Номер 703, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

703. Разложите на множители:

а) $x^4 - 25y^2$

Данное выражение представляет собой разность квадратов, так как его можно записать в виде $(x^2)^2 - (5y)^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = x^2$ и $b = 5y$.

Подставляем значения в формулу:

$x^4 - 25y^2 = (x^2)^2 - (5y)^2 = (x^2 - 5y)(x^2 + 5y)$.

Ответ: $(x^2 - 5y)(x^2 + 5y)$.

б) $4b^2 - 0,01c^6$

Это выражение также является разностью квадратов. Представим его в виде $(2b)^2 - (0,1c^3)^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Здесь $a = 2b$ и $b = 0,1c^3$.

Подставляем в формулу:

$4b^2 - 0,01c^6 = (2b)^2 - (0,1c^3)^2 = (2b - 0,1c^3)(2b + 0,1c^3)$.

Ответ: $(2b - 0,1c^3)(2b + 0,1c^3)$.

в) $8a^3 + c^3$

Это выражение является суммой кубов. Представим его в виде $(2a)^3 + c^3$. Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В данном случае $a = 2a$ и $b = c$.

Подставляем в формулу:

$8a^3 + c^3 = (2a)^3 + c^3 = (2a + c)((2a)^2 - (2a)(c) + c^2) = (2a + c)(4a^2 - 2ac + c^2)$.

Ответ: $(2a + c)(4a^2 - 2ac + c^2)$.

г) $x^9 - 27$

Данное выражение является разностью кубов, так как его можно представить в виде $(x^3)^3 - 3^3$. Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Здесь $a = x^3$ и $b = 3$.

Подставляем в формулу:

$x^9 - 27 = (x^3)^3 - 3^3 = (x^3 - 3)((x^3)^2 + (x^3)(3) + 3^2) = (x^3 - 3)(x^6 + 3x^3 + 9)$.

Ответ: $(x^3 - 3)(x^6 + 3x^3 + 9)$.

д) $9ab^2 - 16ac^2$

Сначала вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$9ab^2 - 16ac^2 = a(9b^2 - 16c^2)$.

Выражение в скобках $9b^2 - 16c^2$ является разностью квадратов: $(3b)^2 - (4c)^2$. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$9b^2 - 16c^2 = (3b - 4c)(3b + 4c)$.

Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители:

$a(3b - 4c)(3b + 4c)$.

Ответ: $a(3b - 4c)(3b + 4c)$.

е) $-20xy^3 + 45x^3y$

Для удобства поменяем слагаемые местами: $45x^3y - 20xy^3$.

Найдем общий множитель для обоих членов. Наибольший общий делитель для 45 и 20 равен 5. Общие переменные - $x$ и $y$. Вынесем за скобки $5xy$:

$5xy(9x^2 - 4y^2)$.

Выражение в скобках $9x^2 - 4y^2$ является разностью квадратов: $(3x)^2 - (2y)^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$9x^2 - 4y^2 = (3x - 2y)(3x + 2y)$.

Следовательно, окончательное разложение на множители имеет вид:

$5xy(3x - 2y)(3x + 2y)$.

Ответ: $5xy(3x - 2y)(3x + 2y)$.