Номер 744, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

744. Сотрудник типографии должен набрать к определённому сроку рукопись объёмом 150 страниц. Если он будет набирать на 5 страниц в день больше, чем обычно, то закончит работу на 1 день раньше намеченного срока. Сколько страниц в день обычно набирает сотрудник?

Пусть $x$ — это количество страниц, которое сотрудник обычно набирает в день (его обычная производительность). Тогда время, которое ему требуется для набора рукописи объемом 150 страниц, составляет $\frac{150}{x}$ дней.

Согласно условию задачи, если сотрудник будет набирать на 5 страниц в день больше, его производительность составит $(x + 5)$ страниц в день. В этом случае время на выполнение всей работы составит $\frac{150}{x+5}$ дней.

Известно, что в этом случае работа будет закончена на 1 день раньше. Это означает, что разница между временем работы в обычном режиме и ускоренном режиме равна 1 дню. На основе этого составим уравнение:

$\frac{150}{x} - \frac{150}{x+5} = 1$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:

$\frac{150(x+5) - 150x}{x(x+5)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{150x + 750 - 150x}{x^2 + 5x} = 1$

Упростим числитель:

$\frac{750}{x^2 + 5x} = 1$

Теперь умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 + 5x$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -5$ (что очевидно, так как производительность не может быть нулевой или отрицательной):

$750 = x^2 + 5x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 750 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-750) = 25 + 3000 = 3025$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{3025}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 55}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{3025}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 55}{2} = \frac{-60}{2} = -30$

Так как $x$ представляет собой количество страниц, набираемых в день, это значение не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -30$ не является решением задачи.

Следовательно, сотрудник обычно набирает 25 страниц в день.

Проверка:
Обычная скорость: 25 страниц/день. Время на работу: $150 / 25 = 6$ дней.
Увеличенная скорость: $25 + 5 = 30$ страниц/день. Время на работу: $150 / 30 = 5$ дней.
Разница во времени: $6 - 5 = 1$ день. Условие задачи выполнено.

Ответ: 25 страниц.