Номер 755, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 755, страница 198.

Условие.

755. Решите систему уравнений:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Исходная система уравнений:
$\begin{cases}\frac{2x - y}{3} - \frac{x - 2y}{2} = \frac{3}{2} \\\frac{2x + y}{2} - \frac{x + 2y}{3} = \frac{1}{3}\end{cases}$
Для решения системы необходимо сначала упростить каждое уравнение, избавившись от знаменателей.
Умножим первое уравнение на наименьший общий знаменатель, который равен 6:
$6 \cdot \frac{2x - y}{3} - 6 \cdot \frac{x - 2y}{2} = 6 \cdot \frac{3}{2}$
$2(2x - y) - 3(x - 2y) = 9$
$4x - 2y - 3x + 6y = 9$
Приводим подобные члены:
$x + 4y = 9$
Умножим второе уравнение на наименьший общий знаменатель, который также равен 6:
$6 \cdot \frac{2x + y}{2} - 6 \cdot \frac{x + 2y}{3} = 6 \cdot \frac{1}{3}$
$3(2x + y) - 2(x + 2y) = 2$
$6x + 3y - 2x - 4y = 2$
Приводим подобные члены:
$4x - y = 2$
Теперь мы имеем упрощенную систему линейных уравнений:
$\begin{cases}x + 4y = 9 \\4x - y = 2\end{cases}$
Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 9 - 4y$
Подставим полученное выражение во второе уравнение:
$4(9 - 4y) - y = 2$
$36 - 16y - y = 2$
$36 - 17y = 2$
$-17y = 2 - 36$
$-17y = -34$
$y = 2$
Теперь найдем значение $x$, подставив $y = 2$ в выражение для $x$:
$x = 9 - 4(2) = 9 - 8 = 1$

Ответ: $(1; 2)$.

б) Исходная система уравнений:
$\begin{cases}\frac{x - y + 1}{2} + \frac{x + y - 1}{5} = 7 \\\frac{x - y + 1}{3} - \frac{x + y - 1}{4} = -3\end{cases}$
Заметим, что в уравнениях повторяются выражения. Для упрощения введем замену переменных:
Пусть $a = x - y + 1$ и $b = x + y - 1$.
Тогда система примет вид:
$\begin{cases}\frac{a}{2} + \frac{b}{5} = 7 \\\frac{a}{3} - \frac{b}{4} = -3\end{cases}$
Избавимся от знаменателей. Умножим первое уравнение на 10 (НОК(2,5)), а второе на 12 (НОК(3,4)):
$\begin{cases}5a + 2b = 70 \\4a - 3b = -36\end{cases}$
Решим полученную систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными:
$\begin{cases}15a + 6b = 210 \\8a - 6b = -72\end{cases}$
Сложим два уравнения системы:
$(15a + 8a) + (6b - 6b) = 210 - 72$
$23a = 138$
$a = \frac{138}{23} = 6$
Подставим значение $a = 6$ в уравнение $5a + 2b = 70$:
$5(6) + 2b = 70$
$30 + 2b = 70$
$2b = 40$
$b = 20$
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:
$\begin{cases}x - y + 1 = a \\x + y - 1 = b\end{cases}\implies\begin{cases}x - y + 1 = 6 \\x + y - 1 = 20\end{cases}$
Это приводит к системе:
$\begin{cases}x - y = 5 \\x + y = 21\end{cases}$
Сложим эти два уравнения:
$(x - y) + (x + y) = 5 + 21$
$2x = 26$
$x = 13$
Подставим значение $x=13$ в уравнение $x + y = 21$:
$13 + y = 21$
$y = 21 - 13 = 8$

Ответ: $(13; 8)$.