Страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

745. Турист отправился на автомашине из города A в город B. Первые 75 км он ехал со скоростью, на 10 км/ч меньшей, чем рассчитывал, а остальной путь со скоростью, на 10 км/ч большей, чем рассчитывал. В город B, который удалён от города A на 180 км, турист прибыл вовремя. С какой скоростью он ехал в конце пути?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $v$ км/ч — это расчетная (планируемая) скорость, с которой турист собирался ехать весь путь.

Весь путь составляет 180 км. По плану, время в пути должно было составить $t_{план} = \frac{180}{v}$ часов.

Разобьем фактическую поездку на два участка:
1. Первый участок: расстояние $S_1 = 75$ км. Скорость на этом участке была на 10 км/ч меньше расчетной, то есть $v_1 = v - 10$ км/ч. Время, затраченное на первый участок: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{75}{v - 10}$ часов.
2. Второй участок: расстояние $S_2 = 180 - 75 = 105$ км. Скорость на этом участке была на 10 км/ч больше расчетной, то есть $v_2 = v + 10$ км/ч. Время, затраченное на второй участок: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{105}{v + 10}$ часов.

Общее фактическое время в пути равно сумме времен на двух участках: $t_{факт} = t_1 + t_2 = \frac{75}{v - 10} + \frac{105}{v + 10}$ часов.

По условию, турист прибыл в город В вовремя. Это означает, что фактическое время в пути равно планируемому времени:

$t_{план} = t_{факт}$

Составим и решим уравнение:

$\frac{180}{v} = \frac{75}{v - 10} + \frac{105}{v + 10}$

Для решения уравнения приведем дроби в правой части к общему знаменателю $(v - 10)(v + 10)$:

$\frac{180}{v} = \frac{75(v + 10) + 105(v - 10)}{(v - 10)(v + 10)}$

Раскроем скобки в числителе правой части и в знаменателе:

$\frac{180}{v} = \frac{75v + 750 + 105v - 1050}{v^2 - 100}$

Упростим числитель в правой части:

$\frac{180}{v} = \frac{180v - 300}{v^2 - 100}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), учитывая, что $v \neq 0$, $v \neq 10$, $v \neq -10$:

$180(v^2 - 100) = v(180v - 300)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$180v^2 - 18000 = 180v^2 - 300v$

Вычтем из обеих частей $180v^2$:

$-18000 = -300v$

Найдем $v$:

$v = \frac{18000}{300} = 60$

Таким образом, расчетная (планируемая) скорость туриста была равна 60 км/ч.

Вопрос задачи: "С какой скоростью он ехал в конце пути?". В конце пути (на втором участке) его скорость была $v_2 = v + 10$ км/ч.

$v_2 = 60 + 10 = 70$ км/ч.

Ответ: 70 км/ч.

746. Расстояние от станицы до железнодорожной станции равно 60 км. Мотоциклист выехал из станицы на 1$\frac{1}{4}$ч позже велосипедиста и прибыл на станцию, когда велосипедист был от неё в 21 км. Найдите скорость велосипедиста, если она была на 18 км/ч меньше скорости мотоциклиста.

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста. Согласно условию, скорость мотоциклиста на 18 км/ч больше, следовательно, она равна $(x + 18)$ км/ч.

Общее расстояние от станицы до железнодорожной станции составляет 60 км.

Мотоциклист проехал все расстояние в 60 км. Время, которое он затратил на путь, можно выразить формулой $t = \frac{S}{v}$. Таким образом, время движения мотоциклиста:

$t_м = \frac{60}{x + 18}$ ч.

В момент, когда мотоциклист прибыл на станцию, велосипедист находился на расстоянии 21 км от нее. Это означает, что велосипедист за то же время проехал:

$S_в = 60 - 21 = 39$ км.

Время, которое велосипедист находился в пути к этому моменту, составляет:

$t_в = \frac{39}{x}$ ч.

Из условия известно, что мотоциклист выехал на $1\frac{1}{4}$ часа позже велосипедиста. Это значит, что время движения велосипедиста было на $1\frac{1}{4}$ часа (или 1,25 часа) больше, чем время движения мотоциклиста. На основе этого можно составить уравнение:

$t_в - t_м = 1\frac{1}{4}$

Подставим в это уравнение выражения для $t_в$ и $t_м$:

$\frac{39}{x} - \frac{60}{x + 18} = 1.25$

Представим 1,25 в виде дроби $\frac{5}{4}$ и приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x+18)$:

$\frac{39(x + 18) - 60x}{x(x + 18)} = \frac{5}{4}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{39x + 702 - 60x}{x^2 + 18x} = \frac{5}{4}$

$\frac{702 - 21x}{x^2 + 18x} = \frac{5}{4}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):

$4(702 - 21x) = 5(x^2 + 18x)$

$2808 - 84x = 5x^2 + 90x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 + 90x + 84x - 2808 = 0$

$5x^2 + 174x - 2808 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 174^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2808) = 30276 + 56160 = 86436$

$\sqrt{D} = \sqrt{86436} = 294$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-174 + 294}{2 \cdot 5} = \frac{120}{10} = 12$

$x_2 = \frac{-174 - 294}{2 \cdot 5} = \frac{-468}{10} = -46.8$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -46.8$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, скорость велосипедиста составляет 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

747. Из села в город, к которому ведёт дорога длиной 120 км, выехала легковая автомашина. Через 30 мин из города в село выехал грузовик и встретился с легковой автомашиной в 45 км от города. Найдите скорость грузовика, если она меньше скорости легковой автомашины на 5 км/ч.

Пусть скорость грузовика равна $x$ км/ч. Согласно условию, скорость легковой автомашины на 5 км/ч больше, следовательно, ее скорость составляет $(x + 5)$ км/ч.

Общее расстояние между селом и городом составляет 120 км. Автомобили встретились в 45 км от города.

Грузовик выехал из города, поэтому до места встречи он проехал расстояние $S_г = 45$ км.

Легковая автомашина выехала из села и двигалась навстречу грузовику. До места встречи она проехала расстояние $S_л = 120 - 45 = 75$ км.

Время, которое каждый автомобиль находился в пути до встречи, можно выразить через скорость и расстояние по формуле $t = S/v$.

Время движения грузовика: $t_г = \frac{45}{x}$ ч.

Время движения легковой автомашины: $t_л = \frac{75}{x+5}$ ч.

Из условия известно, что легковая автомашина выехала на 30 минут (то есть на 0,5 часа) раньше грузовика. Это означает, что время ее движения было на 0,5 часа больше времени движения грузовика. Составим уравнение:

$t_л - t_г = 0.5$

$\frac{75}{x+5} - \frac{45}{x} = 0.5$

Для решения этого уравнения приведем дроби к общему знаменателю $2x(x+5)$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -5$ (скорость не может быть нулевой или отрицательной):

$75 \cdot 2x - 45 \cdot 2(x+5) = 0.5 \cdot 2x(x+5)$

$150x - 90(x+5) = x(x+5)$

$150x - 90x - 450 = x^2 + 5x$

$60x - 450 = x^2 + 5x$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 60x + 450 = 0$

$x^2 - 55x + 450 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 450 = 3025 - 1800 = 1225$

$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-55) + 35}{2 \cdot 1} = \frac{55 + 35}{2} = \frac{90}{2} = 45$

$x_2 = \frac{-(-55) - 35}{2 \cdot 1} = \frac{55 - 35}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Оба корня положительные, поэтому оба являются возможными решениями. Проверим каждый из них.

Вариант 1: Скорость грузовика $x = 45$ км/ч.
В этом случае скорость легковой машины равна $45 + 5 = 50$ км/ч.
Время в пути для грузовика: $t_г = 45/45 = 1$ час.
Время в пути для легковой машины: $t_л = 75/50 = 1.5$ часа.
Разница во времени: $1.5 - 1 = 0.5$ часа, что соответствует условию задачи. Этот вариант является верным.

Вариант 2: Скорость грузовика $x = 10$ км/ч.
В этом случае скорость легковой машины равна $10 + 5 = 15$ км/ч.
Время в пути для грузовика: $t_г = 45/10 = 4.5$ часа.
Время в пути для легковой машины: $t_л = 75/15 = 5$ часов.
Разница во времени: $5 - 4.5 = 0.5$ часа, что также соответствует условию задачи. Этот вариант тоже является верным.

Так как в условии задачи нет дополнительных ограничений, оба решения являются правильными.

Ответ: скорость грузовика может быть 45 км/ч или 10 км/ч.

748. Решите уравнение:

а) $4x^4 - 17x^2 + 4 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = x^2$. Учитывая, что квадрат любого действительного числа является неотрицательным, имеем ограничение $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$4t^2 - 17t + 4 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Оба найденных значения для $t$ ($t_1=4$ и $t_2=\frac{1}{4}$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1. При $t = 4$: $x^2 = 4$, откуда $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x = \pm 2$.

2. При $t = \frac{1}{4}$: $x^2 = \frac{1}{4}$, откуда $x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$, то есть $x = \pm \frac{1}{2}$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $\pm 2; \pm \frac{1}{2}$.

б) $9x^4 + 77x^2 - 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Уравнение преобразуется в квадратное:

$9t^2 + 77t - 36 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = 77^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-36) = 5929 + 1296 = 7225 = 85^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-77 + 85}{2 \cdot 9} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

$t_2 = \frac{-77 - 85}{2 \cdot 9} = \frac{-162}{18} = -9$

Корень $t_2 = -9$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для $t_1 = \frac{4}{9}$:

$x^2 = \frac{4}{9}$, откуда $x = \pm\sqrt{\frac{4}{9}}$, то есть $x = \pm \frac{2}{3}$.

Ответ: $\pm \frac{2}{3}$.

в) $2x^4 - 9x^2 - 5 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$2t^2 - 9t - 5 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 = 11^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{9 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5$

$t_2 = \frac{9 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Корень $t_2 = -\frac{1}{2}$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$ и отбрасывается.

Выполним обратную замену для $t_1 = 5$:

$x^2 = 5$, откуда $x = \pm\sqrt{5}$.

Ответ: $\pm\sqrt{5}$.

г) $6x^4 - 5x^2 - 1 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$6t^2 - 5t - 1 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$

$t_2 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$

Корень $t_2 = -\frac{1}{6}$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для $t_1 = 1$:

$x^2 = 1$, откуда $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x = \pm 1$.

Ответ: $\pm 1$.

749. Решите уравнение, введя новую переменную:

а) $2(5x - 1)? + 35x - 11 = 0$
Для того чтобы ввести новую переменную, преобразуем выражение $35x - 11$. Мы видим, что $35x$ кратно $5x$. Попытаемся выделить выражение $5x - 1$:
$35x - 11 = 7 \cdot (5x) - 11 = 7(5x - 1) + 7 - 11 = 7(5x - 1) - 4$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в уравнение:
$2(5x - 1)? + 7(5x - 1) - 4 = 0$.
Введем замену: пусть $y = 5x - 1$. Тогда уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:
$2y? + 7y - 4 = 0$.
Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b? - 4ac = 7? - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9?$.
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$.
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Теперь выполним обратную замену для каждого найденного корня $y$.
1) При $y = -4$:
$5x - 1 = -4$
$5x = -3$
$x_1 = -\frac{3}{5} = -0,6$.
2) При $y = \frac{1}{2}$:
$5x - 1 = \frac{1}{2}$
$5x = 1 + \frac{1}{2}$
$5x = \frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{3}{10} = 0,3$.
Ответ: $-0,6; 0,3$.

б) $(x? + x - 3)? + 12x? + 12x - 9 = 0$
Заметим, что выражение $12x? + 12x - 9$ можно преобразовать, вынеся общий множитель $12$ и выделив выражение $x? + x - 3$:
$12x? + 12x - 9 = 12(x? + x) - 9 = 12(x? + x - 3 + 3) - 9 = 12(x? + x - 3) + 12 \cdot 3 - 9 = 12(x? + x - 3) + 36 - 9 = 12(x? + x - 3) + 27$.
Подставим это в исходное уравнение:
$(x? + x - 3)? + 12(x? + x - 3) + 27 = 0$.
Введем новую переменную: пусть $t = x? + x - 3$. Тогда уравнение примет вид:
$t? + 12t + 27 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = -12$
$t_1 \cdot t_2 = 27$
Подбором находим корни: $t_1 = -9$ и $t_2 = -3$.
Теперь выполним обратную замену для каждого значения $t$.
1) При $t = -9$:
$x? + x - 3 = -9$
$x? + x + 6 = 0$
Найдем дискриминант этого уравнения: $D = 1? - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$.
Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
2) При $t = -3$:
$x? + x - 3 = -3$
$x? + x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x + 1) = 0$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 0$ или $x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$.
Ответ: $-1; 0$.

750. Решите уравнение:

а) $x^4 - 16x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 - 16) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1) $x^2 = 0$, откуда $x = 0$.

2) $x^2 - 16 = 0$. Это разность квадратов, которую можно разложить на множители:

$(x - 4)(x + 4) = 0$

Отсюда получаем еще два корня:

$x - 4 = 0 \implies x = 4$

$x + 4 = 0 \implies x = -4$

Ответ: -4; 0; 4.

б) $x = x^3$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^3 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x = 0$.

2) $x^2 - 1 = 0$. Разложим на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Отсюда:

$x - 1 = 0 \implies x = 1$

$x + 1 = 0 \implies x = -1$

Ответ: -1; 0; 1.

в) $1,2x^3 + x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(1,2x^2 + 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x = 0$.

2) $1,2x^2 + 1 = 0$

$1,2x^2 = -1$

$x^2 = -\frac{1}{1,2}$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: 0.

г) $0,4x^4 = x^3$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$0,4x^4 - x^3 = 0$

Вынесем общий множитель $x^3$ за скобки:

$x^3(0,4x - 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x^3 = 0$, откуда $x = 0$.

2) $0,4x - 1 = 0$

$0,4x = 1$

$x = \frac{1}{0,4} = \frac{10}{4} = 2,5$

Ответ: 0; 2,5.

д) $x^3 + 6x^2 - 16x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 + 6x - 16) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x = 0$.

2) $x^2 + 6x - 16 = 0$. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 = 10^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Ответ: -8; 0; 2.

е) $x^4 + x^3 - 6x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 + x - 6) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x^2 = 0$, откуда $x = 0$.

2) $x^2 + x - 6 = 0$. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -6$

Подбором находим корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Ответ: -3; 0; 2.

ж) $x^3 + x^2 = 9x + 9$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^3 + x^2 - 9x - 9 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 + x^2) - (9x + 9) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 1) - 9(x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x^2 - 9)(x + 1) = 0$

Разложим первый множитель по формуле разности квадратов:

$(x - 3)(x + 3)(x + 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x - 3 = 0 \implies x = 3$

$x + 3 = 0 \implies x = -3$

$x + 1 = 0 \implies x = -1$

Ответ: -3; -1; 3.

з) $2x^3 + 8x = x^2 + 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^3 - x^2 + 8x - 4 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(2x^3 - x^2) + (8x - 4) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(2x - 1) + 4(2x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(2x-1)$ за скобки:

$(x^2 + 4)(2x - 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней.

2) $2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = 0,5$.

Ответ: 0,5.

751. Приведите уравнение к виду xⁿ = a и решите его:

а) Дано уравнение $\frac{1}{8}x^3 = 1$.

Сначала приведем его к виду $x^n = a$. Для этого умножим обе части уравнения на 8:

$x^3 = 1 \cdot 8$

$x^3 = 8$

Теперь решим полученное уравнение. Найдем корень третьей степени из 8. Так как показатель степени $n=3$ — нечетное число, уравнение имеет единственный действительный корень.

$x = \sqrt[3]{8}$

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

б) Дано уравнение $1000x^3 + 1 = 0$.

Приведем его к виду $x^n = a$. Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$1000x^3 = -1$

Разделим обе части на 1000:

$x^3 = -\frac{1}{1000}$

Решим уравнение, извлекая корень третьей степени. Показатель степени $n=3$ — нечетный, поэтому корень будет один.

$x = \sqrt[3]{-\frac{1}{1000}}$

$x = -\frac{1}{10}$ или $x = -0,1$

Ответ: $x=-0,1$.

в) Дано уравнение $\frac{1}{27}x^3 = 0,001$.

Приведем его к виду $x^n = a$. Умножим обе части уравнения на 27:

$x^3 = 0,001 \cdot 27$

$x^3 = 0,027$

Решим уравнение, извлекая корень третьей степени. Показатель степени $n=3$ — нечетный, корень будет один.

$x = \sqrt[3]{0,027}$

Так как $0,3^3 = 0,027$, то $x=0,3$.

Ответ: $x=0,3$.

г) Дано уравнение $\frac{1}{9}x^4 - 16 = 0$.

Приведем его к виду $x^n = a$. Перенесем 16 в правую часть:

$\frac{1}{9}x^4 = 16$

Умножим обе части на 9:

$x^4 = 16 \cdot 9$

$x^4 = 144$

Решим уравнение. Так как показатель степени $n=4$ — четное число, а правая часть $a=144$ положительна, уравнение имеет два действительных корня.

$x = \pm\sqrt[4]{144}$

Упростим корень: $\sqrt[4]{144} = \sqrt[4]{12^2} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

$x_1 = 2\sqrt{3}$, $x_2 = -2\sqrt{3}$

Ответ: $x = \pm 2\sqrt{3}$.

д) Дано уравнение $1 + x^5 = 0$.

Приведем его к виду $x^n = a$. Перенесем 1 в правую часть:

$x^5 = -1$

Решим уравнение. Показатель степени $n=5$ — нечетный, поэтому уравнение имеет единственный действительный корень.

$x = \sqrt[5]{-1}$

$x = -1$

Ответ: $x=-1$.

е) Дано уравнение $x^8 - 16 = 0$.

Приведем его к виду $x^n = a$. Перенесем 16 в правую часть:

$x^8 = 16$

Решим уравнение. Показатель степени $n=8$ — четное число, а правая часть $a=16$ положительна, поэтому уравнение имеет два действительных корня.

$x = \pm\sqrt[8]{16}$

Упростим корень: $\sqrt[8]{16} = \sqrt[8]{2^4} = 2^{4/8} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.

$x_1 = \sqrt{2}$, $x_2 = -\sqrt{2}$

Ответ: $x = \pm\sqrt{2}$.

752. Изобразив схематически графики, выясните, имеет ли уравнение корни:

а) $\frac{1}{2}x - 2 = x^3$

Чтобы определить, имеет ли уравнение корни, рассмотрим графики функций левой и правой частей уравнения: $y = \frac{1}{2}x - 2$ и $y = x^3$. Корни уравнения соответствуют точкам пересечения этих графиков.

График функции $y = \frac{1}{2}x - 2$ — это прямая. Она является возрастающей, так как угловой коэффициент $\frac{1}{2} > 0$. Прямая пересекает ось ординат в точке $(0, -2)$.

График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, которая проходит через начало координат $(0, 0)$ и также является возрастающей на всей своей области определения.

Сравним значения функций в некоторых точках. При $x = -2$, $y_1 = \frac{1}{2}(-2) - 2 = -3$, а $y_2 = (-2)^3 = -8$. Видим, что $y_1 > y_2$. При $x = 0$, $y_1 = -2$, а $y_2 = 0^3 = 0$. Здесь $y_2 > y_1$. Поскольку обе функции непрерывны, и на отрезке $[-2, 0]$ соотношение между значениями функций меняется, их графики должны пересечься хотя бы в одной точке на этом интервале. Следовательно, уравнение имеет корни.

Ответ: уравнение имеет корни.

б) $-3x - 1 = \sqrt{x}$

Рассмотрим графики функций $y = -3x - 1$ и $y = \sqrt{x}$.

Область допустимых значений для данного уравнения определяется функцией $y = \sqrt{x}$, поэтому $x \ge 0$.

График функции $y = -3x - 1$ — это убывающая прямая, которая при $x = 0$ имеет значение $y = -1$. Для всех $x \ge 0$ значения этой функции будут меньше или равны $-1$ ($y \le -1$), так как $-3x \le 0$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы. Для всех $x \ge 0$ значения этой функции неотрицательны ($y \ge 0$).

Таким образом, для любого значения $x$ из области допустимых значений, левая часть уравнения ($y = -3x-1$) всегда отрицательна, а правая часть ($y = \sqrt{x}$) всегда неотрицательна. Равенство между ними невозможно. Графики этих функций не пересекаются.

Ответ: уравнение не имеет корней.

в) $\frac{1}{x} = -x^2 + 1$

Рассмотрим графики функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = -x^2 + 1$.

График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях.

График функции $y = -x^2 + 1$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$.

Рассмотрим поведение графиков при $x < 0$ (в левой полуплоскости). Ветвь гиперболы находится в III четверти (значения $y$ отрицательны). Парабола пересекает ось абсцисс в точке $(-1, 0)$ и уходит вниз. При $x = -1$, $y_1 = \frac{1}{-1} = -1$, а $y_2 = -(-1)^2 + 1 = 0$. То есть, $y_2 > y_1$. При $x = -2$, $y_1 = \frac{1}{-2} = -0.5$, а $y_2 = -(-2)^2 + 1 = -3$. Здесь $y_1 > y_2$. Так как на интервале $(-2, -1)$ соотношение между значениями непрерывных функций изменилось, их графики пересекаются. Следовательно, уравнение имеет корни.

Ответ: уравнение имеет корни.

г) $3 + x^2 = \frac{12}{x}$

Рассмотрим графики функций $y = x^2 + 3$ и $y = \frac{12}{x}$.

График функции $y = x^2 + 3$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Ее вершина находится в точке $(0, 3)$. Все значения этой функции больше или равны 3.

График функции $y = \frac{12}{x}$ — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях.

При $x < 0$ значения функции $y = x^2 + 3$ положительны ($y \ge 3$), а значения функции $y = \frac{12}{x}$ отрицательны. Таким образом, в левой полуплоскости графики не пересекаются.

При $x > 0$ обе функции положительны. Парабола $y = x^2 + 3$ возрастает от точки $(0, 3)$. Гипербола $y = \frac{12}{x}$ убывает от $+\infty$ к 0. Сравним значения: При $x=1$, $y_1 = 1^2 + 3 = 4$, а $y_2 = \frac{12}{1} = 12$. Здесь $y_2 > y_1$. При $x=3$, $y_1 = 3^2 + 3 = 12$, а $y_2 = \frac{12}{3} = 4$. Здесь $y_1 > y_2$. Поскольку на отрезке $[1, 3]$ непрерывные функции меняют свое относительное положение, их графики должны пересечься. Значит, уравнение имеет корни.

Ответ: уравнение имеет корни.