^2 + b^2}{4a^2} \cdot \frac{ab}{a^2 + b^2}$

Сократим общие множители $(a^2 + b^2)$ и $a$:

$\frac{\cancel{(a^2 + b^2)}}{4a^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{a}b}{\cancel{a^2 + b^2}} = \frac{1}{4a} \cdot \frac{b}{1} = \frac{b}{4a}$

Ответ: $\frac{b}{4a}$

г)

Перейдем от деления к умножению:

$\frac{5c^3 - 5}{c + 2} : \frac{(c + 1)^2 - c}{13c + 26} = \frac{5c^3 - 5}{c + 2} \cdot \frac{13c + 26}{(c + 1)^2 - c}$

Разложим на множители числители и знаменатели:

В числителе первой дроби вынесем $5$ за скобки и применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$5c^3 - 5 = 5(c^3 - 1) = 5(c - 1)(c^2 + c + 1)$.

В числителе второй дроби вынесем $13$ за скобки: $13c + 26 = 13(c + 2)$.

В знаменателе второй дроби раскроем скобки и упростим: $(c + 1)^2 - c = (c^2 + 2c + 1) - c = c^2 + c + 1$.

Подставим разложенные выражения:

$\frac{5(c - 1)(c^2 + c + 1)}{c + 2} \cdot \frac{13(c + 2)}{c^2 + c + 1}$

Сократим общие множители $(c + 2)$ и $(c^2 + c + 1)$:

$\frac{5(c - 1)\cancel{(c^2 + c + 1)}}{\cancel{c + 2}} \cdot \frac{13\cancel{(c + 2)}}{\cancel{c^2 + c + 1}} = 5(c - 1) \cdot 13 = 65(c - 1)$

Ответ: $65(c-1)$

710. Упростите выражение:

а)

Исходное выражение: $\left(\frac{7(m-2)}{m^3 - 8} - \frac{m+2}{m^2 + 2m + 4}\right) \cdot \frac{2m^2 + 4m + 8}{m-3}$

1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$m^3 - 8 = m^3 - 2^3 = (m-2)(m^2 + 2m + 4)$

Подставим это в выражение в скобках:

$\frac{7(m-2)}{(m-2)(m^2 + 2m + 4)} - \frac{m+2}{m^2 + 2m + 4}$

Сократим первую дробь на $(m-2)$:

$\frac{7}{m^2 + 2m + 4} - \frac{m+2}{m^2 + 2m + 4}$

Так как знаменатели одинаковы, вычтем числители:

$\frac{7 - (m+2)}{m^2 + 2m + 4} = \frac{7 - m - 2}{m^2 + 2m + 4} = \frac{5 - m}{m^2 + 2m + 4}$

2. Упростим вторую дробь, вынеся общий множитель 2 в числителе:

$\frac{2m^2 + 4m + 8}{m-3} = \frac{2(m^2 + 2m + 4)}{m-3}$

3. Перемножим полученные выражения:

$\frac{5 - m}{m^2 + 2m + 4} \cdot \frac{2(m^2 + 2m + 4)}{m-3}$

Сократим на $(m^2 + 2m + 4)$:

$\frac{5 - m}{1} \cdot \frac{2}{m-3} = \frac{2(5-m)}{m-3}$

Ответ: $\frac{2(5-m)}{m-3}$

б)

Исходное выражение: $\frac{a+5}{a^2 - 9} : \left(\frac{a+2}{a^2 - 3a + 9} - \frac{2(a+8)}{a^3 + 27}\right)$

1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатель второй дроби по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$a^3 + 27 = a^3 + 3^3 = (a+3)(a^2 - 3a + 9)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(a+3)(a^2 - 3a + 9)$:

$\frac{(a+2)(a+3)}{(a+3)(a^2 - 3a + 9)} - \frac{2(a+8)}{(a+3)(a^2 - 3a + 9)} = \frac{(a+2)(a+3) - 2(a+8)}{(a+3)(a^2 - 3a + 9)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$(a^2 + 3a + 2a + 6) - (2a + 16) = a^2 + 5a + 6 - 2a - 16 = a^2 + 3a - 10$

Разложим числитель на множители: $a^2 + 3a - 10 = (a+5)(a-2)$

Выражение в скобках равно: $\frac{(a+5)(a-2)}{(a+3)(a^2 - 3a + 9)}$

2. Разложим на множители знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$a^2 - 9 = (a-3)(a+3)$

3. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{a+5}{(a-3)(a+3)} : \frac{(a+5)(a-2)}{(a+3)(a^2 - 3a + 9)} = \frac{a+5}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{(a+3)(a^2 - 3a + 9)}{(a+5)(a-2)}$

Сократим общие множители $(a+5)$ и $(a+3)$:

$\frac{1}{a-3} \cdot \frac{a^2 - 3a + 9}{a-2} = \frac{a^2 - 3a + 9}{(a-3)(a-2)}$

Ответ: $\frac{a^2-3a+9}{(a-3)(a-2)}$

в)

Исходное выражение: $\left(\frac{x+2}{3x} - \frac{2}{x-2} - \frac{x-14}{3x^2 - 6x}\right) : \frac{x+2}{6x} \cdot \frac{1}{x-5}$

1. Упростим выражение в скобках. Разложим на множители знаменатель третьей дроби: $3x^2 - 6x = 3x(x-2)$. Общий знаменатель для дробей в скобках - $3x(x-2)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(x+2)(x-2)}{3x(x-2)} - \frac{2 \cdot 3x}{3x(x-2)} - \frac{x-14}{3x(x-2)} = \frac{(x^2 - 4) - 6x - (x-14)}{3x(x-2)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$x^2 - 4 - 6x - x + 14 = x^2 - 7x + 10$

Разложим числитель на множители: $x^2 - 7x + 10 = (x-2)(x-5)$

Выражение в скобках равно: $\frac{(x-2)(x-5)}{3x(x-2)}$

Сократим на $(x-2)$: $\frac{x-5}{3x}$

2. Теперь выполним деление и умножение:

$\frac{x-5}{3x} : \frac{x+2}{6x} \cdot \frac{1}{x-5} = \frac{x-5}{3x} \cdot \frac{6x}{x+2} \cdot \frac{1}{x-5}$

Сократим общие множители $(x-5)$ и $3x$:

$\frac{1}{1} \cdot \frac{2}{x+2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{2}{x+2}$

Ответ: $\frac{2}{x+2}$

г)

Исходное выражение: $\left(\frac{4x}{9-x^2} - \frac{x-3}{9+3x}\right) \cdot \frac{18}{x+3} - \frac{2x}{3-x}$

1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители:

$9 - x^2 = (3-x)(3+x)$

$9 + 3x = 3(3+x)$

Также заметим, что $x-3 = -(3-x)$. Подставим это в выражение:

$\frac{4x}{(3-x)(3+x)} - \frac{-(3-x)}{3(3+x)} = \frac{4x}{(3-x)(3+x)} + \frac{3-x}{3(3+x)}$

Общий знаменатель $3(3-x)(3+x)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{3 \cdot 4x}{3(3-x)(3+x)} + \frac{(3-x)(3-x)}{3(3-x)(3+x)} = \frac{12x + (3-x)^2}{3(3-x)(3+x)}$

Раскроем квадрат в числителе: $12x + (9 - 6x + x^2) = x^2 + 6x + 9$

Свернем числитель по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$: $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$

Выражение в скобках равно: $\frac{(x+3)^2}{3(3-x)(3+x)}$

Сократим на $(x+3)$: $\frac{x+3}{3(3-x)}$

2. Теперь выполним умножение:

$\frac{x+3}{3(3-x)} \cdot \frac{18}{x+3}$

Сократим на $(x+3)$ и на 3:

$\frac{1}{3-x} \cdot \frac{18}{3} = \frac{6}{3-x}$

3. Выполним вычитание:

$\frac{6}{3-x} - \frac{2x}{3-x}$

Так как знаменатели одинаковы, вычтем числители:

$\frac{6 - 2x}{3-x} = \frac{2(3-x)}{3-x}$

Сократим на $(3-x)$:

$2$

Ответ: $2$

711. Преобразуйте выражение:

а) Выполним действия по порядку. Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(1-3m)(3m+1) = 1-9m^2$.
1) $\frac{3m}{1-3m} + \frac{2m}{3m+1} = \frac{3m(3m+1) + 2m(1-3m)}{(1-3m)(3m+1)} = \frac{9m^2 + 3m + 2m - 6m^2}{1-9m^2} = \frac{3m^2 + 5m}{1-9m^2}$.
2) Теперь выполним умножение. Разложим числители и знаменатели на множители:
$3m^2 + 5m = m(3m+5)$
$1-9m^2 = (1-3m)(1+3m) = -(3m-1)(3m+1)$
$9m^2 - 6m + 1 = (3m-1)^2$
$6m^2 + 10m = 2m(3m+5)$
$(\frac{3m^2 + 5m}{1-9m^2}) \cdot \frac{9m^2 - 6m + 1}{6m^2 + 10m} = \frac{m(3m+5)}{-(3m-1)(3m+1)} \cdot \frac{(3m-1)^2}{2m(3m+5)}$.
Сократив общие множители $m$, $(3m+5)$ и $(3m-1)$, получим:
$\frac{1}{-(3m+1)} \cdot \frac{3m-1}{2} = \frac{-(3m-1)}{2(3m+1)} = \frac{1-3m}{2(3m+1)}$.
3) Последнее действие — сложение:
$\frac{1}{2} + \frac{1-3m}{2(3m+1)} = \frac{1(3m+1) + (1-3m)}{2(3m+1)} = \frac{3m+1+1-3m}{2(3m+1)} = \frac{2}{2(3m+1)} = \frac{1}{3m+1}$.
Ответ: $\frac{1}{3m+1}$.

б) Решим по действиям.
1) Упростим выражение в первых скобках: $\frac{1}{x+y} - \frac{y^2}{xy^2-x^3}$.
Разложим знаменатель второй дроби: $xy^2-x^3 = x(y^2-x^2) = x(y-x)(y+x) = -x(x-y)(x+y)$.
$\frac{1}{x+y} - \frac{y^2}{-x(x-y)(x+y)} = \frac{1}{x+y} + \frac{y^2}{x(x-y)(x+y)} = \frac{x(x-y) + y^2}{x(x-y)(x+y)} = \frac{x^2-xy+y^2}{x(x-y)(x+y)}$.
2) Упростим выражение во вторых скобках: $\frac{x-y}{x^2+xy} - \frac{x}{y^2+xy}$.
Разложим знаменатели: $x^2+xy = x(x+y)$, $y^2+xy = y(y+x)$.
$\frac{x-y}{x(x+y)} - \frac{x}{y(x+y)} = \frac{y(x-y) - x^2}{xy(x+y)} = \frac{xy-y^2-x^2}{xy(x+y)} = \frac{-(x^2-xy+y^2)}{xy(x+y)}$.
3) Выполним деление:
$\frac{x^2-xy+y^2}{x(x-y)(x+y)} : \frac{-(x^2-xy+y^2)}{xy(x+y)} = \frac{x^2-xy+y^2}{x(x-y)(x+y)} \cdot \frac{xy(x+y)}{-(x^2-xy+y^2)}$.
Сократив общие множители, получим: $\frac{1}{x-y} \cdot \frac{y}{-1} = \frac{-y}{x-y} = \frac{y}{y-x}$.
4) Выполним вычитание:
$\frac{y}{y-x} - \frac{x}{x+y} = \frac{y(x+y) - x(y-x)}{(y-x)(x+y)} = \frac{xy+y^2-xy+x^2}{y^2-x^2} = \frac{x^2+y^2}{y^2-x^2}$.
Ответ: $\frac{x^2+y^2}{y^2-x^2}$.

в) Сначала упростим выражение в скобках.
1) $\frac{2a^2+3a}{4a^2+12a+9} - \frac{3a+2}{2a+3}$.
Знаменатель первой дроби является полным квадратом: $4a^2+12a+9 = (2a+3)^2$. Числитель: $2a^2+3a = a(2a+3)$.
$\frac{a(2a+3)}{(2a+3)^2} - \frac{3a+2}{2a+3} = \frac{a}{2a+3} - \frac{3a+2}{2a+3} = \frac{a-(3a+2)}{2a+3} = \frac{-2a-2}{2a+3} = \frac{-2(a+1)}{2a+3}$.
2) Теперь выполним умножение:
$\frac{2a+3}{2a-3} \cdot \frac{-2(a+1)}{2a+3} = \frac{-2(a+1)}{2a-3}$.
3) Выполним оставшиеся сложение и вычитание:
$\frac{-2(a+1)}{2a-3} + \frac{4a-1}{2a-3} - \frac{a-1}{a} = \frac{-2a-2+4a-1}{2a-3} - \frac{a-1}{a} = \frac{2a-3}{2a-3} - \frac{a-1}{a} = 1 - \frac{a-1}{a}$.
4) Приведем к общему знаменателю:
$1 - \frac{a-1}{a} = \frac{a}{a} - \frac{a-1}{a} = \frac{a-(a-1)}{a} = \frac{a-a+1}{a} = \frac{1}{a}$.
Ответ: $\frac{1}{a}$.

г) В соответствии с порядком действий, сначала вычислим выражение в скобках.
1) $\frac{a+3}{a^2+2a+1} + \frac{a-1}{a^2-2a-3}$.
Разложим знаменатели на множители: $a^2+2a+1 = (a+1)^2$ и $a^2-2a-3 = (a-3)(a+1)$.
$\frac{a+3}{(a+1)^2} + \frac{a-1}{(a-3)(a+1)} = \frac{(a+3)(a-3) + (a-1)(a+1)}{(a+1)^2(a-3)} = \frac{(a^2-9) + (a^2-1)}{(a+1)^2(a-3)} = \frac{2a^2-10}{(a+1)^2(a-3)}$.
2) Выполним умножение:
$\frac{2a^2-10}{(a+1)^2(a-3)} \cdot \frac{a^2-2a-3}{a+2} = \frac{2(a^2-5)}{(a+1)^2(a-3)} \cdot \frac{(a-3)(a+1)}{a+2}$.
Сократив $(a-3)$ и $(a+1)$, получим: $\frac{2(a^2-5)}{(a+1)(a+2)}$.
3) Выполним вычитание:
$\frac{2(a^2-5)}{(a+1)(a+2)} - 1 = \frac{2a^2-10}{(a+1)(a+2)} - \frac{(a+1)(a+2)}{(a+1)(a+2)} = \frac{2a^2-10 - (a^2+3a+2)}{a^2+3a+2} = \frac{2a^2-10-a^2-3a-2}{a^2+3a+2} = \frac{a^2-3a-12}{a^2+3a+2}$.
Ответ: $\frac{a^2-3a-12}{a^2+3a+2}$.

д) По порядку действий сначала выполним операцию в скобках, затем умножение, а затем сложение.
1) Сложение в скобках: $\frac{3m}{m^3-27} + \frac{1}{m-3}$.
Используем формулу разности кубов $m^3-27 = (m-3)(m^2+3m+9)$.
$\frac{3m}{(m-3)(m^2+3m+9)} + \frac{m^2+3m+9}{(m-3)(m^2+3m+9)} = \frac{m^2+6m+9}{(m-3)(m^2+3m+9)} = \frac{(m+3)^2}{(m-3)(m^2+3m+9)}$.
2) Умножение:
$\frac{m^3-3m^2}{(m+3)^2} \cdot \frac{(m+3)^2}{(m-3)(m^2+3m+9)}$.
Вынесем общий множитель в $m^3-3m^2 = m^2(m-3)$.
$\frac{m^2(m-3)}{(m+3)^2} \cdot \frac{(m+3)^2}{(m-3)(m^2+3m+9)}$.
Сократив $(m-3)$ и $(m+3)^2$, получим: $\frac{m^2}{m^2+3m+9}$.
3) Сложение:
$\frac{3(m+3)}{m^2+3m+9} + \frac{m^2}{m^2+3m+9} = \frac{3m+9+m^2}{m^2+3m+9} = \frac{m^2+3m+9}{m^2+3m+9} = 1$.
Ответ: $1$.

е) Сначала выполним действия в скобках, приведя все дроби к общему знаменателю.
1) Знаменатель $27x^3-1$ является разностью кубов: $27x^3-1 = (3x)^3 - 1^3 = (3x-1)(9x^2+3x+1)$. Это и будет общий знаменатель.
$\frac{9x^2+8}{27x^3-1} - \frac{1}{3x-1} + \frac{4}{9x^2+3x+1} = \frac{9x^2+8 - 1(9x^2+3x+1) + 4(3x-1)}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}$.
Раскроем скобки в числителе:
$9x^2+8 - 9x^2-3x-1 + 12x-4 = (9x^2-9x^2) + (-3x+12x) + (8-1-4) = 9x+3 = 3(3x+1)$.
Таким образом, выражение в скобках равно: $\frac{3(3x+1)}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}$.
2) Теперь выполним умножение:
$\frac{3(3x+1)}{(3x-1)(9x^2+3x+1)} \cdot \frac{3x-1}{3x+1}$.
Сократим общие множители $(3x+1)$ и $(3x-1)$.
В результате остаётся: $\frac{3}{9x^2+3x+1}$.
Ответ: $\frac{3}{9x^2+3x+1}$.