Номер 696, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 696, страница 190.

Условие.

696. Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии (xₙ), если x₂ = –32 и q = − $\frac{1}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) используется формула:

$S_n = \frac{x_1(1 - q^n)}{1 - q}$

где $x_1$ — первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — количество членов.

По условию задачи, мы знаем второй член прогрессии $x_2 = -32$, знаменатель $q = -\frac{1}{2}$ и количество членов $n = 10$. Однако для использования формулы суммы нам нужен первый член прогрессии $x_1$.

Связь между членами геометрической прогрессии выражается формулой $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$. Для второго члена ($n=2$) это выглядит так: $x_2 = x_1 \cdot q$.

Выразим из этой формулы $x_1$:

$x_1 = \frac{x_2}{q}$

Подставим известные значения $x_2$ и $q$:

$x_1 = \frac{-32}{-\frac{1}{2}} = -32 \cdot (-2) = 64$

Теперь у нас есть все необходимые данные для расчета суммы первых десяти членов: $x_1 = 64$, $q = -\frac{1}{2}$, $n = 10$.

Подставим эти значения в формулу суммы:

$S_{10} = \frac{64 \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{10}\right)}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)}$

Выполним вычисления по шагам.

1. Вычислим знаменатель дроби:

$1 - \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

2. Вычислим $q^{10}$:

$\left(-\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{(-1)^{10}}{2^{10}} = \frac{1}{1024}$

3. Вычислим выражение в скобках в числителе:

$1 - \frac{1}{1024} = \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024} = \frac{1023}{1024}$

4. Подставим полученные результаты обратно в формулу для $S_{10}$:

$S_{10} = \frac{64 \cdot \frac{1023}{1024}}{\frac{3}{2}}$

5. Упростим числитель, зная, что $1024 = 64 \cdot 16$:

$64 \cdot \frac{1023}{1024} = \frac{1023}{16}$

6. Выполним деление:

$S_{10} = \frac{\frac{1023}{16}}{\frac{3}{2}} = \frac{1023}{16} \cdot \frac{2}{3}$

7. Сократим дробь перед умножением:

$S_{10} = \frac{1023 \div 3}{16 \div 2} = \frac{341}{8}$

Ответ: $\frac{341}{8}$.