Номер 711, страница 192 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

711. Преобразуйте выражение:

а) Выполним действия по порядку. Сначала выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(1-3m)(3m+1) = 1-9m^2$.
1) $\frac{3m}{1-3m} + \frac{2m}{3m+1} = \frac{3m(3m+1) + 2m(1-3m)}{(1-3m)(3m+1)} = \frac{9m^2 + 3m + 2m - 6m^2}{1-9m^2} = \frac{3m^2 + 5m}{1-9m^2}$.
2) Теперь выполним умножение. Разложим числители и знаменатели на множители:
$3m^2 + 5m = m(3m+5)$
$1-9m^2 = (1-3m)(1+3m) = -(3m-1)(3m+1)$
$9m^2 - 6m + 1 = (3m-1)^2$
$6m^2 + 10m = 2m(3m+5)$
$(\frac{3m^2 + 5m}{1-9m^2}) \cdot \frac{9m^2 - 6m + 1}{6m^2 + 10m} = \frac{m(3m+5)}{-(3m-1)(3m+1)} \cdot \frac{(3m-1)^2}{2m(3m+5)}$.
Сократив общие множители $m$, $(3m+5)$ и $(3m-1)$, получим:
$\frac{1}{-(3m+1)} \cdot \frac{3m-1}{2} = \frac{-(3m-1)}{2(3m+1)} = \frac{1-3m}{2(3m+1)}$.
3) Последнее действие — сложение:
$\frac{1}{2} + \frac{1-3m}{2(3m+1)} = \frac{1(3m+1) + (1-3m)}{2(3m+1)} = \frac{3m+1+1-3m}{2(3m+1)} = \frac{2}{2(3m+1)} = \frac{1}{3m+1}$.
Ответ: $\frac{1}{3m+1}$.

б) Решим по действиям.
1) Упростим выражение в первых скобках: $\frac{1}{x+y} - \frac{y^2}{xy^2-x^3}$.
Разложим знаменатель второй дроби: $xy^2-x^3 = x(y^2-x^2) = x(y-x)(y+x) = -x(x-y)(x+y)$.
$\frac{1}{x+y} - \frac{y^2}{-x(x-y)(x+y)} = \frac{1}{x+y} + \frac{y^2}{x(x-y)(x+y)} = \frac{x(x-y) + y^2}{x(x-y)(x+y)} = \frac{x^2-xy+y^2}{x(x-y)(x+y)}$.
2) Упростим выражение во вторых скобках: $\frac{x-y}{x^2+xy} - \frac{x}{y^2+xy}$.
Разложим знаменатели: $x^2+xy = x(x+y)$, $y^2+xy = y(y+x)$.
$\frac{x-y}{x(x+y)} - \frac{x}{y(x+y)} = \frac{y(x-y) - x^2}{xy(x+y)} = \frac{xy-y^2-x^2}{xy(x+y)} = \frac{-(x^2-xy+y^2)}{xy(x+y)}$.
3) Выполним деление:
$\frac{x^2-xy+y^2}{x(x-y)(x+y)} : \frac{-(x^2-xy+y^2)}{xy(x+y)} = \frac{x^2-xy+y^2}{x(x-y)(x+y)} \cdot \frac{xy(x+y)}{-(x^2-xy+y^2)}$.
Сократив общие множители, получим: $\frac{1}{x-y} \cdot \frac{y}{-1} = \frac{-y}{x-y} = \frac{y}{y-x}$.
4) Выполним вычитание:
$\frac{y}{y-x} - \frac{x}{x+y} = \frac{y(x+y) - x(y-x)}{(y-x)(x+y)} = \frac{xy+y^2-xy+x^2}{y^2-x^2} = \frac{x^2+y^2}{y^2-x^2}$.
Ответ: $\frac{x^2+y^2}{y^2-x^2}$.

в) Сначала упростим выражение в скобках.
1) $\frac{2a^2+3a}{4a^2+12a+9} - \frac{3a+2}{2a+3}$.
Знаменатель первой дроби является полным квадратом: $4a^2+12a+9 = (2a+3)^2$. Числитель: $2a^2+3a = a(2a+3)$.
$\frac{a(2a+3)}{(2a+3)^2} - \frac{3a+2}{2a+3} = \frac{a}{2a+3} - \frac{3a+2}{2a+3} = \frac{a-(3a+2)}{2a+3} = \frac{-2a-2}{2a+3} = \frac{-2(a+1)}{2a+3}$.
2) Теперь выполним умножение:
$\frac{2a+3}{2a-3} \cdot \frac{-2(a+1)}{2a+3} = \frac{-2(a+1)}{2a-3}$.
3) Выполним оставшиеся сложение и вычитание:
$\frac{-2(a+1)}{2a-3} + \frac{4a-1}{2a-3} - \frac{a-1}{a} = \frac{-2a-2+4a-1}{2a-3} - \frac{a-1}{a} = \frac{2a-3}{2a-3} - \frac{a-1}{a} = 1 - \frac{a-1}{a}$.
4) Приведем к общему знаменателю:
$1 - \frac{a-1}{a} = \frac{a}{a} - \frac{a-1}{a} = \frac{a-(a-1)}{a} = \frac{a-a+1}{a} = \frac{1}{a}$.
Ответ: $\frac{1}{a}$.

г) В соответствии с порядком действий, сначала вычислим выражение в скобках.
1) $\frac{a+3}{a^2+2a+1} + \frac{a-1}{a^2-2a-3}$.
Разложим знаменатели на множители: $a^2+2a+1 = (a+1)^2$ и $a^2-2a-3 = (a-3)(a+1)$.
$\frac{a+3}{(a+1)^2} + \frac{a-1}{(a-3)(a+1)} = \frac{(a+3)(a-3) + (a-1)(a+1)}{(a+1)^2(a-3)} = \frac{(a^2-9) + (a^2-1)}{(a+1)^2(a-3)} = \frac{2a^2-10}{(a+1)^2(a-3)}$.
2) Выполним умножение:
$\frac{2a^2-10}{(a+1)^2(a-3)} \cdot \frac{a^2-2a-3}{a+2} = \frac{2(a^2-5)}{(a+1)^2(a-3)} \cdot \frac{(a-3)(a+1)}{a+2}$.
Сократив $(a-3)$ и $(a+1)$, получим: $\frac{2(a^2-5)}{(a+1)(a+2)}$.
3) Выполним вычитание:
$\frac{2(a^2-5)}{(a+1)(a+2)} - 1 = \frac{2a^2-10}{(a+1)(a+2)} - \frac{(a+1)(a+2)}{(a+1)(a+2)} = \frac{2a^2-10 - (a^2+3a+2)}{a^2+3a+2} = \frac{2a^2-10-a^2-3a-2}{a^2+3a+2} = \frac{a^2-3a-12}{a^2+3a+2}$.
Ответ: $\frac{a^2-3a-12}{a^2+3a+2}$.

д) По порядку действий сначала выполним операцию в скобках, затем умножение, а затем сложение.
1) Сложение в скобках: $\frac{3m}{m^3-27} + \frac{1}{m-3}$.
Используем формулу разности кубов $m^3-27 = (m-3)(m^2+3m+9)$.
$\frac{3m}{(m-3)(m^2+3m+9)} + \frac{m^2+3m+9}{(m-3)(m^2+3m+9)} = \frac{m^2+6m+9}{(m-3)(m^2+3m+9)} = \frac{(m+3)^2}{(m-3)(m^2+3m+9)}$.
2) Умножение:
$\frac{m^3-3m^2}{(m+3)^2} \cdot \frac{(m+3)^2}{(m-3)(m^2+3m+9)}$.
Вынесем общий множитель в $m^3-3m^2 = m^2(m-3)$.
$\frac{m^2(m-3)}{(m+3)^2} \cdot \frac{(m+3)^2}{(m-3)(m^2+3m+9)}$.
Сократив $(m-3)$ и $(m+3)^2$, получим: $\frac{m^2}{m^2+3m+9}$.
3) Сложение:
$\frac{3(m+3)}{m^2+3m+9} + \frac{m^2}{m^2+3m+9} = \frac{3m+9+m^2}{m^2+3m+9} = \frac{m^2+3m+9}{m^2+3m+9} = 1$.
Ответ: $1$.

е) Сначала выполним действия в скобках, приведя все дроби к общему знаменателю.
1) Знаменатель $27x^3-1$ является разностью кубов: $27x^3-1 = (3x)^3 - 1^3 = (3x-1)(9x^2+3x+1)$. Это и будет общий знаменатель.
$\frac{9x^2+8}{27x^3-1} - \frac{1}{3x-1} + \frac{4}{9x^2+3x+1} = \frac{9x^2+8 - 1(9x^2+3x+1) + 4(3x-1)}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}$.
Раскроем скобки в числителе:
$9x^2+8 - 9x^2-3x-1 + 12x-4 = (9x^2-9x^2) + (-3x+12x) + (8-1-4) = 9x+3 = 3(3x+1)$.
Таким образом, выражение в скобках равно: $\frac{3(3x+1)}{(3x-1)(9x^2+3x+1)}$.
2) Теперь выполним умножение:
$\frac{3(3x+1)}{(3x-1)(9x^2+3x+1)} \cdot \frac{3x-1}{3x+1}$.
Сократим общие множители $(3x+1)$ и $(3x-1)$.
В результате остаётся: $\frac{3}{9x^2+3x+1}$.
Ответ: $\frac{3}{9x^2+3x+1}$.