Страница 194 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

720. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{3x}{7\sqrt{x}}$, необходимо умножить и числитель, и знаменатель этой дроби на выражение $\sqrt{x}$. Это действие основано на свойстве $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$. Предполагается, что $x > 0$, чтобы исходное выражение имело смысл.

$\frac{3x}{7\sqrt{x}} = \frac{3x \cdot \sqrt{x}}{7\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{3x\sqrt{x}}{7(\sqrt{x})^2} = \frac{3x\sqrt{x}}{7x}$

Теперь можно сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на $x$:

$\frac{3x\sqrt{x}}{7x} = \frac{3\sqrt{x}}{7}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{x}}{7}$

б) В данном случае в знаменателе дроби $\frac{5}{\sqrt{ab}}$ стоит корень из произведения. Чтобы избавиться от него, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{ab}$. Предполагается, что $ab > 0$.

$\frac{5}{\sqrt{ab}} = \frac{5 \cdot \sqrt{ab}}{\sqrt{ab} \cdot \sqrt{ab}} = \frac{5\sqrt{ab}}{(\sqrt{ab})^2} = \frac{5\sqrt{ab}}{ab}$

Ответ: $\frac{5\sqrt{ab}}{ab}$

в) Знаменатель дроби $\frac{4}{\sqrt{c}-1}$ является разностью. Для избавления от иррациональности в таких случаях используется умножение на сопряженное выражение. Сопряженным для $(\sqrt{c}-1)$ является $(\sqrt{c}+1)$. При умножении мы используем формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Предполагается, что $c \ge 0$ и $c \ne 1$.

$\frac{4}{\sqrt{c}-1} = \frac{4 \cdot (\sqrt{c}+1)}{(\sqrt{c}-1) \cdot (\sqrt{c}+1)} = \frac{4(\sqrt{c}+1)}{(\sqrt{c})^2 - 1^2} = \frac{4(\sqrt{c}+1)}{c-1}$

Ответ: $\frac{4(\sqrt{c}+1)}{c-1}$

г) Знаменатель дроби $\frac{1}{2\sqrt{x}+3\sqrt{y}}$ представляет собой сумму двух слагаемых с корнями. Мы также используем метод умножения на сопряженное выражение. Сопряженным для $(2\sqrt{x}+3\sqrt{y})$ является $(2\sqrt{x}-3\sqrt{y})$. Применяем ту же формулу разности квадратов. Предполагается, что $x \ge 0$, $y \ge 0$ и $4x-9y \ne 0$.

$\frac{1}{2\sqrt{x}+3\sqrt{y}} = \frac{1 \cdot (2\sqrt{x}-3\sqrt{y})}{(2\sqrt{x}+3\sqrt{y}) \cdot (2\sqrt{x}-3\sqrt{y})} = \frac{2\sqrt{x}-3\sqrt{y}}{(2\sqrt{x})^2 - (3\sqrt{y})^2} = \frac{2\sqrt{x}-3\sqrt{y}}{4x-9y}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{x}-3\sqrt{y}}{4x-9y}$

721. Докажите, что:

а) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Область допустимых значений переменных (ОДЗ) определяется условиями, при которых выражения имеют смысл: подкоренные выражения должны быть неотрицательны, а знаменатели не должны быть равны нулю. Таким образом, $x > 0$, $y > 0$. Также знаменатель $x\sqrt{y} - y\sqrt{x} = \sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x}-\sqrt{y})$ не должен быть равен нулю, что означает $\sqrt{x} \ne \sqrt{y}$, или $x \ne y$.

Разложим числитель дроби на множители по формуле разности квадратов:

$x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$

В знаменателе вынесем общий множитель $\sqrt{x}\sqrt{y}$ за скобки:

$x\sqrt{y} - y\sqrt{x} = \sqrt{x}\sqrt{x}\sqrt{y} - \sqrt{y}\sqrt{y}\sqrt{x} = \sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x} - \sqrt{y})$

Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:

$\frac{x-y}{x\sqrt{y} - y\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x} - \sqrt{y})}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x} - \sqrt{y})$, который не равен нулю согласно ОДЗ ($x \ne y$):

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x}\sqrt{y}}$

Теперь разделим полученную дробь почленно на два слагаемых:

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{y}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

Чтобы привести выражение к виду правой части тождества, избавимся от иррациональности в знаменателях. Для этого домножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий корень:

$\frac{1 \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}} + \frac{1 \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{y}}{y} + \frac{\sqrt{x}}{x}$

В результате преобразований мы получили выражение, идентичное правой части исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как в результате алгебраических преобразований левая часть была приведена к виду правой части.

б) Для доказательства второго тождества также преобразуем его левую часть. Область допустимых значений: $a > 0$ и $b > 0$. При этих условиях знаменатель $a\sqrt{b} + b\sqrt{a} = \sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ всегда положителен и не равен нулю.

Разложим числитель дроби $a - b$ как разность квадратов:

$a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{a}\sqrt{b}$:

$a\sqrt{b} + b\sqrt{a} = \sqrt{a}\sqrt{a}\sqrt{b} + \sqrt{b}\sqrt{b}\sqrt{a} = \sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})$

Подставим полученные выражения в левую часть равенства:

$\frac{a-b}{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$, который не равен нулю при $a > 0$ и $b > 0$:

$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}}$

Разделим полученную дробь на разность двух дробей:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = \frac{1}{\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателях, домножив числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий корень:

$\frac{1 \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} - \frac{1 \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{b}}{b} - \frac{\sqrt{a}}{a}$

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного равенства, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как левая часть была приведена к правой части путем алгебраических преобразований.

722. Решите уравнение:

а) $3x(x - 1) - 17 = x(1 + 3x) + 1$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x^2 - 3x - 17 = x + 3x^2 + 1$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены (числа) - в правую часть, меняя знаки при переносе:

$3x^2 - 3x - x - 3x^2 = 1 + 17$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - 3x^2) + (-3x - x) = 18$

$-4x = 18$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на -4:

$x = \frac{18}{-4}$

$x = -4.5$

Ответ: $-4.5$

б) $2x - (x + 2)(x - 2) = 5 - (x - 1)^2$

Для упрощения уравнения используем формулы сокращенного умножения: разность квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$2x - (x^2 - 2^2) = 5 - (x^2 - 2x + 1)$

$2x - (x^2 - 4) = 5 - (x^2 - 2x + 1)$

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки перед ними:

$2x - x^2 + 4 = 5 - x^2 + 2x - 1$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$2x - x^2 + 4 = (5-1) - x^2 + 2x$

$2x - x^2 + 4 = 4 - x^2 + 2x$

Перенесем все члены из правой части в левую:

$2x - x^2 + 4 - 4 + x^2 - 2x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x - 2x) + (-x^2 + x^2) + (4 - 4) = 0$

$0 = 0$

Мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что исходное уравнение является тождеством, и его решением является любое число.

Ответ: $x$ - любое число.

в) $\frac{3x + 1}{2} = \frac{2x - 3}{5}$

Данное уравнение является пропорцией. Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.

$5 \cdot (3x + 1) = 2 \cdot (2x - 3)$

Раскроем скобки в обеих частях:

$15x + 5 = 4x - 6$

Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а числа - в правую:

$15x - 4x = -6 - 5$

Приведем подобные слагаемые:

$11x = -11$

Найдем $x$:

$x = \frac{-11}{11}$

$x = -1$

Ответ: $-1$

г) $\frac{x - 3}{6} + x = \frac{2x - 1}{3} - \frac{4 - x}{2}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель. Для чисел 6, 3 и 2 наименьший общий знаменатель равен 6.

$6 \cdot \left(\frac{x - 3}{6} + x\right) = 6 \cdot \left(\frac{2x - 1}{3} - \frac{4 - x}{2}\right)$

$\frac{6(x - 3)}{6} + 6x = \frac{6(2x - 1)}{3} - \frac{6(4 - x)}{2}$

Сократим дроби:

$(x - 3) + 6x = 2(2x - 1) - 3(4 - x)$

Раскроем скобки:

$x - 3 + 6x = 4x - 2 - 12 + 3x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$7x - 3 = 7x - 14$

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а числа - в правую:

$7x - 7x = -14 + 3$

$0 \cdot x = -11$

$0 = -11$

Получено неверное числовое равенство. Это означает, что ни при каком значении $x$ равенство не будет верным. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: Уравнение не имеет корней.

723. От фермы до станции Пётр может доехать на велосипеде или дойти пешком. Идёт он со скоростью 6 км/ч, а на велосипеде едет со скоростью 16 км/ч. Каково расстояние от фермы до станции, если на велосипеде Пётр тратит на этот путь на 40 мин меньше, чем пешком?

Пусть $S$ — искомое расстояние от фермы до станции в километрах.

Скорость Петра пешком составляет $v_{пеш} = 6$ км/ч.

Скорость Петра на велосипеде составляет $v_{вел} = 16$ км/ч.

Время, которое Пётр тратит на путь, вычисляется по формуле $t = S/v$.

Время, затраченное на путь пешком: $t_{пеш} = S / 6$ часов.

Время, затраченное на путь на велосипеде: $t_{вел} = S / 16$ часов.

По условию задачи, время в пути на велосипеде на 40 минут меньше, чем время в пути пешком. Прежде всего, переведем 40 минут в часы, так как скорость дана в км/ч:

$40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.

Теперь мы можем составить уравнение, отражающее разницу во времени:

$t_{пеш} - t_{вел} = \frac{2}{3}$

Подставим выражения для времени:

$$ \frac{S}{6} - \frac{S}{16} = \frac{2}{3} $$

Для решения этого уравнения найдем общий знаменатель для дробей в левой части. Наименьшее общее кратное для чисел 6 и 16 равно 48.

$$ \frac{8 \cdot S}{48} - \frac{3 \cdot S}{48} = \frac{2}{3} $$

$$ \frac{8S - 3S}{48} = \frac{2}{3} $$

$$ \frac{5S}{48} = \frac{2}{3} $$

Теперь выразим $S$ из этого уравнения:

$$ 5S = \frac{2}{3} \cdot 48 $$

$$ 5S = 2 \cdot \frac{48}{3} $$

$$ 5S = 2 \cdot 16 $$

$$ 5S = 32 $$

$$ S = \frac{32}{5} $$

$$ S = 6.4 $$

Расстояние от фермы до станции составляет 6,4 км.

Проверим полученный результат:

Время пешком: $t_{пеш} = \frac{6.4}{6} = \frac{64}{60}$ часа. Переведем в минуты: $\frac{64}{60} \cdot 60 = 64$ минуты.

Время на велосипеде: $t_{вел} = \frac{6.4}{16} = 0.4$ часа. Переведем в минуты: $0.4 \cdot 60 = 24$ минуты.

Разница во времени: $64 - 24 = 40$ минут, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: расстояние от фермы до станции равно 6,4 км.

724. Расстояние от города A до города B поезд должен проходить по расписанию за 4 ч 30 мин. По техническим причинам он был задержан с отправлением из города A на 30 мин. Увеличив скорость на 10 км/ч, поезд прибыл в город B вовремя. Найдите расстояние между городами A и B.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $S$ — искомое расстояние между городами А и В (в км), а $v$ — первоначальная (плановая) скорость поезда (в км/ч).

Сначала переведем все единицы времени в часы для удобства расчетов:
Плановое время в пути, $t_{план}$, составляет 4 ч 30 мин, что равно $4.5$ часам.
Время задержки отправления составляет 30 мин, что равно $0.5$ часа.

Поскольку поезд был задержан с отправлением на $0.5$ часа, но прибыл в город В вовремя (согласно расписанию), то фактическое время, которое он провел в пути, было меньше планового на время задержки:
$t_{факт} = t_{план} - 0.5 \text{ ч} = 4.5 \text{ ч} - 0.5 \text{ ч} = 4$ часа.

Чтобы наверстать опоздание, поезд увеличил свою плановую скорость $v$ на 10 км/ч. Таким образом, его фактическая скорость составила $v_{факт} = v + 10$ км/ч.

Расстояние $S$ является неизменной величиной. Мы можем составить систему уравнений, используя формулу расстояния $S = \text{скорость} \times \text{время}$:
1. По плану: $S = v \cdot t_{план} \Rightarrow S = 4.5v$
2. Фактически: $S = v_{факт} \cdot t_{факт} \Rightarrow S = (v + 10) \cdot 4$

Поскольку левые части уравнений равны (это одно и то же расстояние $S$), мы можем приравнять их правые части:
$4.5v = 4(v + 10)$

Теперь решим это уравнение относительно $v$:
$4.5v = 4v + 40$
$4.5v - 4v = 40$
$0.5v = 40$
$v = \frac{40}{0.5} = 80$
Таким образом, плановая скорость поезда была $80$ км/ч.

Зная плановую скорость, найдем расстояние $S$, подставив значение $v$ в первое уравнение:
$S = 4.5 \cdot v = 4.5 \cdot 80 = 360$ км.
Для проверки можно подставить $v$ во второе уравнение: $S = 4 \cdot (80 + 10) = 4 \cdot 90 = 360$ км. Результаты совпадают.

Ответ: расстояние между городами А и В равно 360 км.

725. Из пункта A в пункт B вышел пешеход, а через 30 мин навстречу ему из пункта B в пункт A выехал велосипедист. Скорость велосипедиста на 8 км/ч больше скорости пешехода. Велосипедист через 1,5 ч после выезда встретил пешехода. С какой скоростью шёл пешеход и ехал велосипедист, если известно, что расстояние между пунктами A и B равно 26 км?

Для решения задачи введем переменную. Пусть скорость пешехода равна $x$ км/ч. Согласно условию, скорость велосипедиста на 8 км/ч больше, следовательно, она составляет $(x + 8)$ км/ч.

Велосипедист выехал из пункта В через 30 минут (то есть 0,5 часа) после выхода пешехода из пункта А. Встреча произошла через 1,5 часа после выезда велосипедиста. Это означает, что время в пути для велосипедиста до момента встречи составляет $t_{вел} = 1,5$ ч.

Пешеход был в пути на 0,5 часа дольше, чем велосипедист, так как он вышел раньше. Таким образом, время в пути для пешехода до момента встречи составляет:

$t_{пеш} = t_{вел} + 0,5 \text{ ч} = 1,5 \text{ ч} + 0,5 \text{ ч} = 2$ ч.

За это время пешеход прошел расстояние:

$S_{пеш} = v_{пеш} \cdot t_{пеш} = x \cdot 2 = 2x$ км.

А велосипедист за свое время проехал расстояние:

$S_{вел} = v_{вел} \cdot t_{вел} = (x + 8) \cdot 1,5$ км.

Пешеход и велосипедист двигались навстречу друг другу. К моменту встречи они вместе преодолели все расстояние между пунктами А и В, которое равно 26 км. Можем составить уравнение, сложив пройденные ими расстояния:

$S_{пеш} + S_{вел} = 26$

$2x + 1,5(x + 8) = 26$

Теперь решим это уравнение:

1. Раскроем скобки:

$2x + 1,5x + 1,5 \cdot 8 = 26$

$2x + 1,5x + 12 = 26$

2. Сложим слагаемые с переменной $x$:

$3,5x + 12 = 26$

3. Перенесем 12 в правую часть уравнения, изменив знак:

$3,5x = 26 - 12$

$3,5x = 14$

4. Найдем $x$:

$x = \frac{14}{3,5} = \frac{140}{35} = 4$

Таким образом, скорость пешехода составляет 4 км/ч.

Найдем скорость велосипедиста:

$v_{вел} = x + 8 = 4 + 8 = 12$ км/ч.

Ответ: скорость пешехода равна 4 км/ч, а скорость велосипедиста — 12 км/ч.

726. Среднее арифметическое четырёх чисел равно 11,5. Второе число в 1,5 раза меньше первого и на 10 меньше третьего, а четвёртое равно сумме первого и второго. Найдите эти числа.

Для решения задачи введём переменные для четырёх чисел: пусть первое число будет $n_1$, второе – $n_2$, третье – $n_3$ и четвертое – $n_4$.

По условию, среднее арифметическое этих четырёх чисел равно 11,5. Среднее арифметическое – это сумма чисел, делённая на их количество. Запишем это в виде формулы:

$\frac{n_1 + n_2 + n_3 + n_4}{4} = 11,5$

Из этого выражения мы можем найти сумму всех четырёх чисел:

$n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 11,5 \times 4 = 46$

Теперь используем остальные условия задачи, чтобы выразить все числа через одну переменную. Удобнее всего выразить все числа через второе. Обозначим второе число, $n_2$, за $x$.

$n_2 = x$

Из условия известно, что второе число в 1,5 раза меньше первого. Это значит, что первое число в 1,5 раза больше второго:

$n_1 = 1,5 \times n_2 = 1,5x$

Также известно, что второе число на 10 меньше третьего. Это значит, что третье число на 10 больше второго:

$n_3 = n_2 + 10 = x + 10$

Четвёртое число равно сумме первого и второго:

$n_4 = n_1 + n_2 = 1,5x + x = 2,5x$

Теперь у нас есть выражения для всех четырёх чисел через $x$. Подставим эти выражения в найденное ранее уравнение для суммы чисел:

$1,5x + x + (x + 10) + 2,5x = 46$

Решим полученное уравнение. Сначала сложим все слагаемые с $x$:

$(1,5 + 1 + 1 + 2,5)x + 10 = 46$

$6x + 10 = 46$

Перенесём 10 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$6x = 46 - 10$

$6x = 36$

Найдём $x$, разделив обе части уравнения на 6:

$x = \frac{36}{6} = 6$

Итак, второе число $n_2 = 6$. Теперь, зная значение $x$, найдём остальные числа:

Первое число: $n_1 = 1,5x = 1,5 \times 6 = 9$.

Третье число: $n_3 = x + 10 = 6 + 10 = 16$.

Четвёртое число: $n_4 = 2,5x = 2,5 \times 6 = 15$.

Мы нашли все четыре числа: 9, 6, 16 и 15.

Ответ: 9; 6; 16; 15.

727. Сколько нужно добавить воды к 300 г 20%-го раствора соли, чтобы получить 8%-й раствор этой соли?

Для решения этой задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти массу соли в исходном растворе.

Масса всего раствора составляет 300 г, а концентрация соли — 20%. Чтобы найти массу соли, нужно массу раствора умножить на концентрацию, выраженную в долях.

$20\% = 0.20$

Масса соли ($m_{соли}$) равна:

$m_{соли} = 300 \text{ г} \times 0.20 = 60 \text{ г}$

При добавлении воды количество соли в растворе не изменяется, оно остается равным 60 г.

2. Найти массу нового раствора.

В новом растворе те же 60 г соли должны составлять 8% от общей массы раствора. Обозначим новую массу раствора как $m_{новый}$.

$8\% = 0.08$

Концентрация нового раствора вычисляется по формуле:

$C_{новый} = \frac{m_{соли}}{m_{новый}}$

Выразим отсюда массу нового раствора:

$m_{новый} = \frac{m_{соли}}{C_{новый}}$

$m_{новый} = \frac{60 \text{ г}}{0.08} = 750 \text{ г}$

Таким образом, масса конечного 8%-го раствора должна быть 750 г.

3. Найти массу добавленной воды.

Чтобы найти, сколько воды нужно добавить, необходимо из массы нового раствора вычесть массу исходного раствора.

$m_{воды} = m_{новый} - m_{исходный}$

$m_{воды} = 750 \text{ г} - 300 \text{ г} = 450 \text{ г}$

Ответ: чтобы получить 8%-й раствор соли, нужно добавить 450 г воды.

728. Решите квадратное уравнение:

а) $2,5x^2 + 4x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2,5x + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Следовательно, у нас есть два случая:

$x_1 = 0$

или

$2,5x + 4 = 0$

$2,5x = -4$

$x_2 = \frac{-4}{2,5} = \frac{-40}{25} = -\frac{8}{5} = -1,6$

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = -1,6$.

б) $6y^2 - 0,24 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$6y^2 = 0,24$

Разделим обе части уравнения на 6:

$y^2 = \frac{0,24}{6}$

$y^2 = 0,04$

Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $y$:

$y = \pm\sqrt{0,04}$

$y_1 = 0,2$, $y_2 = -0,2$

Ответ: $y_1 = 0,2$, $y_2 = -0,2$.

в) $0,2t^2 - t - 4,8 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим каждый член уравнения на 10:

$10 \cdot (0,2t^2 - t - 4,8) = 10 \cdot 0$

$2t^2 - 10t - 48 = 0$

Для упрощения вычислений, разделим все уравнение на 2:

$t^2 - 5t - 24 = 0$

Решим полученное приведенное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=1$, $b=-5$, $c=-24$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.

Найдем корни по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-5) + 11}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$t_2 = \frac{-(-5) - 11}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $t_1 = 8$, $t_2 = -3$.

г) $3\frac{1}{3}u^2 + 3u - 3 = 0$

Сначала преобразуем смешанное число $3\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:

$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

Подставим это значение в уравнение:

$\frac{10}{3}u^2 + 3u - 3 = 0$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим все уравнение на 3:

$3 \cdot (\frac{10}{3}u^2 + 3u - 3) = 3 \cdot 0$

$10u^2 + 9u - 9 = 0$

Решим это полное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=10$, $b=9$, $c=-9$.

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-9) = 81 + 360 = 441$

$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$.

Найдем корни по формуле $u = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$u_1 = \frac{-9 + 21}{2 \cdot 10} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0,6$

$u_2 = \frac{-9 - 21}{2 \cdot 10} = \frac{-30}{20} = -\frac{3}{2} = -1,5$

Ответ: $u_1 = 0,6$, $u_2 = -1,5$.