Номер 752, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

752. Изобразив схематически графики, выясните, имеет ли уравнение корни:

а) $\frac{1}{2}x - 2 = x^3$

Чтобы определить, имеет ли уравнение корни, рассмотрим графики функций левой и правой частей уравнения: $y = \frac{1}{2}x - 2$ и $y = x^3$. Корни уравнения соответствуют точкам пересечения этих графиков.

График функции $y = \frac{1}{2}x - 2$ — это прямая. Она является возрастающей, так как угловой коэффициент $\frac{1}{2} > 0$. Прямая пересекает ось ординат в точке $(0, -2)$.

График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, которая проходит через начало координат $(0, 0)$ и также является возрастающей на всей своей области определения.

Сравним значения функций в некоторых точках. При $x = -2$, $y_1 = \frac{1}{2}(-2) - 2 = -3$, а $y_2 = (-2)^3 = -8$. Видим, что $y_1 > y_2$. При $x = 0$, $y_1 = -2$, а $y_2 = 0^3 = 0$. Здесь $y_2 > y_1$. Поскольку обе функции непрерывны, и на отрезке $[-2, 0]$ соотношение между значениями функций меняется, их графики должны пересечься хотя бы в одной точке на этом интервале. Следовательно, уравнение имеет корни.

Ответ: уравнение имеет корни.

б) $-3x - 1 = \sqrt{x}$

Рассмотрим графики функций $y = -3x - 1$ и $y = \sqrt{x}$.

Область допустимых значений для данного уравнения определяется функцией $y = \sqrt{x}$, поэтому $x \ge 0$.

График функции $y = -3x - 1$ — это убывающая прямая, которая при $x = 0$ имеет значение $y = -1$. Для всех $x \ge 0$ значения этой функции будут меньше или равны $-1$ ($y \le -1$), так как $-3x \le 0$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы. Для всех $x \ge 0$ значения этой функции неотрицательны ($y \ge 0$).

Таким образом, для любого значения $x$ из области допустимых значений, левая часть уравнения ($y = -3x-1$) всегда отрицательна, а правая часть ($y = \sqrt{x}$) всегда неотрицательна. Равенство между ними невозможно. Графики этих функций не пересекаются.

Ответ: уравнение не имеет корней.

в) $\frac{1}{x} = -x^2 + 1$

Рассмотрим графики функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = -x^2 + 1$.

График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях.

График функции $y = -x^2 + 1$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$.

Рассмотрим поведение графиков при $x < 0$ (в левой полуплоскости). Ветвь гиперболы находится в III четверти (значения $y$ отрицательны). Парабола пересекает ось абсцисс в точке $(-1, 0)$ и уходит вниз. При $x = -1$, $y_1 = \frac{1}{-1} = -1$, а $y_2 = -(-1)^2 + 1 = 0$. То есть, $y_2 > y_1$. При $x = -2$, $y_1 = \frac{1}{-2} = -0.5$, а $y_2 = -(-2)^2 + 1 = -3$. Здесь $y_1 > y_2$. Так как на интервале $(-2, -1)$ соотношение между значениями непрерывных функций изменилось, их графики пересекаются. Следовательно, уравнение имеет корни.

Ответ: уравнение имеет корни.

г) $3 + x^2 = \frac{12}{x}$

Рассмотрим графики функций $y = x^2 + 3$ и $y = \frac{12}{x}$.

График функции $y = x^2 + 3$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Ее вершина находится в точке $(0, 3)$. Все значения этой функции больше или равны 3.

График функции $y = \frac{12}{x}$ — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях.

При $x < 0$ значения функции $y = x^2 + 3$ положительны ($y \ge 3$), а значения функции $y = \frac{12}{x}$ отрицательны. Таким образом, в левой полуплоскости графики не пересекаются.

При $x > 0$ обе функции положительны. Парабола $y = x^2 + 3$ возрастает от точки $(0, 3)$. Гипербола $y = \frac{12}{x}$ убывает от $+\infty$ к 0. Сравним значения: При $x=1$, $y_1 = 1^2 + 3 = 4$, а $y_2 = \frac{12}{1} = 12$. Здесь $y_2 > y_1$. При $x=3$, $y_1 = 3^2 + 3 = 12$, а $y_2 = \frac{12}{3} = 4$. Здесь $y_1 > y_2$. Поскольку на отрезке $[1, 3]$ непрерывные функции меняют свое относительное положение, их графики должны пересечься. Значит, уравнение имеет корни.

Ответ: уравнение имеет корни.