Номер 690, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 690, страница 189.

Условие.

690. Докажите равенство:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Для доказательства равенства $\sqrt{19 - 6\sqrt{10}} = \sqrt{10} - 3$ возведем обе его части в квадрат. Но сначала необходимо убедиться, что обе части равенства неотрицательны, так как возведение в квадрат является равносильным преобразованием только для неотрицательных выражений.

1. Проверим знак левой части. Выражение $\sqrt{19 - 6\sqrt{10}}$ является арифметическим квадратным корнем, который по определению не может быть отрицательным. Проверим, является ли подкоренное выражение неотрицательным: $19 - 6\sqrt{10} \ge 0$. Для этого сравним $19$ и $6\sqrt{10}$.

$19^2 = 361$

$(6\sqrt{10})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{10})^2 = 36 \cdot 10 = 360$

Поскольку $361 > 360$, то $19 > 6\sqrt{10}$, а значит $19 - 6\sqrt{10} > 0$. Левая часть определена и положительна.

2. Проверим знак правой части: $\sqrt{10} - 3$. Сравним $\sqrt{10}$ и $3$.

$(\sqrt{10})^2 = 10$

$3^2 = 9$

Поскольку $10 > 9$, то $\sqrt{10} > 3$, а значит $\sqrt{10} - 3 > 0$. Правая часть положительна.

3. Так как обе части равенства положительны, мы можем возвести их в квадрат. Равенство будет верным, если квадраты его частей равны.

Квадрат левой части: $(\sqrt{19 - 6\sqrt{10}})^2 = 19 - 6\sqrt{10}$.

Квадрат правой части (используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$):

$(\sqrt{10} - 3)^2 = (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 3 + 3^2 = 10 - 6\sqrt{10} + 9 = 19 - 6\sqrt{10}$.

Мы получили, что квадраты обеих частей равны ($19 - 6\sqrt{10} = 19 - 6\sqrt{10}$). Так как обе части исходного равенства были положительны, то и само равенство является верным.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства равенства $\sqrt{23 - 8\sqrt{7}} = 4 - \sqrt{7}$ возведем обе его части в квадрат, предварительно проверив их знаки.

1. Проверим знак левой части. Выражение $\sqrt{23 - 8\sqrt{7}}$ является арифметическим квадратным корнем и, следовательно, неотрицательно. Проверим подкоренное выражение: $23 - 8\sqrt{7} \ge 0$. Сравним $23$ и $8\sqrt{7}$.

$23^2 = 529$

$(8\sqrt{7})^2 = 8^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 64 \cdot 7 = 448$

Поскольку $529 > 448$, то $23 > 8\sqrt{7}$, а значит $23 - 8\sqrt{7} > 0$. Левая часть определена и положительна.

2. Проверим знак правой части: $4 - \sqrt{7}$. Сравним $4$ и $\sqrt{7}$.

$4^2 = 16$

$(\sqrt{7})^2 = 7$

Поскольку $16 > 7$, то $4 > \sqrt{7}$, а значит $4 - \sqrt{7} > 0$. Правая часть положительна.

3. Так как обе части равенства положительны, возведем их в квадрат.

Квадрат левой части: $(\sqrt{23 - 8\sqrt{7}})^2 = 23 - 8\sqrt{7}$.

Квадрат правой части (используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$):

$(4 - \sqrt{7})^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 16 - 8\sqrt{7} + 7 = 23 - 8\sqrt{7}$.

Квадраты левой и правой частей равны ($23 - 8\sqrt{7} = 23 - 8\sqrt{7}$). Так как обе части исходного равенства были положительны, то само равенство верно.

Ответ: Равенство доказано.