Номер 721, страница 194 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 721, страница 194.
№721 (с. 194)
Условие. №721 (с. 194)
скриншот условия

721. Докажите, что:

Решение 1. №721 (с. 194)


Решение 2. №721 (с. 194)


Решение 3. №721 (с. 194)

Решение 4. №721 (с. 194)

Решение 5. №721 (с. 194)

Решение 7. №721 (с. 194)

Решение 8. №721 (с. 194)
а) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Область допустимых значений переменных (ОДЗ) определяется условиями, при которых выражения имеют смысл: подкоренные выражения должны быть неотрицательны, а знаменатели не должны быть равны нулю. Таким образом, $x > 0$, $y > 0$. Также знаменатель $x\sqrt{y} - y\sqrt{x} = \sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x}-\sqrt{y})$ не должен быть равен нулю, что означает $\sqrt{x} \ne \sqrt{y}$, или $x \ne y$.
Разложим числитель дроби на множители по формуле разности квадратов:
$x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$
В знаменателе вынесем общий множитель $\sqrt{x}\sqrt{y}$ за скобки:
$x\sqrt{y} - y\sqrt{x} = \sqrt{x}\sqrt{x}\sqrt{y} - \sqrt{y}\sqrt{y}\sqrt{x} = \sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x} - \sqrt{y})$
Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:
$\frac{x-y}{x\sqrt{y} - y\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x} - \sqrt{y})}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x} - \sqrt{y})$, который не равен нулю согласно ОДЗ ($x \ne y$):
$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x}\sqrt{y}}$
Теперь разделим полученную дробь почленно на два слагаемых:
$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{y}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$
Чтобы привести выражение к виду правой части тождества, избавимся от иррациональности в знаменателях. Для этого домножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий корень:
$\frac{1 \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}} + \frac{1 \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{y}}{y} + \frac{\sqrt{x}}{x}$
В результате преобразований мы получили выражение, идентичное правой части исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано, так как в результате алгебраических преобразований левая часть была приведена к виду правой части.
б) Для доказательства второго тождества также преобразуем его левую часть. Область допустимых значений: $a > 0$ и $b > 0$. При этих условиях знаменатель $a\sqrt{b} + b\sqrt{a} = \sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ всегда положителен и не равен нулю.
Разложим числитель дроби $a - b$ как разность квадратов:
$a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{a}\sqrt{b}$:
$a\sqrt{b} + b\sqrt{a} = \sqrt{a}\sqrt{a}\sqrt{b} + \sqrt{b}\sqrt{b}\sqrt{a} = \sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})$
Подставим полученные выражения в левую часть равенства:
$\frac{a-b}{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$, который не равен нулю при $a > 0$ и $b > 0$:
$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}}$
Разделим полученную дробь на разность двух дробей:
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = \frac{1}{\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателях, домножив числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий корень:
$\frac{1 \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} - \frac{1 \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{b}}{b} - \frac{\sqrt{a}}{a}$
Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного равенства, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано, так как левая часть была приведена к правой части путем алгебраических преобразований.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 721 расположенного на странице 194 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №721 (с. 194), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.