Страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

685. Имеется два сорта сливок — жирностью 10% и 20%. Их смешали в отношении 3 : 1. Какова жирность получившихся сливок?

Для определения жирности получившейся смеси необходимо найти общее количество жира и общую массу сливок, а затем вычислить их процентное соотношение.

Согласно условию, сливки смешали в отношении $3:1$. Это означает, что на $3$ части 10%-ных сливок приходится $1$ часть 20%-ных сливок. Для удобства расчетов можно принять, что масса одной части равна $m$.

Тогда масса 10%-ных сливок, взятых для смеси, равна $3m$, а масса 20%-ных сливок – $m$.

1. Вычислим массу чистого жира в каждом виде сливок:

• Масса жира в 10%-ных сливках: $10\%$ от $3m$, что составляет $0.10 \times 3m = 0.3m$.
• Масса жира в 20%-ных сливках: $20\%$ от $m$, что составляет $0.20 \times m = 0.2m$.

2. Найдем общую массу получившейся смеси и общую массу жира в ней:

• Общая масса смеси: $3m + m = 4m$.
• Общая масса жира в смеси: $0.3m + 0.2m = 0.5m$.

3. Теперь рассчитаем итоговую жирность сливок. Она равна отношению общей массы жира к общей массе смеси, выраженному в процентах.

Жирность $= \frac{\text{общая масса жира}}{\text{общая масса смеси}} \times 100\%$

Подставим найденные значения в формулу:

Жирность $= \frac{0.5m}{4m} \times 100\%$

Величина $m$ в числителе и знаменателе сокращается, поэтому результат не зависит от конкретного веса частей:

Жирность $= \frac{0.5}{4} \times 100\% = 0.125 \times 100\% = 12.5\%$

Ответ: 12.5%

686. а) Клиент банка внёс 80 000 р. на вклад с годовым доходом 5%. Какая сумма окажется у него на счету через 2 года, если он никаких сумм со счёта не снимал и дополнительных вложений не делал?

б) Клиент банка внёс 80 000 р. на вклад с годовым доходом 5%. Через год он положил на этот же вклад ещё 20 000 р. Какая сумма будет у него на счету через 2 года после открытия счёта в банке?

а)

Для нахождения итоговой суммы на счете через 2 года воспользуемся формулой сложных процентов. Эта формула применяется, когда проценты начисляются на первоначальную сумму вклада вместе с уже начисленными за предыдущие периоды процентами.

Формула для расчета итоговой суммы $S$ выглядит следующим образом:

$S = P \cdot (1 + r)^t$

где:

• $P$ — первоначальная сумма вклада (80 000 р.);
• $r$ — годовая процентная ставка, выраженная в долях (5% = 0,05);
• $t$ — количество лет (2 года).

Подставим наши значения в формулу:

$S = 80000 \cdot (1 + 0,05)^2 = 80000 \cdot (1,05)^2$

$S = 80000 \cdot 1,1025 = 88200$ р.

Также можно рассчитать сумму пошагово по годам:

1. Сумма на счете через 1 год:
   $80000 + 80000 \cdot 0,05 = 84000$ р.
2. Сумма на счете через 2 года (проценты начисляются на новую сумму 84 000 р.):
   $84000 + 84000 \cdot 0,05 = 84000 \cdot 1,05 = 88200$ р.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 88 200 р.

б)

В этом случае расчет необходимо проводить поэтапно, так как условия менялись (было дополнительное вложение).

1. Рассчитаем сумму на счете через год. Условия такие же, как в пункте а):

Сумма процентов за первый год: $80000 \cdot 0,05 = 4000$ р.

Сумма на счете в конце первого года до пополнения: $80000 + 4000 = 84000$ р.

2. Через год клиент положил на этот же вклад еще 20 000 р. Обновим сумму на счете:

Новая сумма на начало второго года: $84000 + 20000 = 104000$ р.

3. Теперь рассчитаем проценты за второй год. Они будут начисляться уже на новую, увеличенную сумму:

Сумма процентов за второй год: $104000 \cdot 0,05 = 5200$ р.

Итоговая сумма на счете через 2 года после открытия вклада: $104000 + 5200 = 109200$ р.

Ответ: 109 200 р.

687. Упростите выражение:

а) Раскроем скобки в выражении $(\sqrt{15} + \sqrt{10}) \cdot 2\sqrt{5} - 5\sqrt{12}$, умножив каждый член в скобках на $2\sqrt{5}$:
$\sqrt{15} \cdot 2\sqrt{5} + \sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5} - 5\sqrt{12} = 2\sqrt{15 \cdot 5} + 2\sqrt{10 \cdot 5} - 5\sqrt{12} = 2\sqrt{75} + 2\sqrt{50} - 5\sqrt{12}$.
Теперь упростим каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$;
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$;
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
Подставим упрощенные значения обратно в выражение и приведем подобные слагаемые:
$2 \cdot 5\sqrt{3} + 2 \cdot 5\sqrt{2} - 5 \cdot 2\sqrt{3} = 10\sqrt{3} + 10\sqrt{2} - 10\sqrt{3} = (10\sqrt{3} - 10\sqrt{3}) + 10\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$.
Ответ: $10\sqrt{2}$

б) В выражении $\frac{2\sqrt{70} - 2\sqrt{28}}{3\sqrt{35} - 3\sqrt{14}}$ вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе:
$\frac{2(\sqrt{70} - \sqrt{28})}{3(\sqrt{35} - \sqrt{14})}$.
Заметим, что подкоренные выражения в числителе можно разложить так, чтобы получить множители, как в знаменателе: $\sqrt{70} = \sqrt{35 \cdot 2} = \sqrt{35}\sqrt{2}$ и $\sqrt{28} = \sqrt{14 \cdot 2} = \sqrt{14}\sqrt{2}$.
Подставим это в числитель и вынесем общий множитель $\sqrt{2}$:
$\frac{2(\sqrt{35}\sqrt{2} - \sqrt{14}\sqrt{2})}{3(\sqrt{35} - \sqrt{14})} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{35} - \sqrt{14})}{3(\sqrt{35} - \sqrt{14})}$.
Сократим дробь на одинаковое выражение $(\sqrt{35} - \sqrt{14})$:
$\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

в) Для упрощения выражения $(2\sqrt{12} - 3\sqrt{3})^2$ сначала упростим корень в скобках:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$(2 \cdot 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3})^2 = (4\sqrt{3} - 3\sqrt{3})^2$.
Выполним вычитание в скобках:
$(4\sqrt{3} - 3\sqrt{3})^2 = (\sqrt{3})^2$.
Возведем в квадрат:
$(\sqrt{3})^2 = 3$.
Ответ: $3$

г) Чтобы упростить сумму дробей $\frac{10 - 5\sqrt{3}}{10 + 5\sqrt{3}} + \frac{10 + 5\sqrt{3}}{10 - 5\sqrt{3}}$, приведем их к общему знаменателю $(10 + 5\sqrt{3})(10 - 5\sqrt{3})$:
$\frac{(10 - 5\sqrt{3})^2 + (10 + 5\sqrt{3})^2}{(10 + 5\sqrt{3})(10 - 5\sqrt{3})}$.
Знаменатель является разностью квадратов: $10^2 - (5\sqrt{3})^2 = 100 - (25 \cdot 3) = 100 - 75 = 25$.
Для числителя используем формулы квадрата разности и квадрата суммы:
$(10 - 5\sqrt{3})^2 = 100 - 2 \cdot 10 \cdot 5\sqrt{3} + (5\sqrt{3})^2 = 100 - 100\sqrt{3} + 75 = 175 - 100\sqrt{3}$.
$(10 + 5\sqrt{3})^2 = 100 + 2 \cdot 10 \cdot 5\sqrt{3} + (5\sqrt{3})^2 = 100 + 100\sqrt{3} + 75 = 175 + 100\sqrt{3}$.
Сложим выражения в числителе: $(175 - 100\sqrt{3}) + (175 + 100\sqrt{3}) = 350$.
В итоге получаем: $\frac{350}{25} = 14$.
Ответ: $14$

688. Упростите выражение

Для упрощения выражения $(5-2\sqrt{6})^2 - (3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(4\sqrt{2}+8\sqrt{3})$ выполним действия поочередно.

Сначала возведем в квадрат первую скобку, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(5-2\sqrt{6})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{6} + (2\sqrt{6})^2 = 25 - 20\sqrt{6} + 4 \cdot 6 = 25 - 20\sqrt{6} + 24 = 49 - 20\sqrt{6}$.

Далее, раскроем скобки во второй части выражения, перемножив двучлены:

$(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(4\sqrt{2}+8\sqrt{3}) = 3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \cdot 8\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{2} - 2\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3}$

Вычислим произведение:

$= (12 \cdot 2) + 24\sqrt{6} - 8\sqrt{6} - (16 \cdot 3) = 24 + 24\sqrt{6} - 8\sqrt{6} - 48$

Приведем подобные слагаемые:

$= (24 - 48) + (24\sqrt{6} - 8\sqrt{6}) = -24 + 16\sqrt{6}$.

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:

$(49 - 20\sqrt{6}) - (-24 + 16\sqrt{6})$

Раскроем скобки и выполним вычитание:

$49 - 20\sqrt{6} + 24 - 16\sqrt{6}$

Снова приведем подобные слагаемые:

$(49 + 24) + (-20\sqrt{6} - 16\sqrt{6}) = 73 - 36\sqrt{6}$.

Ответ: $73 - 36\sqrt{6}$.

689. Докажите, что:

а) Для доказательства преобразуем левую часть равенства. В числителе применим свойство произведения корней $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $:
$ \frac{\sqrt{\sqrt{18} - 3} \cdot \sqrt{\sqrt{18} + 3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{18} - 3)(\sqrt{18} + 3)}}{\sqrt{6}} $
Выражение под корнем в числителе является формулой разности квадратов $ (x-y)(x+y)=x^2-y^2 $, где $ x = \sqrt{18} $ и $ y = 3 $:
$ (\sqrt{18} - 3)(\sqrt{18} + 3) = (\sqrt{18})^2 - 3^2 = 18 - 9 = 9 $
Подставив результат в наше выражение, получаем:
$ \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} $
Чтобы привести выражение к виду правой части, представим числитель в виде корня $ 3 = \sqrt{9} $ и воспользуемся свойством частного корней $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $:
$ \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{9}{6}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{1,5} $
Левая часть равна $ \sqrt{1,5} $, что соответствует правой части равенства.
Ответ: Равенство доказано.

б) Для доказательства преобразуем левую часть равенства. В знаменателе применим свойство произведения корней $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $:
$ \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{7 + \sqrt{24}} \cdot \sqrt{7 - \sqrt{24}}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{(7 + \sqrt{24})(7 - \sqrt{24})}} $
Выражение под корнем в знаменателе является формулой разности квадратов $ (x+y)(x-y)=x^2-y^2 $, где $ x = 7 $ и $ y = \sqrt{24} $:
$ (7 + \sqrt{24})(7 - \sqrt{24}) = 7^2 - (\sqrt{24})^2 = 49 - 24 = 25 $
Подставив результат в наше выражение, получаем:
$ \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{10}}{5} $
Чтобы привести выражение к виду правой части, представим знаменатель в виде корня $ 5 = \sqrt{25} $ и воспользуемся свойством частного корней $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $:
$ \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{25}} = \sqrt{\frac{10}{25}} = \sqrt{\frac{2}{5}} = \sqrt{0,4} $
Левая часть равна $ \sqrt{0,4} $, что соответствует правой части равенства.
Ответ: Равенство доказано.

690. Докажите равенство:

а)

Для доказательства равенства $\sqrt{19 - 6\sqrt{10}} = \sqrt{10} - 3$ возведем обе его части в квадрат. Но сначала необходимо убедиться, что обе части равенства неотрицательны, так как возведение в квадрат является равносильным преобразованием только для неотрицательных выражений.

1. Проверим знак левой части. Выражение $\sqrt{19 - 6\sqrt{10}}$ является арифметическим квадратным корнем, который по определению не может быть отрицательным. Проверим, является ли подкоренное выражение неотрицательным: $19 - 6\sqrt{10} \ge 0$. Для этого сравним $19$ и $6\sqrt{10}$.

$19^2 = 361$

$(6\sqrt{10})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{10})^2 = 36 \cdot 10 = 360$

Поскольку $361 > 360$, то $19 > 6\sqrt{10}$, а значит $19 - 6\sqrt{10} > 0$. Левая часть определена и положительна.

2. Проверим знак правой части: $\sqrt{10} - 3$. Сравним $\sqrt{10}$ и $3$.

$(\sqrt{10})^2 = 10$

$3^2 = 9$

Поскольку $10 > 9$, то $\sqrt{10} > 3$, а значит $\sqrt{10} - 3 > 0$. Правая часть положительна.

3. Так как обе части равенства положительны, мы можем возвести их в квадрат. Равенство будет верным, если квадраты его частей равны.

Квадрат левой части: $(\sqrt{19 - 6\sqrt{10}})^2 = 19 - 6\sqrt{10}$.

Квадрат правой части (используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$):

$(\sqrt{10} - 3)^2 = (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 3 + 3^2 = 10 - 6\sqrt{10} + 9 = 19 - 6\sqrt{10}$.

Мы получили, что квадраты обеих частей равны ($19 - 6\sqrt{10} = 19 - 6\sqrt{10}$). Так как обе части исходного равенства были положительны, то и само равенство является верным.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства равенства $\sqrt{23 - 8\sqrt{7}} = 4 - \sqrt{7}$ возведем обе его части в квадрат, предварительно проверив их знаки.

1. Проверим знак левой части. Выражение $\sqrt{23 - 8\sqrt{7}}$ является арифметическим квадратным корнем и, следовательно, неотрицательно. Проверим подкоренное выражение: $23 - 8\sqrt{7} \ge 0$. Сравним $23$ и $8\sqrt{7}$.

$23^2 = 529$

$(8\sqrt{7})^2 = 8^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 64 \cdot 7 = 448$

Поскольку $529 > 448$, то $23 > 8\sqrt{7}$, а значит $23 - 8\sqrt{7} > 0$. Левая часть определена и положительна.

2. Проверим знак правой части: $4 - \sqrt{7}$. Сравним $4$ и $\sqrt{7}$.

$4^2 = 16$

$(\sqrt{7})^2 = 7$

Поскольку $16 > 7$, то $4 > \sqrt{7}$, а значит $4 - \sqrt{7} > 0$. Правая часть положительна.

3. Так как обе части равенства положительны, возведем их в квадрат.

Квадрат левой части: $(\sqrt{23 - 8\sqrt{7}})^2 = 23 - 8\sqrt{7}$.

Квадрат правой части (используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$):

$(4 - \sqrt{7})^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 16 - 8\sqrt{7} + 7 = 23 - 8\sqrt{7}$.

Квадраты левой и правой частей равны ($23 - 8\sqrt{7} = 23 - 8\sqrt{7}$). Так как обе части исходного равенства были положительны, то само равенство верно.

Ответ: Равенство доказано.

691. Найдите значение выражения:

а) Чтобы найти значение выражения $3x^2 - 6x - 5$ при $x = 1 + \sqrt{2}$, удобно сначала преобразовать само выражение и условие.
В выражении $3x^2 - 6x - 5$ вынесем общий множитель 3 за скобки у первых двух слагаемых:
$3x^2 - 6x - 5 = 3(x^2 - 2x) - 5$.
Теперь преобразуем данное значение $x$. Из условия $x = 1 + \sqrt{2}$ следует, что:
$x - 1 = \sqrt{2}$.
Возведем обе части этого равенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(x - 1)^2 = (\sqrt{2})^2$
$x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = 2$
$x^2 - 2x + 1 = 2$
Отсюда можно выразить комбинацию $x^2 - 2x$:
$x^2 - 2x = 2 - 1 = 1$.
Теперь подставим полученное значение ($x^2 - 2x = 1$) в преобразованное исходное выражение:
$3(x^2 - 2x) - 5 = 3 \cdot 1 - 5 = 3 - 5 = -2$.
Ответ: -2.

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{x^2 - x - 5}{x - 1}$ при $x = \sqrt{5} + 1$, также сначала упростим выражение.
Преобразуем числитель дроби $x^2 - x - 5$, выделив в нем выражение, равное знаменателю $(x - 1)$. Для этого сгруппируем первые два члена и вынесем $x$ за скобку:
$x^2 - x - 5 = (x^2 - x) - 5 = x(x - 1) - 5$.
Теперь подставим это в исходную дробь:
$\frac{x(x - 1) - 5}{x - 1}$.
Разделим выражение почленно на знаменатель:
$\frac{x(x - 1)}{x - 1} - \frac{5}{x - 1} = x - \frac{5}{x - 1}$.
Теперь подставим в это упрощенное выражение значение $x = \sqrt{5} + 1$.
Найдем значение знаменателя $x - 1$:
$x - 1 = (\sqrt{5} + 1) - 1 = \sqrt{5}$.
Подставим все значения в выражение $x - \frac{5}{x - 1}$:
$(\sqrt{5} + 1) - \frac{5}{\sqrt{5}}$.
Упростим дробь $\frac{5}{\sqrt{5}}$, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$ (избавление от иррациональности в знаменателе):
$\frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$.
Произведем финальный расчет:
$(\sqrt{5} + 1) - \sqrt{5} = \sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} = 1$.
Ответ: 1.

692. Найдите значение выражения:

a) $0,3^{-3} + (\frac{3}{7})^{-1} + (-0,5)^{-2} \cdot \frac{3}{4} + (-1)^{-8} \cdot 6$

Для решения этого выражения вычислим значение каждого слагаемого по отдельности, используя свойства степени. Основное свойство для отрицательной степени: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$.

1. Вычислим $0,3^{-3}$. Сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,3 = \frac{3}{10}$.
$0,3^{-3} = (\frac{3}{10})^{-3} = (\frac{10}{3})^{3} = \frac{10^3}{3^3} = \frac{1000}{27}$.

2. Вычислим $(\frac{3}{7})^{-1}$.
$(\frac{3}{7})^{-1} = (\frac{7}{3})^{1} = \frac{7}{3}$.

3. Вычислим $(-0,5)^{-2} \cdot \frac{3}{4}$. Представим $-0,5$ в виде дроби: $-0,5 = -\frac{1}{2}$.
$(-0,5)^{-2} = (-\frac{1}{2})^{-2} = (-2)^{2} = 4$.
Теперь умножим результат: $4 \cdot \frac{3}{4} = 3$.

4. Вычислим $(-1)^{-8} \cdot 6$. Так как показатель степени $-8$ является четным числом, то $(-1)^{-8} = 1$.
$(-1)^{-8} \cdot 6 = 1 \cdot 6 = 6$.

Теперь сложим все полученные значения:
$\frac{1000}{27} + \frac{7}{3} + 3 + 6 = \frac{1000}{27} + \frac{7}{3} + 9$.
Приведем дроби к общему знаменателю 27:
$\frac{7}{3} = \frac{7 \cdot 9}{3 \cdot 9} = \frac{63}{27}$.
$9 = \frac{9 \cdot 27}{1 \cdot 27} = \frac{243}{27}$.
Сложим дроби:
$\frac{1000}{27} + \frac{63}{27} + \frac{243}{27} = \frac{1000 + 63 + 243}{27} = \frac{1306}{27}$.

Выделим целую часть из неправильной дроби:
$1306 \div 27 = 48$ (остаток $10$).
Значит, $\frac{1306}{27} = 48 \frac{10}{27}$.

Ответ: $48 \frac{10}{27}$.

б) $(\frac{2}{3})^{-2} - (\frac{1}{9})^{-1} + (\frac{6}{17})^{0} \cdot \frac{1}{8} - 0,25^{-2} \cdot 16$

Решим это выражение по действиям.

1. Вычислим $(\frac{2}{3})^{-2}$.
$(\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$.

2. Вычислим $(\frac{1}{9})^{-1}$.
$(\frac{1}{9})^{-1} = (\frac{9}{1})^{1} = 9$.

3. Вычислим $(\frac{6}{17})^{0} \cdot \frac{1}{8}$. Любое ненулевое число в степени 0 равно 1.
$(\frac{6}{17})^{0} = 1$.
$1 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$.

4. Вычислим $0,25^{-2} \cdot 16$. Представим $0,25$ в виде дроби: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
$0,25^{-2} = (\frac{1}{4})^{-2} = 4^{2} = 16$.
$16 \cdot 16 = 256$.

Теперь подставим все значения в исходное выражение:
$\frac{9}{4} - 9 + \frac{1}{8} - 256$.
Сгруппируем дроби и целые числа:
$(\frac{9}{4} + \frac{1}{8}) - (9 + 256)$.
Приведем дроби к общему знаменателю 8: $\frac{9}{4} = \frac{18}{8}$.
$\frac{18}{8} + \frac{1}{8} = \frac{19}{8}$.
Вычислим сумму целых чисел: $9 + 256 = 265$.
Получаем: $\frac{19}{8} - 265$.
Переведем 265 в дробь со знаменателем 8: $265 = \frac{265 \cdot 8}{8} = \frac{2120}{8}$.
$\frac{19}{8} - \frac{2120}{8} = \frac{19 - 2120}{8} = -\frac{2101}{8}$.

Выделим целую часть:
$2101 \div 8 = 262$ (остаток $5$).
Значит, $-\frac{2101}{8} = -262 \frac{5}{8}$.
Это значение также можно представить в виде десятичной дроби: $-262,625$.

Ответ: $-262 \frac{5}{8}$.

693. Верно ли высказывание:

а) простое число не может быть чётным;

б) простое число не имеет делителей;

в) квадрат чётного числа — число чётное?

а) Это высказывание неверно. По определению, простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя. Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Рассмотрим число 2. Оно является чётным, так как $2 \div 2 = 1$. Также оно является простым, так как его делителями являются только 1 и 2. Таким образом, существует простое число (число 2), которое является чётным. Это единственный контрпример, но его достаточно, чтобы опровергнуть данное утверждение. Все остальные простые числа являются нечётными.
Ответ: неверно.

б) Это высказывание неверно. По определению, любое простое число $p$ имеет ровно два делителя: 1 и само число $p$. Утверждение, что у простого числа нет делителей, противоречит его определению. Например, у простого числа 5 есть два делителя: 1 и 5. У простого числа 19 есть два делителя: 1 и 19. Любое натуральное число $n > 1$ имеет как минимум два делителя (1 и $n$), поэтому утверждение, что у какого-либо числа нет делителей, в принципе неверно для натуральных чисел.
Ответ: неверно.

в) Это высказывание верно. Любое чётное число можно представить в виде $2k$, где $k$ — некоторое целое число. Найдём квадрат этого числа: $(2k)^2 = 2^2 \cdot k^2 = 4k^2$. Полученное число $4k^2$ можно представить как $2 \cdot (2k^2)$. Так как $k$ — целое число, то и $2k^2$ — тоже целое число. Обозначим $m = 2k^2$. Тогда квадрат чётного числа равен $2m$, что по определению является чётным числом, так как делится на 2 без остатка. Например, возьмём чётное число 6. Его квадрат равен $6^2 = 36$. Число 36 является чётным.
Ответ: верно.

694. а) Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии (aₙ), если a₂ = –6, a₃ = –2.

б) Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии (xₙ), если x₂ = –2,4 и d = 1,2.

а) Для нахождения пятнадцатого члена арифметической прогрессии $(a_n)$ необходимо сначала определить её разность $d$ и первый член $a_1$.

Разность $d$ найдем как разницу между третьим и вторым членами, которые даны в условии ($a_2 = -6, a_3 = -2$):

$d = a_3 - a_2 = -2 - (-6) = -2 + 6 = 4$.

Первый член $a_1$ найдем, зная второй член и разность, из формулы $a_2 = a_1 + d$:

$a_1 = a_2 - d = -6 - 4 = -10$.

Теперь, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, вычислим пятнадцатый член прогрессии ($n=15$):

$a_{15} = a_1 + (15 - 1)d = -10 + 14 \cdot 4 = -10 + 56 = 46$.

Ответ: 46

б) Чтобы найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии $(x_n)$, нам нужен её первый член $x_1$ и разность $d$. По условию $x_2 = -2,4$ и $d = 1,2$.

Найдем первый член $x_1$, зная второй член $x_2$ и разность $d$:

$x_1 = x_2 - d = -2,4 - 1,2 = -3,6$.

Формула для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2x_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Вычислим сумму первых десяти членов ($n=10$), подставив известные значения в формулу:

$S_{10} = \frac{2 \cdot (-3,6) + (10 - 1) \cdot 1,2}{2} \cdot 10 = \frac{-7,2 + 9 \cdot 1,2}{2} \cdot 10 = \frac{-7,2 + 10,8}{2} \cdot 10 = \frac{3,6}{2} \cdot 10 = 1,8 \cdot 10 = 18$.

Ответ: 18