Номер 721, страница 194 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 721, страница 194.

Условие.

721. Докажите, что:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Область допустимых значений переменных (ОДЗ) определяется условиями, при которых выражения имеют смысл: подкоренные выражения должны быть неотрицательны, а знаменатели не должны быть равны нулю. Таким образом, $x > 0$, $y > 0$. Также знаменатель $x\sqrt{y} - y\sqrt{x} = \sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x}-\sqrt{y})$ не должен быть равен нулю, что означает $\sqrt{x} \ne \sqrt{y}$, или $x \ne y$.

Разложим числитель дроби на множители по формуле разности квадратов:

$x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$

В знаменателе вынесем общий множитель $\sqrt{x}\sqrt{y}$ за скобки:

$x\sqrt{y} - y\sqrt{x} = \sqrt{x}\sqrt{x}\sqrt{y} - \sqrt{y}\sqrt{y}\sqrt{x} = \sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x} - \sqrt{y})$

Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:

$\frac{x-y}{x\sqrt{y} - y\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x} - \sqrt{y})}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x} - \sqrt{y})$, который не равен нулю согласно ОДЗ ($x \ne y$):

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x}\sqrt{y}}$

Теперь разделим полученную дробь почленно на два слагаемых:

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{y}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

Чтобы привести выражение к виду правой части тождества, избавимся от иррациональности в знаменателях. Для этого домножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий корень:

$\frac{1 \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}} + \frac{1 \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{y}}{y} + \frac{\sqrt{x}}{x}$

В результате преобразований мы получили выражение, идентичное правой части исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как в результате алгебраических преобразований левая часть была приведена к виду правой части.

б) Для доказательства второго тождества также преобразуем его левую часть. Область допустимых значений: $a > 0$ и $b > 0$. При этих условиях знаменатель $a\sqrt{b} + b\sqrt{a} = \sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ всегда положителен и не равен нулю.

Разложим числитель дроби $a - b$ как разность квадратов:

$a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{a}\sqrt{b}$:

$a\sqrt{b} + b\sqrt{a} = \sqrt{a}\sqrt{a}\sqrt{b} + \sqrt{b}\sqrt{b}\sqrt{a} = \sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})$

Подставим полученные выражения в левую часть равенства:

$\frac{a-b}{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$, который не равен нулю при $a > 0$ и $b > 0$:

$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}}$

Разделим полученную дробь на разность двух дробей:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = \frac{1}{\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателях, домножив числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий корень:

$\frac{1 \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} - \frac{1 \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{b}}{b} - \frac{\sqrt{a}}{a}$

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного равенства, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как левая часть была приведена к правой части путем алгебраических преобразований.