Номер 750, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

750. Решите уравнение:

а) $x^4 - 16x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 - 16) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1) $x^2 = 0$, откуда $x = 0$.

2) $x^2 - 16 = 0$. Это разность квадратов, которую можно разложить на множители:

$(x - 4)(x + 4) = 0$

Отсюда получаем еще два корня:

$x - 4 = 0 \implies x = 4$

$x + 4 = 0 \implies x = -4$

Ответ: -4; 0; 4.

б) $x = x^3$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^3 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x = 0$.

2) $x^2 - 1 = 0$. Разложим на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Отсюда:

$x - 1 = 0 \implies x = 1$

$x + 1 = 0 \implies x = -1$

Ответ: -1; 0; 1.

в) $1,2x^3 + x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(1,2x^2 + 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x = 0$.

2) $1,2x^2 + 1 = 0$

$1,2x^2 = -1$

$x^2 = -\frac{1}{1,2}$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: 0.

г) $0,4x^4 = x^3$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$0,4x^4 - x^3 = 0$

Вынесем общий множитель $x^3$ за скобки:

$x^3(0,4x - 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x^3 = 0$, откуда $x = 0$.

2) $0,4x - 1 = 0$

$0,4x = 1$

$x = \frac{1}{0,4} = \frac{10}{4} = 2,5$

Ответ: 0; 2,5.

д) $x^3 + 6x^2 - 16x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 + 6x - 16) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x = 0$.

2) $x^2 + 6x - 16 = 0$. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 = 10^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Ответ: -8; 0; 2.

е) $x^4 + x^3 - 6x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 + x - 6) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x^2 = 0$, откуда $x = 0$.

2) $x^2 + x - 6 = 0$. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -6$

Подбором находим корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Ответ: -3; 0; 2.

ж) $x^3 + x^2 = 9x + 9$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^3 + x^2 - 9x - 9 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 + x^2) - (9x + 9) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 1) - 9(x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x^2 - 9)(x + 1) = 0$

Разложим первый множитель по формуле разности квадратов:

$(x - 3)(x + 3)(x + 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x - 3 = 0 \implies x = 3$

$x + 3 = 0 \implies x = -3$

$x + 1 = 0 \implies x = -1$

Ответ: -3; -1; 3.

з) $2x^3 + 8x = x^2 + 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^3 - x^2 + 8x - 4 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(2x^3 - x^2) + (8x - 4) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(2x - 1) + 4(2x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(2x-1)$ за скобки:

$(x^2 + 4)(2x - 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней.

2) $2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = 0,5$.

Ответ: 0,5.