Номер 718, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

718. Упростите выражение:

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{50x} + \sqrt{32x} - \sqrt{98x}$, необходимо привести слагаемые к общему подкоренному выражению. Для этого вынесем множители из-под знака корня. Разложим числовые коэффициенты под корнями на множители так, чтобы один из множителей был полным квадратом:
$\sqrt{50x} = \sqrt{25 \cdot 2x} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2x} = 5\sqrt{2x}$
$\sqrt{32x} = \sqrt{16 \cdot 2x} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2x} = 4\sqrt{2x}$
$\sqrt{98x} = \sqrt{49 \cdot 2x} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2x} = 7\sqrt{2x}$
Теперь подставим упрощенные слагаемые обратно в выражение:
$5\sqrt{2x} + 4\sqrt{2x} - 7\sqrt{2x}$
Так как все слагаемые имеют общий множитель $\sqrt{2x}$, мы можем сложить и вычесть их коэффициенты:
$(5 + 4 - 7)\sqrt{2x} = 2\sqrt{2x}$
Данные преобразования верны при $x \ge 0$.
Ответ: $2\sqrt{2x}$

б) Упростим выражение $(\sqrt{a} + \sqrt{2})(\sqrt{a} - \sqrt{2}) - (\sqrt{a} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{a}$.
Первая часть выражения, $(\sqrt{a} + \sqrt{2})(\sqrt{a} - \sqrt{2})$, является формулой разности квадратов $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$. Применим ее:
$(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{2})^2 = a - 2$
Во второй части выражения, $- (\sqrt{a} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{a}$, раскроем скобки, умножив $\sqrt{a}$ на каждый член внутри скобок:
$-(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{a}) = -(a - \sqrt{2a}) = -a + \sqrt{2a}$
Теперь объединим обе упрощенные части:
$(a - 2) + (-a + \sqrt{2a}) = a - 2 - a + \sqrt{2a}$
Приведем подобные слагаемые:
$(a - a) - 2 + \sqrt{2a} = 0 - 2 + \sqrt{2a} = \sqrt{2a} - 2$
Данные преобразования верны при $a \ge 0$.
Ответ: $\sqrt{2a} - 2$

в) Упростим выражение $(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 - (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2$.
Используем формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(u+v)^2 = u^2 + 2uv + v^2$ и квадрат разности $(u-v)^2 = u^2 - 2uv + v^2$.
Раскроем первую скобку:
$(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = x + 2\sqrt{xy} + y$
Раскроем вторую скобку:
$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = (\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = x - 2\sqrt{xy} + y$
Теперь вычтем второе разложение из первого:
$(x + 2\sqrt{xy} + y) - (x - 2\sqrt{xy} + y) = x + 2\sqrt{xy} + y - x + 2\sqrt{xy} - y$
Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:
$(x - x) + (y - y) + (2\sqrt{xy} + 2\sqrt{xy}) = 0 + 0 + 4\sqrt{xy} = 4\sqrt{xy}$
Данные преобразования верны при $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Ответ: $4\sqrt{xy}$

г) Упростим выражение $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)$.
Это выражение является формулой разности кубов: $(u-v)(u^2 + uv + v^2) = u^3 - v^3$.
Определим $u$ и $v$. Пусть $u = \sqrt{x}$ и $v = \sqrt{y}$. Тогда:
$u^2 = (\sqrt{x})^2 = x$
$v^2 = (\sqrt{y})^2 = y$
$uv = \sqrt{x}\sqrt{y} = \sqrt{xy}$
Выражение $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)$ можно переписать как $(\sqrt{x} - \sqrt{y})((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2)$, что в точности соответствует формуле.
Применив формулу, получаем:
$(\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3$
Упростим полученные кубы:
$(\sqrt{x})^3 = \sqrt{x^3} = \sqrt{x^2 \cdot x} = x\sqrt{x}$
$(\sqrt{y})^3 = \sqrt{y^3} = \sqrt{y^2 \cdot y} = y\sqrt{y}$
Итоговый результат:
$x\sqrt{x} - y\sqrt{y}$
Данные преобразования верны при $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Ответ: $x\sqrt{x} - y\sqrt{y}$