Номер 710, страница 192 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

710. Упростите выражение:

а)

Исходное выражение: $\left(\frac{7(m-2)}{m^3 - 8} - \frac{m+2}{m^2 + 2m + 4}\right) \cdot \frac{2m^2 + 4m + 8}{m-3}$

1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$m^3 - 8 = m^3 - 2^3 = (m-2)(m^2 + 2m + 4)$

Подставим это в выражение в скобках:

$\frac{7(m-2)}{(m-2)(m^2 + 2m + 4)} - \frac{m+2}{m^2 + 2m + 4}$

Сократим первую дробь на $(m-2)$:

$\frac{7}{m^2 + 2m + 4} - \frac{m+2}{m^2 + 2m + 4}$

Так как знаменатели одинаковы, вычтем числители:

$\frac{7 - (m+2)}{m^2 + 2m + 4} = \frac{7 - m - 2}{m^2 + 2m + 4} = \frac{5 - m}{m^2 + 2m + 4}$

2. Упростим вторую дробь, вынеся общий множитель 2 в числителе:

$\frac{2m^2 + 4m + 8}{m-3} = \frac{2(m^2 + 2m + 4)}{m-3}$

3. Перемножим полученные выражения:

$\frac{5 - m}{m^2 + 2m + 4} \cdot \frac{2(m^2 + 2m + 4)}{m-3}$

Сократим на $(m^2 + 2m + 4)$:

$\frac{5 - m}{1} \cdot \frac{2}{m-3} = \frac{2(5-m)}{m-3}$

Ответ: $\frac{2(5-m)}{m-3}$

б)

Исходное выражение: $\frac{a+5}{a^2 - 9} : \left(\frac{a+2}{a^2 - 3a + 9} - \frac{2(a+8)}{a^3 + 27}\right)$

1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатель второй дроби по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$a^3 + 27 = a^3 + 3^3 = (a+3)(a^2 - 3a + 9)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(a+3)(a^2 - 3a + 9)$:

$\frac{(a+2)(a+3)}{(a+3)(a^2 - 3a + 9)} - \frac{2(a+8)}{(a+3)(a^2 - 3a + 9)} = \frac{(a+2)(a+3) - 2(a+8)}{(a+3)(a^2 - 3a + 9)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$(a^2 + 3a + 2a + 6) - (2a + 16) = a^2 + 5a + 6 - 2a - 16 = a^2 + 3a - 10$

Разложим числитель на множители: $a^2 + 3a - 10 = (a+5)(a-2)$

Выражение в скобках равно: $\frac{(a+5)(a-2)}{(a+3)(a^2 - 3a + 9)}$

2. Разложим на множители знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$a^2 - 9 = (a-3)(a+3)$

3. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{a+5}{(a-3)(a+3)} : \frac{(a+5)(a-2)}{(a+3)(a^2 - 3a + 9)} = \frac{a+5}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{(a+3)(a^2 - 3a + 9)}{(a+5)(a-2)}$

Сократим общие множители $(a+5)$ и $(a+3)$:

$\frac{1}{a-3} \cdot \frac{a^2 - 3a + 9}{a-2} = \frac{a^2 - 3a + 9}{(a-3)(a-2)}$

Ответ: $\frac{a^2-3a+9}{(a-3)(a-2)}$

в)

Исходное выражение: $\left(\frac{x+2}{3x} - \frac{2}{x-2} - \frac{x-14}{3x^2 - 6x}\right) : \frac{x+2}{6x} \cdot \frac{1}{x-5}$

1. Упростим выражение в скобках. Разложим на множители знаменатель третьей дроби: $3x^2 - 6x = 3x(x-2)$. Общий знаменатель для дробей в скобках - $3x(x-2)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(x+2)(x-2)}{3x(x-2)} - \frac{2 \cdot 3x}{3x(x-2)} - \frac{x-14}{3x(x-2)} = \frac{(x^2 - 4) - 6x - (x-14)}{3x(x-2)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$x^2 - 4 - 6x - x + 14 = x^2 - 7x + 10$

Разложим числитель на множители: $x^2 - 7x + 10 = (x-2)(x-5)$

Выражение в скобках равно: $\frac{(x-2)(x-5)}{3x(x-2)}$

Сократим на $(x-2)$: $\frac{x-5}{3x}$

2. Теперь выполним деление и умножение:

$\frac{x-5}{3x} : \frac{x+2}{6x} \cdot \frac{1}{x-5} = \frac{x-5}{3x} \cdot \frac{6x}{x+2} \cdot \frac{1}{x-5}$

Сократим общие множители $(x-5)$ и $3x$:

$\frac{1}{1} \cdot \frac{2}{x+2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{2}{x+2}$

Ответ: $\frac{2}{x+2}$

г)

Исходное выражение: $\left(\frac{4x}{9-x^2} - \frac{x-3}{9+3x}\right) \cdot \frac{18}{x+3} - \frac{2x}{3-x}$

1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители:

$9 - x^2 = (3-x)(3+x)$

$9 + 3x = 3(3+x)$

Также заметим, что $x-3 = -(3-x)$. Подставим это в выражение:

$\frac{4x}{(3-x)(3+x)} - \frac{-(3-x)}{3(3+x)} = \frac{4x}{(3-x)(3+x)} + \frac{3-x}{3(3+x)}$

Общий знаменатель $3(3-x)(3+x)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{3 \cdot 4x}{3(3-x)(3+x)} + \frac{(3-x)(3-x)}{3(3-x)(3+x)} = \frac{12x + (3-x)^2}{3(3-x)(3+x)}$

Раскроем квадрат в числителе: $12x + (9 - 6x + x^2) = x^2 + 6x + 9$

Свернем числитель по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$: $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$

Выражение в скобках равно: $\frac{(x+3)^2}{3(3-x)(3+x)}$

Сократим на $(x+3)$: $\frac{x+3}{3(3-x)}$

2. Теперь выполним умножение:

$\frac{x+3}{3(3-x)} \cdot \frac{18}{x+3}$

Сократим на $(x+3)$ и на 3:

$\frac{1}{3-x} \cdot \frac{18}{3} = \frac{6}{3-x}$

3. Выполним вычитание:

$\frac{6}{3-x} - \frac{2x}{3-x}$

Так как знаменатели одинаковы, вычтем числители:

$\frac{6 - 2x}{3-x} = \frac{2(3-x)}{3-x}$

Сократим на $(3-x)$:

$2$

Ответ: $2$